Najjednostavnije formule trigonometrijskih jednadžbi su posebni slučajevi. Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe

Video kurs "Osvoji A" obuhvata sve teme neophodne za uspešno polaganje ispita iz matematike za 60-65 poena. U potpunosti svi zadaci 1-13 Profila USE iz matematike. Pogodan i za polaganje Osnovnog USE iz matematike. Ako želite da položite ispit sa 90-100 bodova, potrebno je da riješite prvi dio za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanista.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadataka Banke FIPI. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima USE-2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstovni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih tipova USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.

Lekcija i prezentacija na temu: "Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u online trgovini "Integral" za 10. razred od 1C
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni zadaci za izgradnju u prostoru
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"

Šta ćemo studirati:
1. Šta su trigonometrijske jednačine?

3. Dvije glavne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
4. Homogene trigonometrijske jednadžbe.
5. Primjeri.

Šta su trigonometrijske jednačine?

Ljudi, već smo proučavali arksinus, arkkosinus, arktangens i arkkotangens. Pogledajmo sada trigonometrijske jednadžbe općenito.

Trigonometrijske jednadžbe - jednadžbe u kojima je varijabla sadržana pod znakom trigonometrijske funkcije.

Ponavljamo oblik rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi:

1) Ako je |a|≤ 1, onda jednačina cos(x) = a ima rješenje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ako je |a|≤ 1, onda jednačina sin(x) = a ima rješenje:

3) Ako |a| > 1, tada jednadžba sin(x) = a i cos(x) = a nemaju rješenja 4) Jednačina tg(x)=a ima rješenje: x=arctg(a)+ πk

5) Jednačina ctg(x)=a ima rješenje: x=arcctg(a)+ πk

Za sve formule, k je cijeli broj

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe imaju oblik: T(kx+m)=a, T- bilo koja trigonometrijska funkcija.

Riješite jednačine: a) sin(3x)= √3/2

Rješenje:

A) Označimo 3x=t, onda ćemo našu jednačinu prepisati u obliku:

Rješenje ove jednačine će biti: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Iz tabele vrednosti dobijamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vratimo se na našu varijablu: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada je x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odgovor: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdje je n cijeli broj. (-1)^n - minus jedan na stepen n.

Više primjera trigonometrijskih jednadžbi.

Rješenje:

A) Ovaj put ćemo odmah prijeći direktno na izračunavanje korijena jednadžbe:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada je x/5= πk => x=5πk

Odgovor: x=5πk, gdje je k cijeli broj.

B) Zapisujemo u obliku: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Znamo da je: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odgovor: x=2π/9 + πk/3, gdje je k cijeli broj.

Riješite jednačine: cos(4x)= √2/2. I pronađite sve korijene na segmentu.

Rješenje:

Rešimo našu jednačinu u opštem obliku: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sada da vidimo koji korijeni padaju na naš segment. Za k Za k=0, x= π/16, nalazimo se u datom segmentu .
Sa k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, udarili su ponovo.
Za k=2, x= π/16+ π=17π/16, ali ovdje nismo pogodili, što znači da nećemo pogoditi ni za veliki k.

Odgovor: x= π/16, x= 9π/16

Dvije glavne metode rješenja.

Rešimo jednačinu:

Rješenje:
Za rješavanje naše jednadžbe koristimo metodu uvođenja nove varijable, označene: t=tg(x).

Kao rezultat zamjene, dobijamo: t 2 + 2t -1 = 0

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe: t=-1 i t=1/3

Tada tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, dobili smo najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu, hajde da nađemo njene korijene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odgovor: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Primjer rješavanja jednadžbe

Riješite jednadžbe: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Rješenje:

Koristimo identitet: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša jednadžba postaje: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Hajde da uvedemo zamjenu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe su korijeni: t=2 i t=-1/2

Tada je cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.

Jer kosinus ne može uzeti vrijednosti veće od jedan, tada cos(x)=2 nema korijena.

Za cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odgovor: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrijske jednadžbe.

Jednačine oblika

homogene trigonometrijske jednačine drugog stepena.

