Definirajte kompleksan broj. Šta je kompleksan broj? Primjeri

§jedan. Kompleksni brojevi

1°. Definicija. Algebarska notacija.

Definicija 1. Kompleksni brojevi nazivaju uređeni parovi realnih brojeva i , ako je za njih definiran koncept jednakosti, operacije sabiranja i množenja koje zadovoljavaju sljedeće aksiome:

1) Dva broja
i
jednako ako i samo ako
,
, tj.


,
.

2) Zbir kompleksnih brojeva
i

i jednaki
, tj.

+
=
.

3) Proizvod kompleksnih brojeva
i
broj je pozvan
i jednaki, tj.

∙=.

Skup kompleksnih brojeva je označen C.

Formule (2), (3) za brojeve oblika
uzmi formu

odakle slijedi da su operacije sabiranja i množenja za brojeve oblika
poklapaju se sa sabiranjem i množenjem za realne brojeve kompleksni broj oblika
identificira se sa stvarnim brojem .

Kompleksni broj
pozvao imaginarna jedinica i označeno , tj.
Tada iz (3)

Iz (2), (3)  što znači

Izraz (4) se poziva algebarska notacija kompleksni broj.

U algebarskom obliku, operacije sabiranja i množenja imaju oblik:

Kompleksni broj je označen
,- pravi dio, je imaginarni dio, je čisto imaginarni broj. Oznaka:
,
.

Definicija 2. Kompleksni broj
pozvao konjugirati sa kompleksnim brojem
.

Svojstva kompleksne konjugacije.

2)
.

3) Ako
, onda
.

4)
.

5)
je pravi broj.

Dokaz se vrši direktnim proračunom.

Definicija 3. Broj
pozvao modul kompleksni broj
i označeno
.

Očigledno je da
, i

. Formule su također očigledne:
i
.

2°. Svojstva operacija sabiranja i množenja.

1) Komutativnost:
,
.

2) Asocijativnost:,
.

3) Distributivnost: .

Dokaz 1) - 3) izvodi se direktnim proračunima na osnovu sličnih svojstava za realne brojeve.

4)
,
.

5) , C ! , zadovoljavajući jednačinu
. Takve

6) ,C, 0, ! :
. Takve se nalazi množenjem jednačine sa

.

Primjer. Zamislite kompleksan broj
u algebarskom obliku. Da biste to učinili, pomnožite brojnik i nazivnik razlomka konjugatom nazivnika. Imamo:

3°. Geometrijska interpretacija kompleksnih brojeva. Trigonometrijski i eksponencijalni oblik pisanja kompleksnog broja.

Neka je na ravni dat pravougaoni koordinatni sistem. Onda
C može se pridružiti tačka na ravni sa koordinatama
.(vidi sliku 1). Očigledno je da je takva korespondencija jedan na jedan. U ovom slučaju, realni brojevi leže na osi apscise, a čisto imaginarni brojevi leže na osi ordinata. Stoga se naziva apscisa osa realna osa, i y-osa − imaginarne ose. Zove se ravan na kojoj leže kompleksni brojevi kompleksna ravan.

Zapiši to i
su simetrične u odnosu na porijeklo, i i su simetrične u odnosu na Ox.

Svaki kompleksni broj (tj. svaka tačka na ravni) može se povezati s vektorom s početkom u tački O i krajem u tački
. Korespondencija između vektora i kompleksnih brojeva je jedan prema jedan. Dakle, vektor koji odgovara kompleksnom broju , označena istim slovom

D vektorska linija
koji odgovara kompleksnom broju
, je jednako
, i
,
.

Koristeći vektorsku interpretaciju, može se vidjeti da je vektor
− zbir vektora i , a
− zbir vektora i
.(vidi sliku 2). Stoga su tačne sljedeće nejednakosti:

Zajedno sa dužinom vektor uvodimo ugao između vektora i osa Ox, koja se računa od pozitivnog smjera ose Ox: ako je brojanje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se predznak ugla smatra pozitivnim, ako je u smjeru kazaljke na satu, onda negativnim. Ovaj kutak se zove argument kompleksnog broja i označeno
. Ugao nije definisan jedinstveno, ali sa preciznošću
…. Za
argument nije definiran.

