Brojevi. Cijeli brojevi. Svojstva cijelih brojeva. Najveći zajednički višekratnik i najmanji zajednički djelitelj. Kriterijumi djeljivosti i metode grupisanja (2019.)

§ 77. O razlomcima jedinice.

Proučavali smo svojstva cijelih brojeva i radnje na njih. Osim cijelih brojeva, postoje razlomci s kojima ćemo se sada upoznati. Kada učenik kaže da mu je potrebno pola sata hoda od kuće do škole, on ne izražava vrijeme u cijelim satima, već u dijelovima sata. Kada lekar savetuje pacijentu da rastvori prašak u četvrtini šolje vrele vode, voda se ovde ne meri u celim čašama, već u delovima čaše. Ako se jedna lubenica podijeli na tri dječaka, onda svaki od njih može dobiti samo trećinu lubenice, odnosno trećinu.

U svim slučajevima nismo govorili o cijelim jedinicama, već o dijelovima ili dijelovima jedinice. Udjeli mogu biti vrlo raznoliki, na primjer, gram je hiljaditi dio kilograma, milimetar je milioniti dio kilometra. Prvo ćemo govoriti o najjednostavnijim dionicama (polu, trećinu, četvrtinu, itd.).

Radi veće jasnoće, ove udjele ćemo prikazati kao pravolinijske segmente.

Ako uzmemo segment AB kao jedinicu (slika 9), onda, dijeleći ga na dva jednaka dijela, možemo reći da će rezultujući segmenti AC i CB biti polovice segmenta AB.

Dalje, ako uzmemo segment DE (slika 10) kao jedinicu i podijelimo ga na 3 jednaka dijela, tada će svaki od dobijenih segmenata DF, FH, HE biti jednak jednoj trećini segmenta DE, a segment DH će biti jednaka dvije trećine segmenta DE. Slično, segment FE će biti jednak dvije trećine segmenta DE.

Uzmimo još jedan segment MN (slika 11), uzmimo ga kao jedinicu i podijelimo na četiri jednaka dijela; tada će svaki od segmenata MP, PQ, QR, RN biti jednak jednoj četvrtini segmenta MN; svaki od segmenata MQ, PR, QN će biti jednak dvije njegove četvrtine, a svaki od segmenata MR i PN će biti jednak tri četvrtine MN.

U razmatranim primjerima upoznali smo se sa polovinom, trećinom, četvrtinom, dvije trećine, dvije četvrtine, tri četvrtine, odnosno ili s jednim udjelom jedinice, ili sa dva, ili sa tri jednaka dijela jedinice .

Zove se broj koji se sastoji od jednog ili više jednakih dijelova jednog pucao.

Već smo rekli da umjesto riječi "dijeli" možete reći riječ "dio"; stoga se razlomak može nazvati brojem koji izražava jedan ili više identičnih dijelova jedinice.

Dakle, brojevi navedeni u ovom paragrafu: polovina, ili polovina, jedna trećina, jedna četvrtina, dvije trećine i drugi, biće razlomci.

Često je potrebno uzeti u obzir ne samo dijelove objekata, već zajedno s njima cijele objekte. Na primjer, dva dječaka odluče podijeliti jednako svojih pet jabuka. Očigledno je da će svaki od njih prvo uzeti dvije jabuke, a preostalu posljednju jabuku će prerezati na dva jednaka dijela. Tada će svaki imati po dvije i po jabuke. Ovdje se broj jabuka za svakog dječaka izražava kao cijeli broj (dva) sa nekim razlomkom (polovina).

Zovu se brojevi koji uključuju cijeli broj i razlomak mešoviti brojevi.

§ 78. Slika razlomaka.

Razmotrite poslednji crtež prethodnog pasusa (slika 11). Rekli smo da je segment MR tri četvrtine segmenta MN. Sada se postavlja pitanje kako se ovaj razlomak, odnosno tri četvrtine, može napisati brojevima. Prisjetite se kako je nastao razlomak tri četvrtine. Odsječak MN smo uzeli kao jedinicu, podijelili ga na 4 jednaka dijela i iz ovih dijelova uzeli 3. Upravo taj proces nastanka razlomka treba da se odrazi u njegovom zapisu, odnosno iz ovog zapisa treba vidjeti da je jedinica je podijeljena na 4 jednaka dijela i dobijeni dijelovi se uzimaju 3. Zbog toga je razlomak prikazan pomoću dva broja odvojena vodoravnom linijom. Ispod crte je upisan broj koji označava na koliko jednakih dijelova je jedinica podijeljena, iz kojeg se uzima razlomak, a iznad crte je napisan još jedan broj koji pokazuje koliko je udjela sadržano

u ovom razlomku. Razlomak od tri četvrtine biće napisan ovako: 3/4.

Poziva se broj iznad linije brojilac razlomci; ovaj broj označava broj dijelova sadržanih u datom razlomku.

Poziva se broj ispod linije nazivnik razlomci; pokazuje na koliko jednakih dijelova je jedinica podijeljena.

3 - brojilac,
_
4 je imenilac.

Crtica koja odvaja brojilac od nazivnika naziva se razlomka. Brojilac i imenilac se zajednički nazivaju članovi razlomka. Napišimo razlomak kao primjer:

dvije trećine - 2/3; pet dvanaestina - 5/12.

Mješoviti brojevi se pišu na sljedeći način: prvo pišu cijeli broj, a pored njega razlomak se pripisuje desno. Na primjer, mješoviti broj od dvije i četiri kvinte treba napisati ovako: 2 4 / 5.

§ 79. Nastanak razlomaka.

Razmotrite pitanje kako i gdje nastaju razlomci, zašto i pod kojim okolnostima se pojavljuju.

Uzmimo, na primjer, ovu činjenicu. Morate izmjeriti dužinu ploče metrom. Uzimamo metar dugačko drveno ravnalo i nanosimo ga duž donje ivice ploče, pomičući se s lijeva na desno. Neka stane dva puta, ali još uvijek postoji dio ploče gdje ravnalo neće stati treći put, jer je dužina preostalog dijela manja od dužine ravnala.

Ako ostatak ploče sadrži, na primjer, pola metra, tada je dužina ploče dva i po (2 1/2) metra.

Sada ćemo izmjeriti širinu ploče istim ravnalom. Recimo da je to uradila jednom, ali nakon ovog jedinog kašnjenja ostao je mali dio daske, dužine manje od metra. Primijenivši metar na ovaj dio ploče, recimo, bilo je moguće utvrditi da je jednak jednoj četvrtini (1/4) metra.

Dakle, cijela širina daske je 1 1/4 m.

Tako smo pri mjerenju dužine i širine ploče dobili brojeve 2 1/2 m i 1 1/4 m (tj. razlomke).

Ne samo dužina i širina objekata, već i mnoge druge veličine često se izražavaju u razlomcima.

Vrijeme mjerimo ne samo u satima, minutama i sekundama, već često u dijelovima sata, u dijelovima minute, pa čak i u dijelovima sekunde.

Vrlo često razlomci izražavaju težinu, na primjer, kažu: 1/2 kg, l 1/2 kg, 1/2 g, 3/4 g, 1/2 t itd.

Do sada smo govorili o porijeklu razlomaka iz mjerenja, ali postoji još jedan izvor razlomaka - to je akcija dijeljenja. Zaustavimo se tu. Neka 3 jabuke budu podijeljene na 4 dječaka; očigledno, u ovom slučaju, svaki dječak neće dobiti cijelu jabuku, jer ima manje jabuka nego djece. Prvo uzmite 2 jabuke i svaku prepolovite. Ispašće 4 polovine, a pošto su četiri dečaka, svakom se može dati pola jabuke. Preostalu treću jabuku ćemo isjeći na 4 dijela, a zatim svakom dječaku dodati još jednu četvrtinu onome što ima. Zatim će sve jabuke biti podijeljene i svaki dječak će dobiti po pola i jednu četvrtinu jabuke. Ali pošto svaka polovina sadrži 2 četvrtine, konačno se može reći da će svaki dječak imati po dvije četvrtine i plus jednu četvrtinu, odnosno ukupno tri četvrtine (3/4) jabuke.

§ 80. Poređenje razlomaka po veličini.

Ako uporedimo bilo koje veličine jedna s drugom, na primjer, dva segmenta, onda se može ispostaviti da je jedan od njih potpuno jednak drugom, ili je veći od drugog, ili manji od drugog.

Na slici 12, segment AB je jednak segmentu CD; segment EF je veći od segmenta QH; segment KL je manji od segmenta MN.

Naći ćemo ista tri slučaja kada upoređujemo razlomke. Pokušajmo međusobno uporediti neke razlomke.

1. Dva razlomka se smatraju jednakima ako su količine koje odgovaraju tim razlomcima jednake jedna drugoj (sa istom mjernom jedinicom). Uzmimo segment SC i uzmimo ga kao jedinicu.