Da bismo riješili homogenu trigonometrijsku jednačinu prvog stepena, podijelimo je sa cos(x): Nemoguće je podijeliti kosinusom ako je jednako nuli, uvjerimo se da to nije tako:
Neka je cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ali sinus i kosinus nisu jednaki nuli u isto vrijeme, dobili smo kontradikciju, tako da možemo bezbedno podijeliti po nuli.

Riješite jednačinu:
Primjer: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Rješenje:

Izvadite zajednički faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Zatim moramo riješiti dvije jednačine:

cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 za x= π/2 + πk;

Razmotrite jednačinu cos(x)+sin(x)=0 Podijelite našu jednačinu sa cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odgovor: x= π/2 + πk i x= -π/4+πk

Kako riješiti homogene trigonometrijske jednačine drugog stepena?
Ljudi, uvijek se pridržavajte ovih pravila!

1. Pogledajte čemu je koeficijent a jednak, ako je a = 0 onda će naša jednadžba poprimiti oblik cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), čiji je primjer rješenja na prethodnom slajd

2. Ako je a≠0, tada trebate podijeliti oba dijela jednadžbe na kvadrat kosinusa, dobićemo:

Napravimo promjenu varijable t=tg(x) i dobijemo jednačinu:

Riješi primjer #:3

Podijelite obje strane jednačine kosinusnim kvadratom:

Napravimo promjenu varijable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe: t=-3 i t=1

Tada: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odgovor: x=-arctg(3) + πk i x= π/4+ πk

Riješi primjer #:4

Rješenje:
Transformirajmo naš izraz:

Možemo riješiti takve jednačine: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Odgovor: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Riješi primjer #:5

Rješenje:
Transformirajmo naš izraz:

Uvodimo zamjenu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe bit će korijeni: t=-2 i t=1/2

Tada dobijamo: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odgovor: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Zadaci za samostalno rješavanje.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riješite jednačine: sin(3x)= √3/2. I pronađite sve korijene na segmentu [π/2; π].

3) Riješite jednačinu: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Riješite jednačinu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Riješite jednačinu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Riješite jednačinu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na web stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo prakse privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Trigonometrijske jednadžbe nisu najlakša tema. Bolno, oni su raznoliki.) Na primjer, ovi:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

itd...

Ali ova (i sva druga) trigonometrijska čudovišta imaju dvije zajedničke i obavezne osobine. Prvo - nećete vjerovati - u jednadžbama postoje trigonometrijske funkcije.) Drugo: svi izrazi sa x su u okviru ovih istih funkcija. I samo tamo! Ako se x pojavi negdje vani, na primjer, sin2x + 3x = 3, ovo će biti jednačina mješovitog tipa. Takve jednačine zahtijevaju individualni pristup. Ovdje ih nećemo razmatrati.

Ni u ovoj lekciji nećemo rješavati zle jednačine.) Ovdje ćemo se pozabaviti najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Zašto? Da, jer odluka bilo koji trigonometrijske jednadžbe se sastoje od dvije faze. U prvoj fazi, jednačina zla se raznim transformacijama svodi na jednostavnu. Na drugom - ova najjednostavnija jednačina je riješena. Nema drugog načina.

Dakle, ako imate problema u drugoj fazi, prva faza nema mnogo smisla.)

Kako izgledaju elementarne trigonometrijske jednadžbe?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Evo a označava bilo koji broj. Bilo koji.

Usput, unutar funkcije možda ne postoji čisti x, već neka vrsta izraza, kao što je:

cos(3x+π /3) = 1/2

itd. Ovo komplicira život, ali ne utiče na metodu rješavanja trigonometrijske jednadžbe.

Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?

Trigonometrijske jednadžbe se mogu riješiti na dva načina. Prvi način: pomoću logike i trigonometrijskog kruga. Ovdje ćemo istražiti ovaj put. Drugi način - korištenje memorije i formula - razmatrat ćemo u sljedećoj lekciji.

Prvi način je jasan, pouzdan i teško ga je zaboraviti.) Dobar je za rješavanje trigonometrijskih jednačina, nejednačina i svih vrsta lukavih nestandardnih primjera. Logika je jača od memorije!