Formule (6) definiraju tzv trigonometrijska notacija kompleksni broj.

Iz (5) slijedi da ako
i
onda

,
.

Od (5)
šta po i Kompleksni broj je jedinstveno definisan. Obratno nije tačno: naime, po kompleksnom broju njegov modul je jedinstven, a argument , zbog (7), − sa tačnošću
. Iz (7) također slijedi da je argument može se naći kao rješenje jednačine

Međutim, nisu sva rješenja ove jednačine rješenja za (7).

Među svim vrijednostima argumenta kompleksnog broja bira se jedna koja se naziva glavna vrijednost argumenta i označava
. Obično se glavna vrijednost argumenta bira ili u intervalu
, ili u intervalu

U trigonometrijskom obliku zgodno je izvoditi operacije množenja i dijeljenja.

Teorema 1. Modul proizvoda kompleksnih brojeva i jednak je proizvodu modula, a argument jednak zbiru argumenata, tj.

, a .

Slično

Dokaz. Neka ,. Tada direktnim množenjem dobijamo:

Slično

.■

Posljedica(De Moivreova formula). Za
Moivreova formula je važeća

P primjer. Neka nađemo geometrijsku lokaciju tačke
. Iz teoreme 1 slijedi da .

Stoga, da biste ga konstruirali, prvo morate konstruirati tačku , što je obrnuto oko jedinične kružnice, a zatim pronađite tačku koja joj je simetrična oko x-ose.

Neka
, one.
Kompleksni broj
označeno
, tj. R važi Eulerova formula

Jer
, onda
,
. Iz teoreme 1
sta je sa funkcijom
moguće je raditi kao sa običnom eksponencijalnom funkcijom, tj. jednakosti su istinite

,
,
.

Od (8)
eksponencijalna notacija kompleksni broj

, gdje
,

Primjer. .

4°. Roots stepen kompleksnog broja.

Razmotrite jednačinu

,
OD ,
N .

Neka
, a rješenje jednačine (9) traži se u obliku
. Tada (9) poprima oblik
, odakle to nalazimo
,
, tj.

,
,
.

Dakle, jednačina (9) ima korijen

,
.

Pokažimo da među (10) ima tačno razni koreni. stvarno,

se razlikuju, jer njihovi argumenti su različiti i razlikuju se manje od
. dalje,
, jer
. Slično
.

Dakle, jednadžba (9) za
ima tačno korijenje
nalazi se na vrhovima regularnog -ugao upisan u krug poluprečnika sa središtem u T.O.

Dakle, dokazano je

Teorema 2. vađenje korena stepen kompleksnog broja
uvijek moguće. Sve korijenske vrijednosti th stepen of nalazi se na vrhu ispravnog -ugao upisan u krug sa centrom na nuli i radijusom
. pri čemu,

Posljedica. Roots -ti stepen od 1 izraženi su formulom

Proizvod dva korijena iz 1 je korijen, 1 je korijen -. stepen od jedinstva, root
:
.

Prilikom proučavanja svojstava kvadratne jednadžbe postavljeno je ograničenje - za diskriminant manji od nule nema rješenja. Odmah je propisano da je riječ o skupu realnih brojeva. Radoznali um matematičara će se zanimati - koja je tajna sadržana u rezervi o stvarnim vrijednostima?

Vremenom su matematičari uveli koncept kompleksnih brojeva, gde se uslovna vrednost drugog korena od minus jedan uzima kao jedinica.

Istorijat

Matematička teorija se razvija uzastopno, od jednostavnog do složenog. Hajde da shvatimo kako je nastao koncept nazvan "kompleksni broj" i zašto je potreban.

Od pamtivijeka, osnova matematike je uobičajeni račun. Istraživači su poznavali samo prirodni skup vrijednosti. Sabiranje i oduzimanje bili su jednostavni. Kako su ekonomski odnosi postajali sve složeniji, množenje se počelo koristiti umjesto zbrajanja istih vrijednosti. Postojala je inverzna operacija množenju - dijeljenje.