Odsječak SK podijelimo na pola tačkom D (slika 13). Tada ćemo dio ovog segmenta CD označiti razlomkom 1/2. Ako isti segment SK podijelimo na 4 jednaka dijela, tada će se segment CD izraziti kao razlomak 2/4; ako segment SK podijelimo na 8 jednakih dijelova, tada će segment CD odgovarati razlomku 4/8. Pošto smo tri puta uzeli isti segment, razlomci 1/2, 2/4 i 4/8 su međusobno jednaki.

2. Uzmimo dva razlomka sa jednakim brojiocima: 1/4 i 1/8, i vidimo koje vrijednosti im odgovaraju. U prvom slučaju se neka vrijednost dijeli na 4 jednaka dijela, au drugom se također dijeli na 8 jednakih dijelova.

Slika 14 pokazuje da je 1/4 veća od 1/8. Dakle, od dva razlomka sa istim brojiocem, veći razlomak je onaj sa manjim nazivnikom.

3. Uzmite dva razlomka sa jednakim nazivnicima: 5/8 i 3/8. Ako na prethodnom crtežu označimo svaki od ovih razlomaka, vidjet ćemo da je segment koji odgovara prvom razlomku veći od segmenta koji odgovara drugom. Dakle, od dva razlomka sa istim nazivnikom, veći razlomak je onaj sa većim brojnikom.

4. Ako su dva razlomka data sa različitim brojiocima i nazivnicima, onda se njihova vrijednost može procijeniti poređenjem svakog od njih s jednim. Na primjer, 2/3 je manje od 4/5, jer se prvi razlomak razlikuje od jedinice za 1/3, a drugi za 1/5, tj. drugi razlomak je manji od jedinice od prvog.

Međutim, najlakše je uporediti takve razlomke svođenjem na zajednički nazivnik, o čemu će biti riječi u nastavku.

§ 81. Razlomci su pravilni i nepravilni. Mješoviti brojevi.

Uzmimo segment AB jednak dvije linearne jedinice (slika 15). Svaku jedinicu podijelimo na 10 jednakih dijelova, tada će svaki dio biti jednak 1/10, tj.

AD = DE = EF = FH = ... = 1/10 AC.

Razmotrite druge segmente i razmislite u kojim razlomcima su izraženi. Na primjer, AF - 3/10, AK - 5/10, AM - 7/10; AO - 9 / 10 , AS - 10 / 10 , AR - 11 / 10 , AR - 13 / 10 . Sve segmente uzete kao razlomke sa nazivnikom 10. Prva četiri razlomka (3/10, 5/10, 7/10; 9/10) imaju brojioce manje od nazivnika, svaki od njih je manji od 1.

Peti razlomak (10 / 10) ima brojilac jednak nazivniku, a sam razlomak je jednak 1, odgovara segmentu AC, uzetom kao jedinici.

Posljednja dva razlomka (11/10, 13/10) imaju brojioce veće od nazivnika, a svaki razlomak je veći od 1.

Razlomak čiji je brojilac manji od nazivnika naziva se pravi razlomak. Kao što je gore navedeno, pravi razlomak je manji od jedan. To znači da su prva četiri razlomka tačna i stoga možemo napisati: 3/10<1, 5 / 10 <1, 7 / 10 <1, 9 / 10 <1.

Razlomak čiji je brojilac jednak ili veći od nazivnika naziva se nepravilan razlomak. Dakle, nepravilan razlomak je ili jednak jedan ili veći od njega. Dakle, zadnja tri razlomka su nepravilna i možete napisati:

10 / 10 =1 ; 11 / 10 >1 ; 13 / 10 >1 ;

Fokusirajmo se na posljednja dva (nepravilna) razlomka. Razlomak 11/10 sastoji se od jedne cijele jedinice i pravilnog razlomka 1/10, što znači da se može napisati ovako: 1 1/10. Rezultat je bio broj koji je kombinacija cijelog broja i pravilnog razlomka, odnosno mješoviti broj. Isto se može ponoviti za nepravilan razlomak 13/10. Možemo ga predstaviti kao 1 3/10. Ovo će također biti mješoviti broj.

Morate naučiti kako zamijeniti nepravilan razlomak mješovitim brojem. Lako smo zamijenili prethodna dva nepravilna razlomka mješovitim brojevima. Ali ako smo susreli razlomak, na primjer 545/32, onda je iz njega teže izdvojiti cijeli broj, a bez izdvajanja cijelog broja teško je prosuditi vrijednost ovog broja.

S druge strane, prilikom izvođenja različitih izračuna, ponekad je prikladnije koristiti ne mješovite brojeve, već nepravilne razlomke. To znači da, ako je potrebno, morate biti u mogućnosti da izvršite inverznu transformaciju, odnosno zamijenite mješoviti broj nepravilnim razlomkom.

§ 82. Pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj i inverzna transformacija.

Uzmimo nepravilan razlomak 9/4 i pokušajmo ga zamijeniti mješovitim brojem. Tvrdit ćemo na sljedeći način: ako su 4 četvrtine sadržane u jednoj jedinici, onda je onoliko cijelih jedinica sadržano u 9 četvrtina koliko puta 4 četvrtine sadrži 9 četvrtina. Da biste odgovorili na ovo pitanje, dovoljno je podijeliti 9 sa 4. Dobiveni količnik će pokazati broj cijelih brojeva, a ostatak će dati broj četvrtina koje ne čine cijelu jedinicu. 4 je sadržano u 9 dvaput sa ostatkom od 1. Dakle, 9 / 4 = 2 1 / 4, pošto je 9: 4 = 2 i 1 u ostatku.

Pretvorimo gore navedeni nepravilni razlomak 545/32 u mješoviti broj.

545; 32 = 17 i 1 u ostatku, dakle 545 / 32 = 17 1 / 32.

Da biste pretvorili nepravilan razlomak u mješoviti broj, trebate podijeliti brojilac razlomka sa nazivnikom i pronaći ostatak; količnik će pokazati broj cijelih jedinica, a ostatak će pokazati broj razlomaka jedinice.

Budući da pretvaranjem nepravilnog razlomka u mješoviti broj svaki put biramo cijeli broj, ova transformacija se obično naziva eliminacijom cijelog broja iz nepravilnog razlomka.

Razmotrimo slučaj kada je nepravilan razlomak jednak cijelom broju. Neka se zahtijeva da se isključi cijeli broj iz netočnog

razlomci 36/12 Prema pravilu dobijamo 36: 12 = 3 i 0 u ostatku, tj. brojilac se dijeli sa imeniocem bez ostatka, što znači 36/12 = 3.

Pređimo sada na inverznu transformaciju, tj. na pretvaranje mješovitog broja u nepravilan razlomak.

Uzmimo mješoviti broj 3 3/4 i pretvorimo ga u nepravilan razlomak. Razmotrimo ovako: svaka cijela jedinica sadrži 4 četvrtine, a 3 jedinice će sadržavati 3 puta više četvrtina, tj. 4 x 3 = 12 četvrtina. To znači da 3 cijele jedinice sadrže 12 četvrtina, a čak i u razlomku mješovitog broja postoje 3 četvrtine, a ukupno će biti 15 četvrtina, odnosno 15/4. Dakle, 3 3 / 4 = 15 / 4 .

Primjer. Pretvorite mješoviti broj 8 4 / 9 u nepravilan razlomak:

Da biste mješoviti broj pretvorili u nepravilan razlomak, trebate pomnožiti nazivnik cijelim brojem, dodati brojilac rezultirajućem umnošku i ovaj zbir učiniti brojnikom željenog razlomka, a nazivnik ostaviti isti.

§ 83. Pretvaranje celog broja u nepravilan razlomak.

Bilo koji cijeli broj može se izraziti bilo kojim brojem razlomaka od jedan. Ovo je ponekad korisno u proračunima. Neka se, na primjer, broj 5 izrazi u šestinama jedinice.

Tvrdit ćemo na sljedeći način: budući da u jednoj jedinici ima šest šestina, onda u 5 jedinica ovih dionica neće biti šest, već 5 puta više, tj. 6 x 5 = 30 šestina. Akcija je organizovana ovako:

Na isti način, svaki cijeli broj možemo pretvoriti u nepravilan razlomak sa bilo kojim nazivnikom. Uzmimo broj 10 i predstavimo ga kao nepravilan razlomak s različitim nazivnicima:

imenilac 2, onda

imenilac 3, onda

imenilac 5, onda

Dakle, da biste izrazili cijeli broj kao nepravilan razlomak sa datim nazivnikom, trebate ovaj nazivnik pomnožiti sa datim brojem, rezultirajući proizvod učiniti brojnikom i potpisati ovaj nazivnik.