Jednačine rješavamo pomoću trigonometrijskog kruga.

Uključujemo elementarnu logiku i mogućnost korištenja trigonometrijskog kruga. Zar ne možeš!? Međutim... Biće vam teško u trigonometriji...) Ali nema veze. Pogledajte lekcije "Trigonometrijski krug ...... Šta je to?" i "Broj uglova na trigonometrijskom krugu." Tamo je sve jednostavno. Za razliku od udžbenika...)

Ah, znaš!? Pa čak i savladao "Praktični rad sa trigonometrijskim krugom"!? Prihvatite čestitke. Ova tema će vam biti bliska i razumljiva.) Ono što posebno raduje je da trigonometrijskom krugu nije važno koju jednačinu rešavate. Sinus, kosinus, tangent, kotangens - sve mu je isto. Princip rješenja je isti.

Dakle, uzimamo bilo koju elementarnu trigonometrijsku jednačinu. barem ovo:

cosx = 0,5

Moram da nađem X. Govoreći ljudskim jezikom, trebate naći ugao (x) čiji je kosinus 0,5.

Kako smo ranije koristili krug? Nacrtali smo ugao na njemu. U stepenima ili radijanima. I to odmah viđeno trigonometrijske funkcije ovog ugla. Sada uradimo suprotno. Nacrtajte kosinus jednak 0,5 na krug i odmah vidit ćemo ugao. Ostaje samo zapisati odgovor.) Da, da!

Nacrtamo krug i označimo kosinus jednak 0,5. Na kosinusnoj osi, naravno. Volim ovo:

Sada nacrtajmo ugao koji nam daje ovaj kosinus. Zadržite pokazivač miša preko slike (ili dodirnite sliku na tabletu) i vidi ovaj isti kutak X.

Koji ugao ima kosinus 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Neki će skeptično gunđati, da... Kažu, je li se isplatilo ograđivati ​​krug, kad je ionako sve jasno... Možete, naravno, gunđati...) Ali činjenica je da je ovo greška odgovori. Ili bolje rečeno, neadekvatan. Poznavaoci kruga razumiju da još uvijek postoji čitava gomila uglova koji također daju kosinus jednak 0,5.

Ako okrenete pokretnu stranu OA za puni okret, tačka A će se vratiti u prvobitni položaj. Sa istim kosinusom jednakim 0,5. One. ugao će se promijeniti 360° ili 2π radijana, i kosinus nije. Novi ugao 60° + 360° = 420° takođe će biti rešenje naše jednačine, jer

Postoji beskonačan broj takvih punih rotacija... I svi ovi novi uglovi bit će rješenja naše trigonometrijske jednačine. I sve ih treba nekako zapisati. Sve. Inače, odluka se ne razmatra, da...)

Matematika to može učiniti jednostavno i elegantno. U jednom kratkom odgovoru zapišite beskonačan skup rješenja. Evo kako to izgleda za našu jednačinu:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ja ću dešifrovati. Još piši smisleno ljepše nego glupo crtati neka misteriozna slova, zar ne?)

π /3 je isti ugao kao i mi vidio na krugu i odlučan prema tabeli kosinusa.

2π je jedan puni okret u radijanima.

n - ovo je broj kompletnih, tj. cijeli revolucije. To je jasno n može biti 0, ±1, ±2, ±3.... i tako dalje. Kao što pokazuje kratki unos:

n ∈ Z

n pripada ( ∈ ) na skup cijelih brojeva ( Z ). Usput, umjesto pisma n mogu se koristiti slova k, m, t itd.

Ova notacija znači da možete uzeti bilo koji cijeli broj n . Najmanje -3, najmanje 0, najmanje +55. Šta želiš. Ako uključite taj broj u svoj odgovor, dobit ćete određeni ugao, koji će sigurno biti rješenje za našu oštru jednadžbu.)