Koncept prirodnog broja ograničavao je upotrebu aritmetičkih operacija. Nemoguće je riješiti sve probleme dijeljenja na skupu cjelobrojnih vrijednosti. doveo je prvo do koncepta racionalnih značenja, a potom i do iracionalnih značenja. Ako je za racionalno moguće naznačiti tačnu lokaciju tačke na pravoj, onda je za iracionalno nemoguće naznačiti takvu tačku. Možete samo aproksimirati interval. Unija racionalnih i iracionalnih brojeva formirala je pravi skup, koji se može predstaviti kao određena linija sa datom skalom. Svaki korak duž linije je prirodan broj, a između njih su racionalne i iracionalne vrijednosti.

Počela je era teorijske matematike. Razvoj astronomije, mehanike, fizike zahtijevao je rješavanje sve složenijih jednačina. U principu, pronađeni su korijeni kvadratne jednadžbe. Prilikom rješavanja složenijeg kubnog polinoma, naučnici su naišli na kontradikciju. Koncept kubnog korijena iz negativnog ima smisla, ali za kvadratni korijen se dobiva nesigurnost. Štaviše, kvadratna jednačina je samo poseban slučaj kubične.

Italijan J. Cardano je 1545. godine predložio uvođenje koncepta imaginarnog broja.

Ovaj broj je bio drugi korijen od minus jedan. Termin kompleksni broj konačno je formiran tek tri stotine godina kasnije, u radovima poznatog matematičara Gausa. Predložio je formalno proširenje svih zakona algebre na imaginarni broj. Prava linija se proširila na ravan. Svijet je postao veći.

Osnovni koncepti

Prisjetite se brojnih funkcija koje imaju ograničenja na stvarni skup:

y = arcsin(x), definiran u rasponu vrijednosti između negativnog i pozitivnog.
y = ln(x), ima smisla za pozitivne argumente.
kvadratni korijen y = √x, izračunat samo za x ≥ 0.

Označavajući i = √(-1), uvodimo takav koncept kao imaginarni broj, što će ukloniti sva ograničenja iz domena definicije gore navedenih funkcija. Izrazi poput y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) imaju smisla u nekom prostoru kompleksnih brojeva.

Algebarski oblik se može napisati kao izraz z = x + i×y na skupu realnih x i y vrijednosti, a i 2 = -1.

Novi koncept uklanja sva ograničenja u korištenju bilo koje algebarske funkcije i svojim izgledom podsjeća na grafik prave linije u koordinatama realnih i imaginarnih vrijednosti.

Kompleksna ravan

Geometrijski oblik kompleksnih brojeva vizuelno nam omogućava da predstavimo mnoga njihova svojstva. Na osi Re(z) označavamo stvarne vrijednosti x, na Im(z) - imaginarne vrijednosti y, tada će tačka z na ravnini prikazati traženu kompleksnu vrijednost.

definicije:

Re(z) - realna osa.
Im(z) - označava imaginarnu osu.
z je uslovna tačka kompleksnog broja.
Numerička vrijednost dužine vektora od nulte tačke do z naziva se modul.
Prava i imaginarna osa dijele ravan na četvrtine. Sa pozitivnom vrijednošću koordinata - I četvrtina. Kada je argument realne ose manji od 0, a imaginarne ose veći od 0 - II četvrtina. Kada su koordinate negativne - III kvart. Posljednji, četvrti kvartal sadrži mnogo pozitivnih stvarnih vrijednosti i negativnih imaginarnih vrijednosti.

Dakle, na ravni sa vrijednostima koordinata x i y uvijek se može vizualizirati tačka kompleksnog broja. Simbol i se uvodi kako bi se odvojio pravi dio od imaginarnog.