Najmanji mogući imenilac je jedan (1). Stoga, kada žele predstaviti cijeli broj kao razlomak, često uzimaju jedan kao imenilac (l2 = 12 / 1). Ova misao se ponekad izražava na sljedeći način: bilo koji cijeli broj može se smatrati razlomkom sa nazivnikom jednakim jedan (2 = 2 / 1; 3 = 3 / 1; 4 = 4 / 1; 5 = 5 / 1, itd. )

§ 84. Promjena vrijednosti razlomka sa promjenom njegovih članova.

U ovom dijelu ćemo razmotriti kako će se vrijednost razlomka promijeniti kada se njegovi članovi promijene.

1. pitanje.Šta se dešava sa vrednošću razlomka kako mu brojilac raste nekoliko puta? Uzmimo razlomak 1/12 i postepeno ćemo povećavati njegov brojilac za dva, tri, četiri, itd. puta. Tada dobijate sljedeće razlomke:

Ako te razlomke počnemo međusobno upoređivati, vidjet ćemo da se postepeno povećavaju: drugi razlomak je dvostruko veći od prvog, jer ima dvostruko više dijelova, treći razlomak je tri puta veći od prvog, itd.

Iz ovoga možemo zaključiti: Ako se brojnik razlomka poveća nekoliko puta, tada će se razlomak povećati za isti iznos.

2. pitanje.Šta se dešava sa vrednošću razlomka kada smanjujući njegov brojilac nekoliko puta? Uzmimo razlomak 24/25 i postepeno ćemo smanjiti njegov brojilac za dva puta, tri puta, četiri puta, itd. Tada ćemo dobiti sljedeće razlomke:

Pogledajte ove razlomke jedan po jedan s lijeva na desno i vidjet ćete da je drugi razlomak (12/25) polovina prvog 24/25, jer ima polovinu dijelova, odnosno polovinu brojioca; četvrti razlomak 6/25 je četiri puta manji od prvog i polovine drugog.

znači, Ako se brojnik razlomka smanji nekoliko puta, tada će se razlomak smanjiti za isti iznos.

3. pitanje.Šta se dešava sa vrednošću razlomka kada povećavajući njegov imenilac nekoliko puta? Na ovo pitanje možemo odgovoriti tako da uzmemo neki razlomak, na primjer 1/2, i povećamo njegov nazivnik bez promjene brojila. Hajde da udvostručimo imenilac, utrostručimo ga, itd. i vidimo šta se dešava sa razlomkom:

Postepeno povećavajući imenilac, konačno smo ga doveli do 100. Imenilac je postao prilično veliki, ali se vrednost udela jako smanjila, postala je jednaka stotoj. Iz ovoga je jasno da će povećanje nazivnika razlomka neizbježno dovesti do smanjenja samog razlomka.

znači, Ako se nazivnik razlomka poveća nekoliko puta, tada će se razlomak smanjiti za isti iznos.

4. pitanje.Šta se dešava sa vrednošću razlomka kada se njegov imenilac pomnoži? Uzet ćemo one razlomke koji su nedavno napisani i prepisati ih s kraja; tada će naš prvi razlomak biti najmanji, a posljednji najveći, ali prvi će imati najveći imenilac, a posljednji razlomak će imati najmanji imenilac:

Lako je zaključiti: Ako se imenilac razlomka smanji za faktor 1, tada će se razlomak povećati za isti faktor.

5. pitanje.Šta se dešava sa razlomkom kada se i brojnik i imenilac povećaju ili smanje za isti iznos?

Uzmimo razlomak 1/2 pa ćemo mu uzastopno i istovremeno povećavati brojilac i imenilac. Ponekad se pored razlomka stavlja faktor kojim se množe članovi prvog razlomka:

Napisali smo šest razlomaka, različiti su po izgledu, ali je lako zaključiti da su svi jednaki po veličini. U stvari, uporedimo barem prvi razlomak sa drugim. Prvi razlomak je 1/2; ako udvostručimo njegov brojnik, tada će se razlomak udvostručiti, ali ako odmah udvostručimo njegov imenilac, onda će se smanjiti za polovicu, to jest, drugim riječima, ostat će nepromijenjen. Dakle 1/2 = 2/4. Isto razmišljanje se može ponoviti i za druge razlomke.

zaključak: ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože istim brojem(povećati isti broj puta), vrijednost razlomka se neće promijeniti.

Ovo svojstvo pišemo u opštem obliku. Označimo razlomak sa a / b , broj kojim se brojilac i imenilac množe - slovom t ; tada će navedeno svojstvo poprimiti oblik jednakosti:

Ostaje da razmotrimo pitanje istovremenog smanjenja brojnika i nazivnika za isti broj puta. Napišimo nekoliko razlomaka za redom, gdje će na prvom mjestu biti razlomak 36/48, a na posljednjem 3/4:

Svi će oni biti jednaki jedni drugima, što se može naći upoređivanjem bilo koja dva susjedna razlomka, na primjer, prepolovivši brojnik prvog razlomka (36), razlomak smanjimo za 2 puta, ali prepolovimo njegov nazivnik (48) , povećavamo razlomak za 2 puta, tj. kao rezultat toga, ostavljamo ga nepromijenjenim.

Zaključak: ako se brojnik i nazivnik razlomka podijele istim brojem (smanjenim za isti broj puta), tada se vrijednost razlomka neće promijeniti:

Suština posljednja dva zaključka je da se uz istovremeno povećanje ili smanjenje brojnika i nazivnika za isti broj puta, vrijednost razlomka neće promijeniti.

Ovo izvanredno svojstvo razlomka biće od velike važnosti u nastavku, pa ćemo ga nazvati osnovno svojstvo razlomka.

§ 85. Smanjenje razlomaka.

Uzmimo segment AB (slika 16) i podijelimo ga na 20 jednakih dijelova, tada će svaki od ovih dijelova biti jednak 1/20; Segment AC, koji sadrži 15 takvih dijelova, bit će predstavljen razlomkom 15/20.

Pokušajmo sada povećati udjele, na primjer, dijelimo segment ne na 20 dijelova, već na 4 jednaka dijela. Ispostavilo se da su nove dionice veće od prethodnih, jer svaka nova dionica sadrži 5 bivših, što je jasno vidljivo na crtežu. Sada razmislimo čemu je jednak segment AC pri novom drobljenju, koji je pri prvom drobljenju bio jednak 15/20 segmenta AB. Iz crteža se može vidjeti da ako se segment AB podijeli na 4 dijela, tada će segment AC biti jednak 3/4 segmenta AB.

Dakle, segment AC, ovisno o tome na koliko dijelova je podijeljen segment AB, može biti predstavljen i razlomkom 15/20 i razlomkom 3/4. Po veličini, ovo je isti razlomak, jer mjeri isti segment u istim mjernim jedinicama. Dakle, umjesto razlomka 15/20, možemo koristiti razlomak 3/4, i obrnuto.

Postavlja se pitanje koji je razlomak pogodniji za korištenje? Pogodnije je koristiti drugi razlomak, jer su mu brojilac i nazivnik izraženi manjim brojevima od prvog i u tom smislu je jednostavniji.

U procesu zaključivanja ispostavilo se da je jedna vrijednost (segment AC) izražena u dva razlomka, različitog izgleda, ali iste vrijednosti (15/20, 3/4).Očigledno da ne mogu postojati dva takva razlomka , ali nebrojiv skup. Na osnovu osnovnog svojstva razlomka, prvi od ovih razlomaka možemo dovesti u takav oblik da će brojilac i imenilac biti najmanji. U stvari, ako se brojilac i imenilac razlomka 15/20 podijele sa 5, tada će biti jednako 3/4, tj. 15/20 = 3/4.

Ova transformacija (istovremeno smanjenje brojila i nazivnika za isti broj puta), koja vam omogućava da dobijete razlomak sa velikim brojinikom i imeniocem iz razlomka sa velikim brojiocem i nazivnikom, ali jednake veličine sa manjim članovima, je zove se redukcija razlomaka.

Dakle, smanjenje razlomka je njegova zamjena drugim jednakim razlomkom s manjim članovima, dijeljenjem brojnika i nazivnika istim brojem.

Smanjili smo razlomak 15/20 i došli do razlomka 3/4, koji se više ne može smanjiti, jer njegovi članovi 3 i 4 nemaju zajednički djelitelj (osim jednog). Takav razlomak se zove nesvodivo. Postoje dva puta kojima možete ići kada smanjujete razlomke. Prvi način je da se razlomak smanjuje postupno, a ne odmah, tj. nakon prve redukcije ponovo se dobije razlomak koji se može svesti, koji se zatim ponovo smanjuje, a ovaj proces može biti dugotrajan ako se brojilac i nazivnik izrazi velikim brojevima. i imaju mnogo zajedničkih razdjelnika.