Ili, drugim riječima, x \u003d π / 3 je jedini korijen beskonačnog skupa. Da biste dobili sve ostale korijene, dovoljno je dodati bilo koji broj punih zavoja na π / 3 ( n ) u radijanima. One. 2πn radian.

Sve? br. Ja posebno rastežem zadovoljstvo. Da bolje zapamtimo.) Dobili smo samo dio odgovora na našu jednačinu. Napisat ću ovaj prvi dio rješenja na sljedeći način:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne jedan korijen, to je čitav niz korijena, napisanih u kratkom obliku.

Ali postoje i drugi uglovi koji takođe daju kosinus jednak 0,5!

Vratimo se našoj slici prema kojoj smo zapisali odgovor. Evo je:

Pređite mišem preko slike i vidi drugi kutak koji također daje kosinus od 0,5.Šta mislite šta je jednako? Trouglovi su isti... Da! On je jednak uglu X , iscrtano samo u negativnom smjeru. Ovo je ugao -X. Ali već smo izračunali x. π /3 ili 60°. Stoga sa sigurnošću možemo napisati:

x 2 \u003d - π / 3

I, naravno, dodajemo sve uglove koji se dobiju punim okretima:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To je sada sve.) U trigonometrijskom krugu, mi vidio(ko razume, naravno)) sve uglovi koji daju kosinus jednak 0,5. I zapisali su ove uglove u kratkom matematičkom obliku. Odgovor su dvije beskonačne serije korijena:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je tačan odgovor.

nada, opšti princip za rešavanje trigonometrijskih jednačina uz pomoć kruga je razumljivo. Na kružnici označimo kosinus (sinus, tangent, kotangens) iz date jednačine, nacrtamo odgovarajuće uglove i zapišemo odgovor. Naravno, morate shvatiti kakvi smo mi uglovi vidio na krugu. Ponekad to nije tako očigledno. Pa, kao što sam rekao, ovdje je potrebna logika.)

Na primjer, analizirajmo još jednu trigonometrijsku jednačinu:

Imajte na umu da broj 0,5 nije jedini mogući broj u jednadžbi!) Samo mi je zgodnije da ga zapišem od korijena i razlomaka.

Radimo po opštem principu. Crtamo krug, označavamo (na osi sinusa, naravno!) 0,5. Crtamo odjednom sve uglove koji odgovaraju ovom sinusu. Dobijamo ovu sliku:

Prvo se pozabavimo uglom. X u prvoj četvrtini. Prisjećamo se tablice sinusa i određujemo vrijednost ovog ugla. Stvar je jednostavna:

x \u003d π / 6

Pamtimo pune okrete i mirne savjesti zapisujemo prvu seriju odgovora:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Pola posla je obavljeno. Sada treba da definišemo drugi ugao... Ovo je teže nego u kosinusima, da... Ali logika će nas spasiti! Kako odrediti drugi ugao kroz x? Yes Easy! Trokuti na slici su isti, a crveni ugao X jednaka uglu X . Samo se broji od ugla π u negativnom smjeru. Zato je crvena.) A za odgovor nam je potreban ugao izmjeren ispravno od pozitivne poluose OX, tj. iz ugla od 0 stepeni.

Pređite kursorom preko slike i pogledajte sve. Uklonio sam prvi ugao da ne bih komplikovao sliku. Ugao koji nas zanima (nacrtan zelenom bojom) bit će jednak:

π - x

x mi to znamo π /6 . Dakle, drugi ugao će biti:

π - π /6 = 5π /6

Ponovo se prisjećamo dodavanja punih okretaja i zapisujemo drugu seriju odgovora:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To je sve. Potpuni odgovor sastoji se od dvije serije korijena:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jednačine s tangentom i kotangensom mogu se lako riješiti korištenjem istog općeg principa za rješavanje trigonometrijskih jednačina. Osim ako, naravno, ne znate kako nacrtati tangentu i kotangens na trigonometrijskom krugu.

U gornjim primjerima koristio sam tabelarne vrijednosti sinusa i kosinusa: 0,5. One. jedno od onih značenja koje učenik zna mora. Sada proširimo naše mogućnosti na sve druge vrednosti. Odluči, pa odluči!)