Svojstva

Kada je vrijednost imaginarnog argumenta nula, dobijamo samo broj (z = x), koji se nalazi na realnoj osi i pripada realnom skupu.
U posebnom slučaju, kada vrijednost realnog argumenta postane nula, izraz z = i×y odgovara lokaciji točke na imaginarnoj osi.
Opšti oblik z = x + i×y bit će za vrijednosti argumenata koji nisu nula. To znači lokaciju tačke koja karakteriše kompleksni broj u jednoj od četvrtina.

trigonometrijska notacija

Prisjetimo se polarnog koordinatnog sistema i definicije sin i cos. Očigledno je da je uz pomoć ovih funkcija moguće opisati lokaciju bilo koje tačke na ravni. Da biste to učinili, dovoljno je znati dužinu polarnog snopa i ugao nagiba prema pravoj osi.

Definicija. Unos oblika ∣z ∣ pomnožen sumom trigonometrijskih funkcija cos(ϴ) i imaginarnog dijela i ×sin(ϴ) naziva se trigonometrijski kompleksni broj. Ovdje je oznaka ugao nagiba prema pravoj osi

ϴ = arg(z), i r = ∣z∣, dužina grede.

Iz definicije i svojstava trigonometrijskih funkcija slijedi vrlo važna De Moivreova formula:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Koristeći ovu formulu, zgodno je riješiti mnoge sisteme jednadžbi koje sadrže trigonometrijske funkcije. Pogotovo kada se pojavi zadatak eksponencijacije.

Modul i faza

Da bismo završili opis kompleksnog skupa, predlažemo dvije važne definicije.

Poznavajući Pitagorinu teoremu, lako je izračunati dužinu grede u polarnom koordinatnom sistemu.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), takva notacija na kompleksnom prostoru naziva se "modul" i karakteriše rastojanje od 0 do tačke na ravni.

Ugao nagiba kompleksnog snopa prema realnoj liniji ϴ se obično naziva faza.

Iz definicije se može vidjeti da se stvarni i imaginarni dijelovi opisuju pomoću cikličkih funkcija. naime:

x = r × cos(ϴ);
y = r × sin(ϴ);

Obrnuto, faza je povezana sa algebarskim vrijednostima kroz formulu:

ϴ = arctan(x / y) + µ, korekcija µ se uvodi kako bi se uzela u obzir periodičnost geometrijskih funkcija.

Ojlerova formula

Matematičari često koriste eksponencijalni oblik. Brojevi kompleksne ravni se zapisuju kao izraz

z = r × e i × ϴ , što slijedi iz Eulerove formule.

Takav zapis postao je široko rasprostranjen za praktično izračunavanje fizičkih veličina. Oblik predstavljanja u obliku eksponencijalnih kompleksnih brojeva posebno je pogodan za inženjerske proračune, gdje postaje potrebno izračunati kola sa sinusoidnim strujama i potrebno je znati vrijednost integrala funkcija sa datim periodom. Sami proračuni služe kao alat u projektovanju različitih mašina i mehanizama.

Definiranje operacija

Kao što je već napomenuto, svi algebarski zakoni rada s osnovnim matematičkim funkcijama primjenjuju se na kompleksne brojeve.

operacija sume

Prilikom sabiranja kompleksnih vrijednosti, dodaju se i njihovi stvarni i imaginarni dijelovi.

z = z 1 + z 2 , gdje su z 1 i z 2 opšti kompleksni brojevi. Transformacijom izraza, nakon otvaranja zagrada i pojednostavljenja zapisa, dobijamo pravi argument x = (x 1 + x 2), imaginarni argument y = (y 1 + y 2).

Na grafu ovo izgleda kao zbrajanje dva vektora, prema dobro poznatom pravilu paralelograma.

operacija oduzimanja

Smatra se posebnim slučajem sabiranja, kada je jedan broj pozitivan, drugi negativan, odnosno nalazi se u četvrtini ogledala. Algebarska notacija izgleda kao razlika između realnih i imaginarnih dijelova.

z \u003d z 1 - z 2, ili, uzimajući u obzir vrijednosti argumenata, slično operaciji sabiranja, dobijamo za stvarne vrijednosti \u200b\u200bx \u003d (x 1 - x 2) i imaginarne y \u003d (y 1 - y 2).