Uzmimo razlomak 60/120 i smanjimo ga redom, prvo za 2, dobijamo 60/120 = 30/60 Novi razlomak (30/60) se takođe može smanjiti za 2, dobijamo 30/60 = 15/30. Članovi novog razlomka 15/30 imaju zajedničke djelitelje, tako da možete smanjiti ovaj razlomak za 3, dobićete 15/30 = 5/10. Konačno, posljednji razlomak se može smanjiti za 5, tj. 5/10 = 1/2. Ovo je sukcesivno smanjenje razlomaka.

Lako je zaključiti da se ovaj razlomak (60/120) može odmah smanjiti za 60, a dobili bismo isti rezultat. Koliko je 60 za brojeve 60 i 120? Najveći zajednički djelitelj. To znači da smanjenje razlomka najvećim zajedničkim djeliteljem njegovih članova omogućava da se on odmah dovede u oblik nesvodljivog razlomka, zaobilazeći međudjeljenje. Ovo je drugi način smanjenja razlomaka.

§ 86. Svođenje razlomaka na najmanji zajednički imenilac.

Uzmimo neke razlomke:

Ako počnemo porediti prvi razlomak sa drugim (1/2 i 1/3), osjetit ćemo neke poteškoće. Naravno, razumijemo da je polovina više od jedne trećine, jer je u prvom slučaju vrijednost podijeljena na dva jednaka dijela, au drugom slučaju na tri jednaka dijela; ali koja je razlika između njih, još je teško odgovoriti. Druga stvar su drugi razlomak i treći (1/3 i 2/3), lako ih je uporediti, jer je odmah jasno da je drugi razlomak manji od trećeg za jednu trećinu. Lako je shvatiti da u onim slučajevima kada upoređujemo razlomke sa istim imeniocima, nema poteškoća, u istim slučajevima kada su imenioci upoređenih razlomaka različiti, nastaju neke neugodnosti. Provjerite to upoređujući ostatak podataka o razlomcima.

Stoga se postavlja pitanje: da li je moguće, kada se porede dva razlomka, osigurati da su imenioci isti? To se može učiniti na osnovu osnovnog svojstva razlomka, odnosno ako imenilac povećamo nekoliko puta, onda da se vrijednost razlomka ne bi promijenila, njegov brojnik se mora povećati za isti iznos.

Na ovaj način možemo svesti razlomke s različitim nazivnicima na zajednički imenilac.

Ako želite neke razlomke svesti na zajednički nazivnik, prvo morate pronaći broj koji bi bio djeljiv sa nazivnikom svakog od ovih razlomaka. Stoga je prvi korak u procesu svođenja razlomaka na zajednički nazivnik pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika za date imenioce. Nakon što se pronađe najmanji zajednički višekratnik, potrebno je, dijeljenjem sa svakim imeniocem, za svaki razlomak dobiti tzv. dodatni množitelj. To će biti brojevi koji pokazuju koliko se puta brojilac i nazivnik svakog razlomka moraju povećati da bi im imenioci postali jednaki. Razmotrite primjere.

1. Svedimo razlomke 7/30 i 8/15 na zajednički imenilac. Pronađite najmanji zajednički višekratnik za nazivnike 30 i 15. U ovom slučaju, ovo će biti imenilac prvog razlomka, tj. 30. Ovo će biti najmanji zajednički imenilac za razlomke 7/30 i 8/15. Sada pronađimo dodatne faktore: 30: 30 = 1, 30: 15 = 2. Dakle, za prvi razlomak dodatni faktor će biti 1, a za drugi 2. Prvi razlomak će ostati nepromijenjen. Pomnožeći članove drugog razlomka dodatnim faktorom, dovodimo ga do imenioca 30:

2. Dovedemo tri razlomka na zajednički imenilac: 7/30, 11/60 i 3/70.

Nađimo za nazivnike 30, 60 i 70 najmanji zajednički višekratnik:

Najmanji zajednički višekratnik će biti 2 2 3 5 7 = 420.

Ovo će biti najmanji zajednički imenilac ovih razlomaka.

Sada pronađimo dodatne faktore: 420: 30 = 14; 420: 60 = 7; 420: 70 = 6. Dakle, za prvi razlomak dodatni faktor će biti 14, za drugi 7, a za treći 6. Množenjem članova razlomaka odgovarajućim dodatnim faktorima, dobićemo razlomke sa jednakim nazivnicima:

3. Smanjimo razlomak na zajednički imenilac: 8/25 i 5/12. Imenioci ovih razlomaka (25 i 12) su međusobno prosti brojevi. Stoga će se njihovim množenjem dobiti najmanji zajednički višekratnik: 25 x 12 \u003d 300. Dodatni faktor za prvi razlomak bit će 12, a za drugi 25. Ovi razlomci će imati oblik:

Da biste razlomke sveli na najmanji zajednički nazivnik, prvo morate pronaći najmanji zajednički višekratnik svih imenilaca i odrediti dodatni faktor za svaki nazivnik, a zatim pomnožiti oba člana svakog razlomka odgovarajućim dodatnim faktorom.

Nakon što smo naučili kako da razlomke svedemo na zajednički nazivnik, poređenje razlomaka po veličini više neće predstavljati nikakve poteškoće. Sada možemo uporediti vrijednost bilo koja dva razlomka, dovodeći ih prvo do zajedničkog nazivnika.

Postoji mnogo vrsta brojeva, a jedan od njih su cijeli brojevi. Pojavili su se cijeli brojevi kako bi se olakšalo brojanje ne samo u pozitivnom smjeru, već iu negativnom.

Razmotrimo primjer:
Tokom dana napolju je bilo 3 stepena. Do večeri temperatura je pala za 3 stepena.
3-3=0
Napolju je bilo 0 stepeni. A noću je temperatura pala za 4 stepena i počela je pokazivati ​​na termometru -4 stepena.
0-4=-4

Niz cijelih brojeva.

Takav problem ne možemo opisati prirodnim brojevima, ovaj problem ćemo razmatrati na koordinatnoj liniji.

Imamo niz brojeva:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Ova serija brojeva se zove pored celih brojeva.

Cjelobrojni pozitivni brojevi. Cijeli negativni brojevi.

Niz cijelih brojeva sastoji se od pozitivnih i negativnih brojeva. Desno od nule su prirodni brojevi, ili se oni takođe nazivaju cijelim pozitivnim brojevima. I lijevo od nule cijelih negativnih brojeva.

Nula nije ni pozitivna ni negativna. To je granica između pozitivnih i negativnih brojeva.

je skup brojeva koji se sastoji od prirodnih brojeva, negativnih cijelih brojeva i nule.

Niz cijelih brojeva u pozitivnim i negativnim smjerovima je beskrajno mnoštvo.

Ako uzmemo bilo koja dva cijela broja, tada će biti pozvani brojevi između ovih cijelih brojeva krajnji set.

Na primjer:
Uzmimo cijele brojeve od -2 do 4. Svi brojevi između ovih brojeva su uključeni u konačni skup. Naš konačni skup brojeva izgleda ovako:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Prirodni brojevi se označavaju latiničnim slovom N.
Cijeli brojevi su označeni latiničnim slovom Z. Cijeli skup prirodnih brojeva i cijelih brojeva može se prikazati na slici.


Nepozitivni cijeli brojevi drugim riječima, oni su negativni cijeli brojevi.
Nenegativni cijeli brojevi su pozitivni cijeli brojevi.

To cijeli brojevi uključuju prirodne brojeve, nulu i brojeve suprotne prirodnim brojevima.

Integers su pozitivni cijeli brojevi.

Na primjer: 1, 3, 7, 19, 23, itd. Takve brojeve koristimo za brojanje (na stolu je 5 jabuka, auto ima 4 kotača itd.)

Latinsko slovo \mathbb(N) - označeno skup prirodnih brojeva.

Prirodni brojevi ne mogu sadržavati negativne (stolica ne može imati negativan broj nogu) i razlomke (Ivan nije mogao prodati 3,5 bicikla).

Brojevi suprotni prirodnim brojevima su negativni cijeli brojevi: -8, -148, -981, ....

Aritmetičke operacije s cijelim brojevima

Šta možete učiniti s cijelim brojevima? Mogu se međusobno množiti, sabirati i oduzimati. Analizirajmo svaku operaciju na konkretnom primjeru.