Dakle, recimo da moramo riješiti sljedeću trigonometrijsku jednačinu:

Ne postoji takva vrijednost kosinusa u kratkim tablicama. Hladno ignorišemo ovu strašnu činjenicu. Nacrtamo krug, označimo 2/3 na osi kosinusa i nacrtamo odgovarajuće uglove. Dobili smo ovu sliku.

Razumijemo, za početak, sa uglom u prvoj četvrtini. Da znaju koliko je x jednako, odmah bi zapisali odgovor! Ne znamo... Neuspjeh!? Smiren! Matematika ne ostavlja svoje u nevolji! Ona je izmislila lučni kosinus za ovaj slučaj. Ne znam? Uzalud. Saznajte, mnogo je lakše nego što mislite. Prema ovom linku, ne postoji niti jedna lukava čarolija o "inverznim trigonometrijskim funkcijama" ... To je suvišno u ovoj temi.

Ako znate, samo recite sebi: "X je ugao čiji je kosinus 2/3." I odmah, čisto po definiciji arkosinusa, možemo napisati:

Sjećamo se dodatnih okretaja i mirno zapisujemo prvu seriju korijena naše trigonometrijske jednadžbe:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Druga serija korijena također se upisuje gotovo automatski, za drugi ugao. Sve je isto, samo će x (arccos 2/3) biti sa minusom:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

I sve stvari! Ovo je tačan odgovor. Čak i lakše nego sa tabelarnim vrijednostima. Ne morate ništa pamtiti.) Usput, najpažljiviji će primijetiti da je ova slika s rješenjem kroz arc kosinus se suštinski ne razlikuje od slike za jednačinu cosx = 0,5.

Upravo! Opšti princip o tome i generalni! Posebno sam nacrtao dvije skoro identične slike. Krug nam pokazuje ugao X svojim kosinusom. To je tabelarni kosinus, ili ne - krug ne zna. Kakav je ovo ugao, π / 3, ili kakav arc kosinus je na nama da odlučimo.

Sa sinusom ista pjesma. Na primjer:

Opet nacrtamo krug, označimo sinus jednak 1/3, nacrtamo uglove. Ispada ova slika:

I opet je slika skoro ista kao i za jednačinu sinx = 0,5. Ponovo krećemo iz kornera u prvoj četvrtini. Čemu je jednako x ako mu je sinus 1/3? Nema problema!

Dakle, prvi paket korijena je spreman:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Hajde da pogledamo drugi ugao. U primjeru sa vrijednošću tablice od 0,5, bio je jednak:

π - x

I ovdje će biti potpuno isto! Samo je x različit, arcsin 1/3. Pa šta!? Možete sigurno napisati drugi paket korijena:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je potpuno tačan odgovor. Iako ne izgleda baš poznato. Ali to je razumljivo, nadam se.)

Ovako se trigonometrijske jednadžbe rješavaju pomoću kružnice. Ovaj put je jasan i razumljiv. On je taj koji štedi u trigonometrijskim jednadžbama s odabirom korijena na datom intervalu, u trigonometrijskim nejednačinama - one se uglavnom rješavaju gotovo uvijek u krugu. Ukratko, u svim zadacima koji su malo složeniji od standardnih.

Prebacivanje znanja u praksu?

Riješite trigonometrijske jednadžbe:

U početku je jednostavnije, direktno na ovoj lekciji.

Sada je teže.

Savjet: ovdje morate razmišljati o krugu. Lično.)

A sada spolja nepretenciozni ... Nazivaju se i posebnim slučajevima.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Nagoveštaj: ovdje treba u krugu odgonetnuti gdje su dvije serije odgovora, a gdje jedan... I kako napisati jedan umjesto dva niza odgovora. Da, tako da se ni jedan korijen iz beskonačnog broja ne izgubi!)

Pa sasvim jednostavno):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Nagoveštaj: ovde treba da znate šta je arksinus, arkosinus? Šta je arc tangenta, arc tangenta? Najjednostavnije definicije. Ali ne morate pamtiti nikakve tabelarne vrijednosti!)