Množenje u kompleksnoj ravni

Koristeći pravila za rad s polinomima, izvodimo formulu za rješavanje kompleksnih brojeva.

Prateći opšta algebarska pravila z=z 1 ×z 2, opisujemo svaki argument i dajemo slične. Realni i imaginarni dio mogu se napisati na sljedeći način:

x \u003d x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Izgleda ljepše ako koristimo eksponencijalne kompleksne brojeve.

Izraz izgleda ovako: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Division

Kada posmatramo operaciju dijeljenja kao inverznu operaciju množenja, dobijamo jednostavan izraz u eksponencijalnom obliku. Dijeljenje vrijednosti z 1 sa z 2 rezultat je podjele njihovih modula i fazne razlike. Formalno, kada se koristi eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva, to izgleda ovako:

z \u003d z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i (ϴ 1- ϴ 2) .

U obliku algebarske notacije, operacija dijeljenja brojeva kompleksne ravni je napisana malo složenije:

Pisanjem argumenata i izvođenjem polinomskih transformacija lako je dobiti vrijednosti x \u003d x 1 × x 2 + y 1 × y 2, odnosno y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2, međutim, unutar opisanog prostora, ovaj izraz ima smisla, ako je z 2 ≠ 0.

Izvlačimo korijen

Sve gore navedeno može se primijeniti u definiciji složenijih algebarskih funkcija – podizanje na bilo koji stepen i obrnuto od njega – izdvajanje korijena.

Koristeći opšti koncept dizanja na stepen n, dobijamo definiciju:

z n = (r × e i ϴ) n .

Koristeći uobičajena svojstva, možemo ga prepisati u obliku:

z n = r n × e i ϴ n .

Dobili smo jednostavnu formulu za podizanje kompleksnog broja na stepen.

Iz definicije stepena dobijamo veoma važnu posledicu. Parna snaga imaginarne jedinice je uvijek 1. Bilo koja neparna snaga imaginarne jedinice je uvijek -1.

Proučimo sada inverznu funkciju - izdvajanje korijena.

Radi jednostavnosti označavanja, uzimamo n = 2. Kvadratni korijen w kompleksne vrijednosti z na kompleksnoj ravni C obično se smatra izrazom z = ±, koji vrijedi za svaki realni argument veći od ili jednak nuli. Za w ≤ 0, ne postoji rješenje.

Pogledajmo najjednostavniju kvadratnu jednačinu z 2 = 1. Koristeći formule kompleksnih brojeva, prepisujemo r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0 . Iz zapisa se može vidjeti da r 2 = 1 i ϴ = 0, dakle, imamo jedino rješenje jednako 1. Ali to je u suprotnosti s konceptom da z = -1, također odgovara definiciji kvadrata root.

Hajde da shvatimo šta ne uzimamo u obzir. Ako se prisjetimo trigonometrijske notacije, tada vraćamo izjavu - s periodičnom promjenom faze ϴ, kompleksni broj se ne mijenja. Neka p označava vrijednost perioda, tada imamo r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p) , odakle je 2ϴ = 0 + p, ili ϴ = p / 2. Dakle, imamo e i 0 = 1 i e i p / 2 = -1 . Dobili smo drugo rješenje, koje odgovara općem razumijevanju kvadratnog korijena.

Dakle, da bismo pronašli proizvoljan korijen kompleksnog broja, slijedit ćemo proceduru.

Zapisujemo eksponencijalni oblik w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) , k je proizvoljan cijeli broj.
Željeni broj se takođe može predstaviti u Ojlerovom obliku z = r × e i ϴ .
Koristimo opštu definiciju funkcije ekstrakcije korijena r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
Iz općih svojstava jednakosti modula i argumenata pišemo r n = ∣w∣ i nϴ = arg (w) + p×k.
Konačni zapis korijena kompleksnog broja opisuje se formulom z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n .
Komentar. Vrijednost ∣w∣ je, po definiciji, pozitivan realan broj, tako da svaki korijen stepena ima smisla.