Cjelobrojno sabiranje

Dva cijela broja sa istim predznacima se sabiraju na sljedeći način: moduli ovih brojeva se sabiraju i rezultirajućem zbroju prethodi konačni predznak:

(+11) + (+9) = +20

Oduzimanje cijelih brojeva

Dva cijela broja s različitim predznacima dodaju se na sljedeći način: modul manjeg broja oduzima se od modula većeg broja, a ispred odgovora se stavlja predznak većeg broja po modulu:

(-7) + (+8) = +1

Cjelobrojno množenje

Da biste jedan cijeli broj pomnožili drugim, potrebno je pomnožiti module ovih brojeva i staviti znak “+” ispred primljenog odgovora ako su originalni brojevi bili sa istim predznacima i znak “-” ako su originalni brojevi bili sa različitim znakovima:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Trebalo bi zapamtiti sljedeće pravilo množenja cijelog broja:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Postoji pravilo za množenje nekoliko cijelih brojeva. Prisjetimo se:

Znak proizvoda će biti “+” ako je broj faktora sa negativnim predznakom paran i “-” ako je broj faktora sa negativnim predznakom neparan.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Dijeljenje cijelih brojeva

Dijeljenje dva cijela broja vrši se na sljedeći način: modul jednog broja dijeli se s modulom drugog, a ako su predznaci brojeva isti, onda se ispred rezultirajućeg količnika stavlja znak "+". , a ako su predznaci originalnih brojeva različiti, onda se stavlja znak “−”.

(-25) : (+5) = -5

Svojstva sabiranja i množenja cijelih brojeva

Analizirajmo osnovna svojstva sabiranja i množenja za bilo koje cijele brojeve a, b i c:

1. a + b = b + a - komutativno svojstvo sabiranja;
2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) - asocijativno svojstvo zbrajanja;
3. a \cdot b = b \cdot a - komutativno svojstvo množenja;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- asocijativna svojstva množenja;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c je distributivno svojstvo množenja.

Prvi nivo

Najveći zajednički višekratnik i najmanji zajednički djelitelj. Kriterijumi djeljivosti i metode grupisanja (2019.)

Da biste MNOGO pojednostavili svoj život kada trebate nešto da izračunate, da osvojite dragocjeno vrijeme na OGE ili USE, da napravite manje glupih grešaka - pročitajte ovaj odjeljak!

Evo šta ćete naučiti:

• kako izračunati brže, lakše i preciznije koristećigrupisanje brojevapri sabiranju i oduzimanju,
• kako brzo pomnožiti i podijeliti bez grešaka koristeći pravila množenja i kriterije djeljivosti,
• kako značajno ubrzati proračune koristeći najmanji zajednički višekratnik(NOC) i najveći zajednički djelitelj(GCD).

Posjedovanje tehnika iz ove sekcije može preokrenuti vagu u jednom ili drugom smjeru... bilo da upišete fakultet svojih snova ili ne, vi ili vaši roditelji ćete morati platiti mnogo novca za obrazovanje ili ćete ući u budžet .

Zaronimo odmah u... (Idemo!)

Važna napomena!Ako umjesto formula vidite besmislice, obrišite keš memoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu)

Mnogo cijeli brojevi sastoji se od 3 dijela:

1. cijeli brojevi(u nastavku ćemo ih detaljnije razmotriti);
2. brojevi suprotni prirodnim brojevima(sve će doći na svoje mjesto čim saznate šta su prirodni brojevi);
3. nula - " " (kuda bez toga?)

slovo Z.

Integers

“Bog je stvorio prirodne brojeve, sve ostalo je djelo ljudskih ruku” (c) njemački matematičar Kronecker.

Prirodni brojevi su brojevi koje koristimo za brojanje objekata i na tome se zasniva njihova istorija nastanka - potreba za brojanjem strelica, skinova itd.

1, 2, 3, 4...n

slovo N.

Shodno tome, ova definicija ne uključuje (zar ne možete računati čega nema?) i još više ne uključuje negativne vrijednosti (ima li jabuke?).

Osim toga, nisu uključeni svi razlomci (takođe ne možemo reći "imam laptop" ili "Prodao sam automobile")

Bilo koji prirodni broj može se napisati pomoću 10 cifara:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Dakle, 14 nije broj. Ovo je broj. Od kojih se brojeva sastoji? Tako je, od brojeva i.

Dodatak. Grupisanje prilikom zbrajanja radi bržeg brojanja i manje grešaka

Šta zanimljivo možete reći o ovoj proceduri? Naravno, sada ćete odgovoriti "vrijednost sume se ne mijenja preuređivanjem pojmova." Čini se da je primitivno pravilo poznato iz prve klase, međutim, kada se rješavaju veliki primjeri, to odmah zaboravljena!

Ne zaboravi na njegakoristite grupisanje, kako biste olakšali proces brojanja i smanjili vjerovatnoću grešaka, jer nećete imati kalkulator za ispit.

Pogledajte sami koji izraz je lakše dodati?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

Naravno drugi! Iako je rezultat isti. Ali! S obzirom na drugi način, manje je vjerovatno da ćete pogriješiti i sve ćete učiniti brže!

Dakle, u svom umu razmišljate ovako:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Oduzimanje. Grupisanje prilikom oduzimanja radi bržeg brojanja i manje greške

Prilikom oduzimanja možemo grupirati oduzete brojeve, na primjer:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Što ako se u primjeru oduzimanje isprepliće sa sabiranjem? Možete i grupisati, odgovorit ćete, i to s pravom. Samo vas molim, ne zaboravite na znakove ispred brojeva, na primjer: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Zapamtite: pogrešno postavljeni znakovi dovest će do pogrešnog rezultata.

Množenje. Kako se umnožiti u svom umu

Očigledno je da se vrijednost proizvoda također neće promijeniti promjenom mjesta faktora:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Neću vam reći da “koristite ovo kada rješavate probleme” (i sami ste dobili nagovještaj, zar ne?), već ću vam reći kako da brzo pomnožite neke brojeve u svojoj glavi. Dakle, pažljivo pogledajte tabelu:

I još malo o množenju. Naravno, sećate se dve posebne prilike... Pogodite na šta mislim? Evo o tome:

Oh da, hajde da pogledamo znakove djeljivosti. Ukupno postoji 7 pravila za znakove djeljivosti, od kojih prva 3 već sigurno znate!

Ali ostalo nije nimalo teško zapamtiti.

7 znakova djeljivosti brojeva koji će vam pomoći da brzo prebrojite u svojoj glavi!

• Vi, naravno, znate prva tri pravila.
• Četvrti i peti se lako pamte – kada dijelimo sa i gledamo da li je zbir cifara koje čine broj djeljiv sa ovim.
• Prilikom dijeljenja obraćamo pažnju na posljednje dvije cifre broja - da li je broj koji oni čine djeljiv?
• Kada se dijeli brojem, on mora biti djeljiv sa i sa u isto vrijeme. To je sva mudrost.

Da li sada razmišljate - "zašto mi sve ovo treba"?

Prvo, ispit je bez kalkulatora a ova pravila će vam pomoći da se snađete u primjerima.

I drugo, čuli ste o zadacima GCD i NOC? Poznata skraćenica? Počnimo da pamtimo i razumemo.

Najveći zajednički djelitelj (gcd) - potreban za smanjenje razlomaka i brza izračunavanja

Recimo da imate dva broja: i. Koji je najveći broj djeljiv sa oba ova broja? Odgovorićete bez oklijevanja, jer znate da:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Koji su brojevi u proširenju uobičajeni? Tako je, 2 * 2 = 4. To je bio vaš odgovor. Imajući na umu ovaj jednostavan primjer, nećete zaboraviti algoritam za pronalaženje GCD. Pokušajte to "ugraditi" u svoju glavu. Desilo se?

Da biste pronašli NOD potrebno vam je:

1. Rastaviti brojeve na proste faktore (na brojeve koji se ne mogu podijeliti ničim drugim osim samim sobom ili, na primjer, 3, 7, 11, 13, itd.).
2. Pomnožite ih.

Shvaćate li zašto su nam bili potrebni znaci djeljivosti? Tako da pogledate broj i možete početi dijeliti bez ostatka.

Na primjer, pronađimo GCD brojeva 290 i 485

Prvi broj - .

Gledajući ga, odmah možete reći čime je deljiv, napišimo:

ne možete ga podijeliti na bilo šta drugo, ali možete - i, dobijamo:

290 = 29 * 5 * 2

Uzmimo drugi broj - 485.

Prema znakovima djeljivosti, mora biti djeljiv sa bez ostatka, jer se završava sa. Mi dijelimo:

Hajde da analiziramo originalni broj.

• Ne može se podijeliti sa (zadnja cifra je neparna),
• - nije djeljiv sa, tako da ni broj nije djeljiv sa,
• također nije djeljiv sa i (zbir cifara u broju nije djeljiv sa i sa)
• takođe nije deljiv, jer nije deljiv sa i,
• također nije djeljiv sa i, budući da nije djeljiv sa i.
• ne može se u potpunosti podijeliti

Dakle, broj se može razložiti samo na i.

A sada hajde da nađemo GCD ovi brojevi (i). Koji je ovo broj? Ispravno, .

Hoćemo li vježbati?