Odgovori su, naravno, u neredu):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nije sve u redu? Dešava se. Pročitajte lekciju ponovo. Samo zamišljeno(postoji takva zastarjela riječ...) I pratite linkove. Glavne veze se odnose na krug. Bez toga u trigonometriji - kako preći cestu sa povezom preko očiju. Ponekad uspe.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina

Uvod 2

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina 5

Algebarski 5

Rješavanje jednadžbi uz uvjet jednakosti istoimenih trigonometrijskih funkcija 7

Faktoring 8

Redukcija na homogenu jednačinu 10

Uvođenje pomoćnog ugla 11

Pretvorite proizvod u zbir 14

Univerzalna zamjena 14

Zaključak 17

Uvod

Do desetog razreda redoslijed radnji mnogih vježbi koje vode do cilja po pravilu je nedvosmisleno definisan. Na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe i nejednačine, razlomke i kvadratne jednadžbe, itd. Bez detaljne analize principa rješavanja svakog od navedenih primjera, napominjemo ono generalno što je neophodno za njihovo uspješno rješavanje.

U većini slučajeva morate odrediti koja je vrsta zadatka, zapamtiti redoslijed radnji koje vode do cilja i izvršiti te radnje. Očigledno je da uspjeh ili neuspjeh studenta u savladavanju metoda rješavanja jednačina zavisi uglavnom od toga koliko će moći pravilno odrediti vrstu jednačine i zapamtiti redoslijed svih faza njenog rješavanja. Naravno, ovo pretpostavlja da učenik ima vještine za izvođenje identičnih transformacija i proračuna.

Potpuno drugačija situacija se dešava kada se učenik susreće sa trigonometrijskim jednadžbama. Istovremeno, nije teško utvrditi činjenicu da je jednačina trigonometrijska. Poteškoće nastaju pri pronalaženju pravca djelovanja koji bi doveo do pozitivnog rezultata. I ovdje se učenik suočava sa dva problema. Teško je odrediti vrstu po izgledu jednačine. A bez poznavanja vrste, gotovo je nemoguće izabrati željenu formulu od nekoliko desetina dostupnih.

Kako bi učenicima pomogli da se snađu kroz složeni labirint trigonometrijskih jednačina, prvo se upoznaju sa jednadžbama, koje se, nakon uvođenja nove varijable, svode na kvadratne. Zatim se rješavaju homogene jednadžbe i svode se na njih. Sve se, po pravilu, završava jednadžbama, za čije je rješenje potrebno faktorizirati lijevu stranu, a zatim svaki od faktora izjednačiti sa nulom.

Shvaćajući da deset i pol jednačina analiziranih na lekcijama očito nije dovoljno da učenik samostalno plovi po trigonometrijskom "moru", nastavnik dodaje još nekoliko svojih preporuka.

Da bismo riješili trigonometrijsku jednačinu, moramo pokušati:

Dovedite sve funkcije uključene u jednadžbu u "iste uglove";

Dovedite jednadžbu na "iste funkcije";

Faktorizirajte lijevu stranu jednačine, itd.

No, uprkos poznavanju glavnih tipova trigonometrijskih jednadžbi i nekoliko principa za pronalaženje njihovog rješenja, mnogi učenici se još uvijek nalaze u ćorsokaku ispred svake jednačine koja se neznatno razlikuje od onih koje su ranije rješavane. Ostaje nejasno čemu treba težiti, imajući jednu ili drugu jednačinu, zašto je u jednom slučaju potrebno primijeniti formule dvostrukog ugla, u drugom - poluugla, au trećem formule sabiranja itd.

Definicija 1. Trigonometrijska jednadžba je jednačina u kojoj je nepoznato sadržano pod znakom trigonometrijskih funkcija.

Definicija 2. Kaže se da trigonometrijska jednačina ima iste uglove ako sve trigonometrijske funkcije uključene u nju imaju jednake argumente. Kaže se da trigonometrijska jednačina ima iste funkcije ako sadrži samo jednu od trigonometrijskih funkcija.