Polje i konjugacija

U zaključku dajemo dvije važne definicije, koje su od malog značaja za rješavanje primijenjenih problema s kompleksnim brojevima, ali su bitne u daljem razvoju matematičke teorije.

Kaže se da izrazi za sabiranje i množenje formiraju polje ako zadovoljavaju aksiome za bilo koji element kompleksne ravni z:

Promjenom mjesta složenih članova, kompleksni zbir se ne mijenja.
Tvrdnja je tačna - u složenom izrazu bilo koji zbir dva broja može se zamijeniti njihovom vrijednošću.
Postoji neutralna vrijednost 0 za koju je z + 0 = 0 + z = z istina.
Za bilo koji z postoji suprotnost - z, čiji dodatak daje nulu.
Kada se mijenjaju mjesta kompleksnih faktora, kompleksni proizvod se ne mijenja.
Množenje bilo koja dva broja može se zamijeniti njihovom vrijednošću.
Postoji neutralna vrijednost 1, množenjem s kojom se ne mijenja kompleksni broj.
Za svaki z ≠ 0, postoji recipročna vrijednost z -1 koja, kada se pomnoži, rezultira 1.
Množenje zbira dva broja s trećinom jednako je množenju svakog od njih tim brojem i sabiranju rezultata.
0 ≠ 1.

Brojevi z 1 = x + i×y i z 2 = x - i×y nazivaju se konjugati.

Teorema. Za konjugaciju, tvrdnja je tačna:

Konjugacija zbira jednaka je zbiru konjugiranih elemenata.
Konjugacija proizvoda jednaka je proizvodu konjugacija.
jednak samom broju.

U općoj algebri, takva svojstva se nazivaju automorfizmi polja.

Primjeri

Slijedeći gore navedena pravila i formule za kompleksne brojeve, lako možete raditi s njima.

Razmotrimo najjednostavnije primjere.

Zadatak 1. Koristeći jednačinu 3y +5 x i= 15 - 7i, odredite x i y.

Rješenje. Prisjetimo se definicije kompleksnih jednakosti, tada je 3y = 15, 5x = -7. Dakle, x = -7 / 5, y = 5.

Zadatak 2. Izračunajte vrijednosti 2 + i 28 i 1 + i 135 .

Rješenje. Očigledno, 28 je paran broj, iz posljedice definicije kompleksnog broja po stepenu imamo i 28 = 1, što znači da je izraz 2 + i 28 = 3. Druga vrijednost, i 135 = -1 , tada je 1 + i 135 = 0.

Zadatak 3. Izračunajte proizvod vrijednosti 2 + 5i i 4 + 3i.

Rješenje. Iz opštih svojstava množenja kompleksnih brojeva dobijamo (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Nova vrijednost će biti -7 + 26i.

Zadatak 4. Izračunajte korijene jednačine z 3 = -i.

Rješenje. Postoji nekoliko načina za pronalaženje kompleksnog broja. Razmotrimo jedan od mogućih. Po definiciji, ∣ - i∣ = 1, faza za -i je -p / 4. Originalna jednadžba se može prepisati kao r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk , odakle je z = e - p / 12 + pk /3 , za bilo koji cijeli broj k.

Skup rješenja ima oblik (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

Zašto su potrebni kompleksni brojevi

Istorija poznaje mnogo primera kada naučnici, dok rade na teoriji, i ne razmišljaju o praktičnoj primeni svojih rezultata. Matematika je, prije svega, igra uma, striktno pridržavanje uzročno-posljedičnih veza. Gotovo sve matematičke konstrukcije svode se na rješavanje integralnih i diferencijalnih jednadžbi, a one se, pak, uz određenu aproksimaciju, rješavaju pronalaženjem korijena polinoma. Ovdje se prvi put susrećemo s paradoksom imaginarnih brojeva.