Zadatak broj 1. Pronađite GCD brojeva 6240 i 6800

1) Odmah dijelim sa, pošto su oba broja 100% djeljiva sa:

2) Podijelit ću s preostalim velikim brojevima (s), budući da su podijeljeni sa bez ostatka (istovremeno, neću razlagati - to je već zajednički djelitelj):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Otići ću na miru i početi razmatrati brojeve i. Oba broja su tačno djeljiva sa (završavaju se parnim znamenkama (u ovom slučaju predstavljamo kao, ali se mogu podijeliti sa)):

4) Radimo sa brojevima i. Da li imaju zajedničke djelitelje? Lako je kao u prethodnim koracima, i ne možete reći, pa ćemo ih onda samo rastaviti na jednostavne faktore:

5) Kao što vidimo, bili smo u pravu: i nemamo zajedničkih djelitelja, a sada treba množiti.
GCD

Zadatak broj 2. Pronađite GCD brojeva 345 i 324

Ovdje ne mogu brzo pronaći barem jedan zajednički djelitelj, pa samo razlažem na proste faktore (što je manje moguće):

Tačno, GCD i ja u početku nismo provjerili kriterij djeljivosti i, možda, ne bih morao raditi toliko radnji. Ali provjerili ste, zar ne? Dobro urađeno! Kao što vidite, prilično je lako.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM) - štedi vrijeme, pomaže u rješavanju problema izvan okvira

Recimo da imate dva broja - i. Koji je najmanji broj koji je djeljiv bez traga(tj. potpuno)? Teško je zamisliti? Evo vizuelnog traga za vas:

Sjećate li se šta to pismo znači? Tako je, samo cijeli brojevi. Dakle, koji je najmanji broj koji odgovara x? :

U ovom slučaju.

Iz ovog jednostavnog primjera slijedi nekoliko pravila.

Pravila za brzo pronalaženje NOC-a

Pravilo 1. Ako je jedan od dva prirodna broja djeljiv drugim brojem, tada je veći od ova dva broja njihov najmanji zajednički višekratnik.

Pronađite sljedeće brojeve:

• NOK (7;21)
• NOK (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Naravno, lako ste se nosili sa ovim zadatkom i dobili ste odgovore -, i.

Imajte na umu da u pravilu govorimo o DVA broja, ako ima više brojeva, onda pravilo ne funkcionira.

Na primjer, LCM (7;14;21) nije jednak 21, jer se ne može podijeliti bez ostatka sa.

Pravilo 2. Ako su dva (ili više od dva) broja međusobno prosta, tada je najmanji zajednički višekratnik jednak njihovom proizvodu.

naći NOC za sljedeće brojeve:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

Jeste li brojali? Evo odgovora - , ; .

Kao što razumijete, nije uvijek tako lako uzeti i podići ovaj isti x, pa za malo složenije brojeve postoji sljedeći algoritam:

Hoćemo li vježbati?

Pronađite najmanji zajednički višekratnik - LCM (345; 234)

Hajde da raščlanimo svaki broj:

Zašto sam upravo napisao? Zapamtite znakove djeljivosti sa: djeljiv sa (posljednja znamenka je parna) i zbir cifara je djeljiv sa. Shodno tome, možemo odmah podijeliti po, zapisati kao.

Sada ispisujemo najdužu ekspanziju u redu - drugu:

Dodajmo tome brojeve iz prvog proširenja, kojih nema u onome što smo napisali:

Napomena: sve smo ispisali osim za, pošto ga već imamo.

Sada moramo pomnožiti sve ove brojeve!

Pronađite najmanji zajednički višekratnik (LCM) sami

Koje ste odgovore dobili?

Evo šta mi se desilo:

Koliko vam je trebalo da pronađete NOC? Moje vrijeme je 2 minute, stvarno znam jedan trik, koji predlažem da otvorite odmah!

Ako ste veoma pažljivi, onda ste verovatno primetili da smo za date brojeve već tražili GCD i mogli biste uzeti faktorizaciju ovih brojeva iz tog primjera, čime biste pojednostavili svoj zadatak, ali to je daleko od svega.

Pogledajte sliku, možda vam padne na pamet još neka razmišljanja:

Pa? Dat ću vam savjet: pokušajte umnožiti NOC i GCD između sebe i zapišite sve faktore koji će biti pri množenju. Jeste li uspjeli? Trebali biste završiti s ovakvim lancem:

Pogledajte to izbliza: uporedite faktore sa načinom na koji se i razlažu.

Kakav zaključak možete izvući iz ovoga? Ispravno! Ako pomnožimo vrijednosti NOC i GCD između sebe, onda dobijamo proizvod ovih brojeva.

Shodno tome, imaju brojeve i značenje GCD(ili NOC), možemo pronaći NOC(ili GCD) na sljedeći način:

1. Pronađite proizvod brojeva:

2. Dobiveni proizvod podijelimo našim GCD (6240; 6800) = 80:

To je sve.

Napišimo pravilo u opštem obliku:

Pokusaj naci GCD ako se zna da:

Jeste li uspjeli? .

Negativni brojevi - "lažni brojevi" i njihovo prepoznavanje od strane čovječanstva.

Kao što ste već shvatili, ovo su brojevi suprotni prirodnim, odnosno:

Negativni brojevi se mogu sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti - baš kao prirodni brojevi. Čini se da su tako posebni? Ali činjenica je da su negativni brojevi "osvojili" svoje pravo mjesto u matematici sve do 19. stoljeća (do tog trenutka je bilo velika količina sporovi da li postoje ili ne).

Sam negativan broj nastao je zbog takve operacije s prirodnim brojevima kao što je "oduzimanje". Zaista, oduzmite od - to je negativan broj. Zato se skup negativnih brojeva često naziva „produženjem skupa prirodni brojevi».

Negativne brojeve ljudi dugo vremena nisu prepoznavali. Dakle, Stari Egipat, Babilon i Stara Grčka - svjetla svog vremena, nisu prepoznavali negativne brojeve, a u slučaju dobivanja negativnih korijena u jednadžbi (na primjer, kao što imamo), korijeni su odbačeni kao nemogući.

Prvi put negativni brojevi su dobili pravo na postojanje u Kini, a potom u 7. veku u Indiji. Šta mislite o ovom priznanju? Tako je, negativni brojevi počeli su označavati dugove (inače - nestašice). Vjerovalo se da su negativni brojevi privremena vrijednost, koja će se kao rezultat promijeniti u pozitivnu (to jest, novac će se i dalje vraćati kreditoru). Međutim, indijski matematičar Brahmagupta je već tada smatrao negativne brojeve ravnopravno s pozitivnim.

U Evropi je korisnost negativnih brojeva, kao i činjenica da oni mogu označiti dug, došla mnogo kasnije, odnosno milenijumom. Prvi pomen je viđen 1202. godine u „Knjizi o abakusu“ Leonarda iz Pize (odmah kažem da autor knjige nema nikakve veze sa Krivim tornjem u Pizi, ali su Fibonačijevi brojevi njegovo delo ( nadimak Leonarda iz Pize je Fibonači)). Nadalje, Evropljani su došli do zaključka da negativni brojevi mogu značiti ne samo dugove, već i nedostatak nečega, međutim, nisu svi to prepoznali.

Dakle, u XVII veku, Paskal je to verovao. Šta mislite kako je to opravdao? Tako je, "ništa ne može biti manje od NIŠTA". Odjek tih vremena ostaje činjenica da se negativni broj i operacija oduzimanja označavaju istim simbolom - minus "-". I istina: . Da li je broj " " pozitivan, koji se oduzima, ili negativan, koji se dodaje? ... Nešto iz serije "što je prvo: kokoška ili jaje?" Evo takve vrste ove matematičke filozofije.

Negativni brojevi su osigurali svoje pravo na postojanje pojavom analitičke geometrije, drugim riječima, kada su matematičari uveli nešto poput realne ose.

Od tog trenutka dolazi do ravnopravnosti. Međutim, i dalje je bilo više pitanja nego odgovora, na primjer:

proporcija

Ova proporcija se naziva Arnoov paradoks. Razmislite, šta je tu sumnjivo?

Hajde da razgovaramo zajedno " " više od " " zar ne? Dakle, po logici, lijeva strana proporcije bi trebala biti veća od desne, ali su jednake... Ovdje je paradoks.

Kao rezultat toga, matematičari su se složili da je Karl Gauss (da, da, to je onaj koji je razmatrao zbir (ili) brojeva) 1831. godine stavio tačku na to - rekao je da negativni brojevi imaju ista prava kao i pozitivni, a to što ne važe za sve stvari ne znači ništa, jer razlomci ne važe ni za mnoge stvari (ne dešava se da kopač iskopa rupu, ne možete kupiti kartu za kino itd.).

Matematičari su se smirili tek u 19. veku, kada su teoriju negativnih brojeva stvorili Vilijam Hamilton i Herman Grasman.

Eto koliko su oni kontroverzni, ti negativni brojevi.

Pojava "praznine", ili biografija nule.