Definicija 3. Stepen monoma koji sadrži trigonometrijske funkcije je zbir eksponenta potencija trigonometrijskih funkcija uključenih u njega.

Definicija 4. Jednačina se naziva homogenom ako svi monomi u njoj imaju isti stepen. Ovaj stepen se naziva redom jednačine.

Definicija 5. Trigonometrijska jednadžba koja sadrži samo funkcije grijeh i cos, naziva se homogenim ako svi monomi u odnosu na trigonometrijske funkcije imaju isti stepen, a same trigonometrijske funkcije imaju jednake uglove i broj monoma je za 1 veći od reda jednačine.

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina.

Rješenje trigonometrijskih jednadžbi sastoji se od dvije faze: transformacije jednadžbe kako bi se dobio njen najjednostavniji oblik i rješenja rezultirajuće najjednostavnije trigonometrijske jednačine. Postoji sedam osnovnih metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

I. algebarska metoda. Ova metoda je dobro poznata iz algebre. (Metoda zamjene varijabli i zamjene).

Riješite jednačine.

1)

Hajde da uvedemo notaciju x=2 grijeh3 t, dobijamo

Rješavajući ovu jednačinu dobijamo:
ili

one. može se napisati

Prilikom pisanja rješenje dobijeno zbog prisustva znakova stepen
nema smisla pisati.

odgovor:

Označite

Dobijamo kvadratnu jednačinu
. Njegovi korijeni su brojevi
i
. Stoga se ova jednadžba svodi na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe
i
. Rešavajući ih, nalazimo to
ili
.

odgovor:
;
.

Označite

ne zadovoljava uslov

Sredstva

odgovor:

Transformirajmo lijevu stranu jednačine:

Dakle, ova početna jednačina se može napisati kao:

, tj.

Označavanje
, dobijamo
Rješavajući ovu kvadratnu jednačinu imamo:

ne zadovoljava uslov

Zapisujemo rješenje originalne jednadžbe:

odgovor:

Zamjena
svodi ovu jednačinu na kvadratnu jednačinu
. Njegovi korijeni su brojevi
i
. Jer
, tada data jednadžba nema korijena.

Odgovor: nema korijena.

II. Rješenje jednadžbi uz korištenje uvjeta jednakosti istoimene trigonometrijske funkcije.

a)
, ako

b)
, ako

u)
, ako

Koristeći ove uslove, razmotrite rješenje sljedećih jednačina:

6)

Koristeći ono što je rečeno u tački a), nalazimo da jednačina ima rješenje ako i samo ako
.

Rješavajući ovu jednačinu, nalazimo
.

Imamo dvije grupe rješenja:

.

7) Riješite jednačinu:
.

Koristeći uslov dijela b) zaključujemo da
.

Rješavajući ove kvadratne jednačine dobijamo:

.

8) Riješite jednačinu
.

Iz ove jednačine zaključujemo da . Rješavajući ovu kvadratnu jednačinu, nalazimo to

.

III. Faktorizacija.

Ovu metodu razmatramo na primjerima.

9) Riješite jednačinu
.

Rješenje. Pomjerimo sve članove jednadžbe ulijevo: .

Transformišemo i faktorizujemo izraz na levoj strani jednačine:
.

.

.

1)
2)

Jer
i
ne uzimajte vrijednost null

istovremeno, onda razdvajamo oba dela

jednadžbe za
,

odgovor:

10) Riješite jednačinu:

Rješenje.

ili

odgovor:

11) Riješite jednačinu

Rješenje:

1)
2)
3)

,

odgovor:

IV. Redukcija na homogenu jednačinu.

Za rješavanje homogene jednačine potrebno je:

Pomaknite sve njegove članove na lijevu stranu;

Stavite sve uobičajene faktore iz zagrada;

Izjednačiti sve faktore i zagrade na nulu;

Zagrade izjednačene sa nulom daju homogenu jednačinu manjeg stepena, koju treba podijeliti sa
(ili
) u višem stepenu;

Riješi rezultirajuću algebarsku jednadžbu za
.

Razmotrimo primjere:

12) Riješite jednačinu:

Rješenje.