Prirodnjaci, rješavajući potpuno praktične probleme, pribjegavajući rješenjima raznih jednačina, otkrivaju matematičke paradokse. Tumačenje ovih paradoksa vodi do apsolutno nevjerovatnih otkrića. Dvostruka priroda elektromagnetnih valova jedan je od takvih primjera. Kompleksni brojevi igraju ključnu ulogu u razumijevanju njihovih svojstava.

Ovo je pak našlo praktičnu primjenu u optici, radio elektronici, energetici i mnogim drugim tehnološkim poljima. Još jedan primjer, mnogo teže razumljivi fizički fenomen. Antimaterija je bila predviđena na vrhu pera. I tek nakon mnogo godina počinju pokušaji da se on fizički sintetiše.

Ne treba misliti da takve situacije postoje samo u fizici. Ništa manje zanimljiva otkrića su napravljena u divljini, u sintezi makromolekula, tokom proučavanja umjetne inteligencije. A sve je to zbog širenja naše svijesti, izbjegavanja jednostavnog sabiranja i oduzimanja prirodnih vrijednosti.

Prisjetite se potrebnih informacija o kompleksnim brojevima.

Kompleksni broj je izraz forme a + bi, gdje a, b su realni brojevi, i i- takozvani imaginarna jedinica, simbol čiji je kvadrat -1, tj. i 2 = -1. Broj a pozvao pravi deo, i broj b - imaginarni deo kompleksni broj z = a + bi. Ako a b= 0, tada umjesto a + 0i pisite jednostavno a. Može se vidjeti da su realni brojevi poseban slučaj kompleksnih brojeva.

Aritmetičke operacije nad kompleksnim brojevima su iste kao i nad realnim: mogu se međusobno sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti. Sabiranje i oduzimanje se odvijaju prema pravilu ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, a množenje - po pravilu ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i(ovdje se samo to koristi i 2 = -1). Broj = a – bi pozvao kompleksni konjugat to z = a + bi. Jednakost z · = a 2 + b 2 vam omogućava da shvatite kako podijeliti jedan kompleksni broj drugim kompleksnim brojem (koji nije nula):

(Na primjer, .)

Kompleksni brojevi imaju zgodan i vizuelan geometrijski prikaz: broj z = a + bi može se predstaviti kao vektor sa koordinatama ( a; b) na kartezijskoj ravni (ili, što je skoro isto, tačka - kraj vektora sa ovim koordinatama). U ovom slučaju, zbir dva kompleksna broja je prikazan kao zbir odgovarajućih vektora (koji se mogu naći po pravilu paralelograma). Prema Pitagorinoj teoremi, dužina vektora sa koordinatama ( a; b) je jednako . Ova vrijednost se zove modul kompleksni broj z = a + bi i označava se sa | z|. Ugao koji ovaj vektor stvara sa pozitivnim smjerom x-ose (brojano u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) naziva se argument kompleksni broj z i označeno sa Arg z. Argument nije jednoznačno definiran, već samo do zbrajanja višestrukog broja 2 π radijanima (ili 360°, ako računate u stepenima) - na kraju krajeva, jasno je da okretanje kroz takav ugao oko ishodišta neće promijeniti vektor. Ali ako je vektor dužine r formira ugao φ sa pozitivnim smjerom x-ose, tada su njegove koordinate jednake ( r cos φ ; r grijeh φ ). Otuda ispada trigonometrijska notacija kompleksni broj: z = |z| (cos(Arg z) + i sin (Arg z)). Često je zgodno pisati kompleksne brojeve u ovom obliku, jer to uvelike pojednostavljuje proračune. Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku izgleda vrlo jednostavno: z jedan · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i sin (Arg z 1+arg z 2)) (pri množenju dva kompleksna broja, množe se njihovi moduli i dodaju argumenti). Odavde slijedite De Moivre formule: z n = |z|n(cos( n(Arg z)) + i grijeh( n(Arg z))). Uz pomoć ovih formula, lako je naučiti kako izdvojiti korijene bilo kojeg stepena iz kompleksnih brojeva. n-ti korijen od z je tako kompleksan broj w, šta w n = z. To je jasno , I gdje k može uzeti bilo koju vrijednost iz skupa (0, 1, ..., n- jedan). To znači da uvek postoji tačno n korijenje n stepena iz kompleksnog broja (na ravni se nalaze na vrhovima regularnog broja n-gon).