U matematici, poseban broj. Na prvi pogled, ovo nije ništa: dodajte, oduzmite - ništa se neće promijeniti, ali samo morate to pripisati pravu na "", a rezultirajući broj će biti višestruko veći od originalnog. Množenjem sa nulom sve pretvaramo u ništa, ali ne možemo dijeliti s "ništa". Jednom riječju, magični broj)

Istorija nule je duga i komplikovana. Trag nule nalazi se u spisima Kineza 2000. godine nove ere. a još ranije kod Maja. Prva upotreba simbola nule, kakav je danas, viđena je među grčkim astronomima.

Postoji mnogo verzija zašto je odabrana takva oznaka "ništa". Neki istoričari su skloni vjerovanju da je riječ o omikronu, tj. Prvo slovo grčke riječi za ništa je ouden. Prema drugoj verziji, riječ "obol" (kovanica gotovo bez vrijednosti) dala je život simbolu nule.

Nula (ili nula) kao matematički simbol se prvi put pojavljuje među Indijancima (imajte na umu da su se negativni brojevi tamo počeli „razvijati“). Prvi pouzdani dokazi o pisanju nule datiraju iz 876, a u njima je "" komponenta broja.

I nula je u Evropu došla sa zakašnjenjem - tek 1600. godine, i baš kao i negativni brojevi, naišla je na otpor (šta možete, oni su Evropljani).

„Nulu su često mrzili, bojali su se ili čak zabranjivali od pamtiveka“, piše američki matematičar Charles Seif. Dakle, turski sultan Abdul-Hamid II krajem 19. vijeka. naredio je cenzorima da izbrišu formulu vode H2O iz svih udžbenika hemije, uzimajući slovo "O" za nulu i ne želeći da njegovi inicijali budu oklevetani blizinom prezrene nule.

Na internetu možete pronaći frazu: „Nula je najmoćnija sila u svemiru, može sve! Nula stvara red u matematici, a unosi i haos u nju. Potpuno tačna poenta :)

Sažetak odjeljka i osnovne formule

Skup cijelih brojeva sastoji se od 3 dijela:

• prirodni brojevi (u nastavku ćemo ih detaljnije razmotriti);
• brojevi suprotni prirodnim;
• nula - " "

Skup cijelih brojeva je označen slovo Z.

1. Prirodni brojevi

Prirodni brojevi su brojevi koje koristimo za brojanje objekata.

Skup prirodnih brojeva je označen slovo N.

U operacijama s cijelim brojevima, trebat će vam sposobnost da pronađete GCD i LCM.

Najveći zajednički djelitelj (GCD)

Da biste pronašli NOD potrebno vam je:

1. Rastaviti brojeve na proste faktore (na brojeve koji se ne mogu podijeliti ničim drugim osim samim sobom ili, na primjer, itd.).
2. Zapišite faktore koji su dio oba broja.
3. Pomnožite ih.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Da biste pronašli NOC potrebno vam je:

1. Faktorizujte brojeve u proste faktore (to već znate vrlo dobro).
2. Napišite faktore uključene u proširenje jednog od brojeva (bolje je uzeti najduži lanac).
3. Dodajte im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva.
4. Pronađite proizvod rezultirajućih faktora.

2. Negativni brojevi

To su brojevi koji su suprotni prirodnim brojevima, odnosno:

Sada želim da čujem od tebe...

Nadam se da ste cijenili super-korisne "trikove" ovog odjeljka i shvatili kako će vam oni pomoći na ispitu.

I što je još važnije, u životu. Ne pričam o tome, ali vjerujte mi, ovaj jeste. Sposobnost brzog brojanja i bez grešaka spašava u mnogim životnim situacijama.

Sada je tvoj red!

Napišite, hoćete li u proračunima koristiti metode grupisanja, kriterije djeljivosti, GCD i LCM?

Možda ste ih već koristili? Gdje i kako?

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Napišite u komentarima kako vam se sviđa članak.

I sretno na ispitima!

Sadržaj članka

Pojam broja u matematici može se odnositi na objekte različite prirode: prirodne brojeve koji se koriste u brojanju (pozitivni cijeli brojevi 1, 2, 3, itd.), brojeve koji su mogući rezultati (idealiziranih) mjerenja (to su brojevi kao npr. 2/ 3, - zovu se realni brojevi), negativni brojevi, imaginarni brojevi (recimo k) i druge apstraktnije klase brojeva koje se koriste u višim dijelovima matematike (na primjer, hiperkompleksni i transfinitni brojevi). Broj se mora razlikovati od njegovog simbola ili oznake koja ga predstavlja. Razmotrit ćemo logičke odnose između različitih klasa brojeva.

Takve se zagonetke lako rješavaju, ako uzmemo u obzir da različite klase brojeva imaju sasvim različita značenja; iako imaju dovoljno zajedničkog da se svi mogu nazvati brojevima, ne treba misliti da će svi zadovoljiti ista pravila.

pozitivni cijeli brojevi.

Iako svi učimo pozitivne cijele brojeve (1, 2, 3, itd.) u ranom djetinjstvu, kada jedva da pada na pamet razmišljati o definicijama, ipak se takvi brojevi mogu definirati svim pravilima formalne logike. Stroga definicija broja 1 zauzela bi više od desetak stranica, a formula poput 1 + 1 = 2, ako je napisana u potpunosti bez ikakvih skraćenica, protezala bi se nekoliko kilometara. Međutim, svaka matematička teorija je prinuđena da počne s nekim nedefiniranim konceptima i aksiomima ili postulatima o njima. Budući da su pozitivni cijeli brojevi dobro poznati i da ih je teško definirati koristeći nešto jednostavnije, uzet ćemo ih kao originalne nedefinirane pojmove i pretpostaviti da su osnovna svojstva ovih brojeva poznata.

Negativni cijeli brojevi i nula.

Negativni brojevi su uobičajeni ovih dana: koriste se, na primjer, da predstavljaju temperature ispod nule. Stoga se čini iznenađujućim da prije nekoliko stoljeća nije postojala posebna interpretacija negativnih brojeva, a negativni brojevi koji su se pojavljivali u toku proračuna nazivani su "imaginarnim". Iako je intuitivno tumačenje negativnih brojeva korisno samo po sebi, kada pokušavamo da razumemo "pravila" kao što su (-4)´(-3) = +12, moramo definisati negativne brojeve u smislu pozitivnih brojeva. Da bismo to učinili, moramo izgraditi skup takvih matematičkih objekata koji će se ponašati u aritmetici i algebri točno onako kako bi se očekivalo od negativnih brojeva. Jedan od načina da se konstruiše takav skup je razmatranje uređenih parova pozitivnih brojeva ( a,b). "Naručeno" znači da se, na primjer, par (2,3) razlikuje od para (3,2). Takvi uređeni parovi mogu se smatrati novom klasom brojeva. Sada moramo reći kada su dva takva nova broja jednaka i šta znači njihovo sabiranje i množenje. Naš izbor definicija vođen je željom da par ( a,b) djelovalo kao razlika ( a – b), koji je do sada definisan samo kada a više b. Pošto u algebri ( a-b) + (c-d) = (a+c) – (b+d), dolazimo do potrebe da sabiranje novih brojeva definiramo kao ( a,b) + (c,d) = (a+c, b+d); jer ( a – b)ґ(c – d) = ac + bd – (bc + ad), definiramo množenje jednakošću ( a,b)ґ(c,d) = (ac+bd, bc + ad); i od ( a-b) = (c-d), ako a + d = b + c, definiramo jednakost novih brojeva relacijom ( a,b) = (c,d), ako a + d = b + c. Na ovaj način,

Koristeći definicije jednakosti parova, možemo zapisati zbir i proizvod parova u jednostavnijem obliku:

Svi parovi ( a,a) su jednaki (prema definiciji jednakosti parova) i ponašaju se kako očekujemo da nula djeluje. Na primjer, (2.3) + (1.1) = (3.4) = (2.3); (2,3)´(1,1) = (2 + 3, 2 + 3) = (5,5) = (1,1). parovi ( a,a) možemo simbolizirati 0 (što još nije korišteno).

parovi ( a,b), gdje b više a, ponašaju se kako bi negativni brojevi trebali, i možemo označiti par ( a,b) simbol –( b – a). Na primjer, -4 je (1.5), a -3 je (1.4); (–4)´(–3) = (21,9) ili (13,1). Posljednji broj bismo željeli označiti kao 12, ali to svakako nije isto što i pozitivni cijeli broj 12, jer označava par pozitivnih cijelih brojeva, a ne jedan pozitivan cijeli broj. Mora se naglasiti da budući da parovi ( a,b), gdje b manje a, djeluju kao pozitivni cijeli brojevi ( a – b), pisaćemo brojeve kao ( a – b). U isto vrijeme moramo zaboraviti na pozitivne cijele brojeve s kojima smo započeli i od sada koristiti samo naše nove brojeve koje ćemo zvati cijeli brojevi. Činjenica da namjeravamo koristiti stare nazive za neke od novih brojeva ne bi trebala dovesti u zabludu da su novi brojevi zapravo objekti druge vrste.