Podijelite obje strane jednačine sa
,

Predstavljamo notaciju
, ime

korijeni ove jednadžbe su:

odavde 1)
2)

odgovor:

13) Riješite jednačinu:

Rješenje. Koristeći formule dvostrukog ugla i osnovni trigonometrijski identitet, ovu jednačinu svodimo na pola argumenta:

Nakon smanjenja sličnih termina, imamo:

Dijelimo posljednju homogenu jednačinu sa
, dobijamo

Ja ću odrediti
, dobijamo kvadratnu jednačinu
, čiji su korijeni brojevi

Na ovaj način

Izraz
nestaje na
, tj. at
,
.

Naše rješenje jednadžbe ne uključuje ove brojeve.

odgovor:
, .

V. Uvođenje pomoćnog ugla.

Razmotrite jednačinu oblika

Gdje a, b, c- koeficijenti, x- nepoznato.

Podijelite obje strane ove jednačine sa

Sada koeficijenti jednadžbe imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime: modul svakog od njih ne prelazi jedinicu, a zbroj njihovih kvadrata je jednak 1.

Tada ih možemo označiti u skladu s tim
(ovdje - pomoćni ugao) i naša jednadžba ima oblik: .

Onda

I njegova odluka

Imajte na umu da je uvedena notacija zamjenjiva.

14) Riješite jednačinu:

Rješenje. Evo
, pa dijelimo obje strane jednačine sa

odgovor:

15) Riješite jednačinu

Rješenje. Jer
, tada je ova jednadžba ekvivalentna jednadžbi

Jer
, onda postoji ugao takav da
,
(oni.
).

Imamo

Jer
, tada konačno dobijamo:

.

Imajte na umu da jednačina oblika ima rješenje ako i samo ako

16) Riješite jednačinu:

Da bismo riješili ovu jednačinu, grupiramo trigonometrijske funkcije s istim argumentima

Podijelite obje strane jednačine sa dva

Zbroj trigonometrijskih funkcija pretvaramo u proizvod:

odgovor:

VI. Pretvorite proizvod u zbroj.

Ovdje se koriste odgovarajuće formule.

17) Riješite jednačinu:

Rješenje. Pretvorimo lijevu stranu u zbir:

VII.Univerzalna zamjena.

,

ove formule su istinite za sve

Zamjena
naziva se univerzalnim.

18) Riješite jednačinu:

Rješenje: Zamijenite i
do njihovog izražavanja kroz
i označiti
.

Dobijamo racionalnu jednačinu
, koji se pretvara u kvadrat
.

Korijeni ove jednadžbe su brojevi
.

Stoga se problem sveo na rješavanje dvije jednačine
.

Nalazimo to
.

Pogledaj vrijednost
ne zadovoljava originalnu jednačinu, što se potvrđuje provjerom - zamjenom zadate vrijednosti t na originalnu jednačinu.

odgovor:
.

Komentar. Jednačina 18 bi se mogla riješiti na drugačiji način.

Podijelite obje strane ove jednačine sa 5 (tj
):
.

Jer
, onda postoji broj
, šta
i
. Dakle, jednačina postaje:
ili
. Odavde to nalazimo
gdje
.

19) Riješite jednačinu
.

Rješenje. Pošto funkcije
i
imaju najveću vrijednost jednaku 1, tada je njihov zbir jednak 2 ako
i
, u isto vreme, tj
.

odgovor:
.

Prilikom rješavanja ove jednadžbe korištena je ograničenost funkcija i.

Zaključak.

Radeći na temi “Rješenja trigonometrijskih jednačina” korisno je za svakog nastavnika da se pridržava sljedećih preporuka:

Sistematizirati metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

Odaberite sami korake za izvođenje analize jednadžbe i znakove svrsishodnosti korištenja jedne ili druge metode rješenja.

Razmisliti o načinima samokontrole aktivnosti na implementaciji metode.

Naučite da pravite "svoje" jednadžbe za svaku od proučavanih metoda.

Aplikacija br. 1

Riješite homogene ili reducibilne jednadžbe.