Razlomci.

Intuitivno, razmišljamo o razlomku 2/3 kao rezultatu lomljenja 1 na tri jednaka dijela i uzimanja dva od njih. Međutim, matematičar nastoji da se što manje oslanja na intuiciju i da racionalne brojeve definira u terminima jednostavnijih objekata – cijelih brojeva. Ovo se može učiniti tretiranjem 2/3 kao uređenog para (2,3) cijelih brojeva. Da bismo upotpunili definiciju, potrebno je formulisati pravila za jednakost razlomaka, kao i sabiranje i množenje. Naravno, ova pravila moraju biti ekvivalentna pravilima aritmetike i, naravno, različita od pravila za one uređene parove koje smo definirali kao cijele brojeve. Evo pravila:

Lako je vidjeti da su parovi ( a,1) djeluju kao cijeli brojevi a; Nastavljajući razmišljati na isti način kao u slučaju negativnih brojeva, sa 2 označavamo razlomak (2.1), ili (4.2), ili bilo koji drugi razlomak jednak (2.1). Zaboravimo sada na cijele brojeve i zadržimo ih samo kao sredstvo za pisanje određenih razlomaka.

Racionalni i iracionalni brojevi.

Razlomci se također nazivaju racionalnim brojevima, jer se mogu predstaviti u obliku odnosi(od lat. odnos omjer) dva cijela broja. Ali ako nam treba broj čiji je kvadrat 2, onda se ne možemo snaći s racionalnim brojevima, jer ne postoji racionalni broj čiji je kvadrat jednak 2. Isto postaje jasno ako pitamo za broj koji izražava odnos obima kruga i njegovog prečnika. Stoga, ako želimo dobiti kvadratne korijene svih pozitivnih brojeva, onda moramo proširiti klasu racionalnih brojeva. Novi brojevi, koji se nazivaju iracionalni (tj. neracionalni), mogu se definirati na različite načine. Naručeni parovi nisu dobri za ovo; jedan od najjednostavnijih načina je da se iracionalni brojevi definišu kao beskonačne decimale koje se ne ponavljaju.

Realni brojevi.

Racionalni i iracionalni brojevi zajedno se nazivaju realni ili realni brojevi. Geometrijski, oni se mogu predstaviti tačkama na pravoj liniji, sa razlomcima između celih brojeva i iracionalnim brojevima između razlomaka, kao što je prikazano na slici. 1. Može se pokazati da sistem realnih brojeva ima svojstvo poznato kao "potpunost" što znači da svaka tačka na pravoj odgovara nekom realnom broju.

Kompleksni brojevi.

Pošto su kvadrati pozitivnih i negativnih realnih brojeva pozitivni, ne postoji tačka na liniji realnih brojeva koja odgovara broju čiji je kvadrat -1. Ali ako bismo pokušali riješiti kvadratne jednadžbe kao što je x 2 + 1 = 0, tada bi bilo potrebno postupiti kao da postoji neki broj i, čiji bi kvadrat bio -1. Ali pošto takav broj ne postoji, nemamo izbora nego da koristimo "imaginarni" ili "imaginarni" broj. Shodno tome, "broj" i i njegove kombinacije sa običnim brojevima (poput 2 + 3 i) postao poznat kao imaginarni. Moderni matematičari radije nazivaju takve brojeve "složenim" jer su, kao što ćemo vidjeti, jednako "stvarni" kao i oni s kojima smo se ranije susreli. Dugo vremena matematičari su slobodno koristili imaginarne brojeve i dobijali korisne rezultate, iako nisu u potpunosti razumjeli šta rade. Sve do početka 19. vijeka nikome nije palo na pamet da "oživljava" imaginarne brojeve uz pomoć njihove eksplicitne definicije. Da biste to učinili, morate izgraditi neki skup matematičkih objekata koji bi se, sa stanovišta algebre, ponašali kao izrazi a+bi, ako se s tim slažemo i 2 = -1. Takvi objekti se mogu definirati na sljedeći način. Razmotrimo kao naše nove brojeve uređene parove realnih brojeva čije je zbrajanje i množenje određeno formulama:

Takve uređene parove nazivamo kompleksnim brojevima. Parovi privatnog oblika ( a,0) sa drugim članom jednakim nuli ponašaju se kao realni brojevi, pa ćemo se dogovoriti da ih označimo na isti način: na primjer, 2 znači (2,0). S druge strane, kompleksni broj (0, b) po definiciji množenja ima svojstvo (0, b)ґ(0,b) = (0 – b 2 , 0 + 0) = (–b 2 ,0) = –b 2. Na primjer, u slučaju (0.1)´(0.1) nalazimo proizvod (-1.0); dakle, (0.1) 2 = (–1.0). Već smo se dogovorili da kompleksni broj (-1,0) zapišemo kao -1, pa ako je broj (0,1) označen simbolom i, tada dobijamo kompleksan broj i, takav da i 2 = -1. Osim toga, kompleksni broj (2,3) sada se može zapisati kao 2 + 3 i.

Važna razlika između ovog pristupa kompleksnim brojevima i tradicionalnog je u tome što je u ovom slučaju broj i ne sadrži ništa misteriozno ili imaginarno: to je nešto dobro definisano pomoću brojeva koji su već postojali, iako se, naravno, ne poklapa ni sa jednim od njih. Slično tome, pravi broj 2 nije kompleksan, iako koristimo simbol 2 za predstavljanje kompleksnog broja. Budući da zapravo nema ničeg “imaginarnog” u imaginarnim brojevima, nije iznenađujuće što se oni naširoko koriste u stvarnim situacijama, na primjer u elektrotehnici (gdje umjesto slova i obično koriste slovo j, kao u elektrotehnici i- simbol za trenutnu vrijednost struje).

Algebra kompleksnih brojeva na mnogo načina liči na algebru realnih brojeva, iako postoje značajne razlike. Na primjer, pravilo za kompleksne brojeve ne vrijedi: , dakle , dok .

Dodavanje kompleksnih brojeva omogućava jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Na primjer, zbir brojeva 2 + 3 i i 3 - i postoji broj 5 + 2 i, što odgovara četvrtom vrhu paralelograma sa tri vrha u tačkama 0, 2 + 3 i i 3 - i.

Tačka na ravni može se odrediti ne samo pravokutnim (kartezijanskim) koordinatama ( x,y), ali i po svojim polarnim koordinatama ( r,q) određujući udaljenost od tačke do početka i ugao. Dakle, kompleksni broj x+iy može se napisati i u polarnim koordinatama (slika 2, b). Dužina radijus vektora r jednaka udaljenosti od početka do tačke koja odgovara kompleksnom broju; magnitude r naziva se modulom kompleksnog broja i određuje se formulom . Često se modul piše kao . Ugao q se naziva "ugao", "argument" ili "faza" kompleksnog broja. Takav broj ima beskonačno mnogo uglova koji se razlikuju za više od 360°; na primjer, i ima ugao od 90°, 450°, -270°, j Pošto su kartezijanske i polarne koordinate iste tačke povezane relacijama x = r cos q, y = r grijeh q, jednakost x + iy = r(cos q + i grijeh q).

Ako a z = x + iy, zatim broj x-iy naziva se kompleksnim konjugatom od z i označeno n z = re iq . Logaritam kompleksnog broja re iq, po definiciji, jednako je ln r + iq, gdje ln znači osnovni logaritam e, a q poprima sve moguće vrijednosti mjerene u radijanima. Dakle, kompleksni broj ima beskonačno mnogo logaritama. Na primjer, ln (–2) = ln 2 + ip+ bilo koji cijeli broj višekratnik od 2 str. Općenito, stepeni se sada mogu definirati korištenjem relacije a b = e b ln a. Na primjer, i –2i = e–2ln i. Budući da su vrijednosti argumenta broja i jednaka str/2 (90° izraženo u radijanima) plus celobrojni višekratnik, zatim broj i –2i stvar ep, e 3 str, e -str itd., koji su svi validni.

hiperkompleksnih brojeva.

Kompleksni brojevi su izmišljeni da bi se mogle riješiti sve kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima. Može se pokazati da, zapravo, kompleksni brojevi omogućavaju da se učini mnogo više: njihovim uvođenjem algebarske jednačine bilo kojeg stepena postaju rješive, čak i sa kompleksnim koeficijentima. Posljedično, kada bi nas zanimalo samo rješavanje algebarskih jednačina, onda bi nestala potreba za uvođenjem novih brojeva. Međutim, za druge svrhe su potrebni brojevi koji su raspoređeni donekle slično složenim, ali s više komponenti. Ponekad se takvi brojevi nazivaju hiperkompleksni. Primjeri su kvaternioni i matrice.