TemaKompleksni brojevi i polinomi

Predavanje 22

§jedan. Kompleksni brojevi: osnovne definicije

Simbol unesite omjer
i naziva se imaginarna jedinica. Drugim riječima,
.

Definicija. Izražavanje forme
, gdje
, naziva se kompleksnim brojem, a broj naziva realnim dijelom kompleksnog broja i označiti
, broj - imaginarni dio i označiti
.

Iz ove definicije proizilazi da su realni brojevi oni kompleksni brojevi čiji je imaginarni dio jednak nuli.

Kompleksne brojeve je pogodno predstaviti kao tačke ravni na kojoj je dat kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem, odnosno: kompleksni broj
match point
i obrnuto. na osovini
prikazani su realni brojevi i to se zove realna osa. Kompleksni brojevi forme

nazivaju se čisto imaginarnim. Prikazane su kao tačke na osi.
, koja se naziva imaginarna osa. Ova ravan, koja služi za predstavljanje kompleksnih brojeva, naziva se kompleksna ravan. Kompleksni broj koji nije stvaran, tj. takav da
, koji se ponekad naziva imaginarnim.

Dva kompleksna broja nazivaju se jednakima ako i samo ako imaju iste stvarne i imaginarne dijelove.

Sabiranje, oduzimanje i množenje kompleksnih brojeva obavljaju se prema uobičajenim pravilima polinomske algebre, uzimajući u obzir činjenicu da

. Operacija dijeljenja se može definirati kao inverzna operacija množenja i može se dokazati jedinstvenost rezultata (ako je djelitelj različit od nule). Međutim, u praksi se koristi drugačiji pristup.

Kompleksni brojevi
i
nazivaju se konjugati, na kompleksnoj ravni su predstavljeni tačkama simetričnim u odnosu na realnu os. Očigledno je da:

1)

;

2)
;

3)
.

Sada se razdvojite na može se uraditi na sljedeći način:

Nije teško to pokazati

gdje simbol označava bilo koju aritmetičku operaciju.

Neka
neki imaginarni broj, i je realna varijabla. Proizvod dva binoma

je kvadratni trinom sa realnim koeficijentima.

Sada, kada imamo kompleksne brojeve na raspolaganju, možemo riješiti bilo koju kvadratnu jednačinu
.Ako onda

a jednadžba ima dva kompleksna konjugirana korijena

Ako a
, tada jednadžba ima dva različita realna korijena. Ako a
, tada jednadžba ima dva identična korijena.

§2. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Kao što je gore spomenuto, kompleksni broj
pogodno za predstavljanje tačkom
. Takav broj se također može identificirati sa radijus vektorom ove tačke
. Ovom interpretacijom, sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojeva vrši se prema pravilima sabiranja i oduzimanja vektora. Za množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva prikladniji je drugi oblik.

Uvodimo na kompleksnoj ravni
polarni koordinatni sistem. Onda gde
,
i kompleksni broj
može se napisati kao:

Ovaj oblik zapisa naziva se trigonometrijskim (za razliku od algebarskog oblika
). U ovom obliku, broj naziva se modul i - argument kompleksnog broja . Oni su označeni:
,

. Za modul imamo formulu

Brojni argument je definiran dvosmisleno, ali do termina
,
. Vrijednost argumenta koji zadovoljava nejednakosti
, naziva se glavnim i označava se
. onda,
. Za glavnu vrijednost argumenta možete dobiti sljedeće izraze:

broj argument
smatra se nedefinisanim.

Uslov za jednakost dva kompleksna broja u trigonometrijskom obliku ima oblik: moduli brojeva su jednaki, a argumenti se razlikuju za višestruko
.

Pronađite proizvod dva kompleksna broja u trigonometrijskom obliku:

Dakle, prilikom množenja brojeva, njihovi moduli se množe, a argumenti se zbrajaju.

Slično, može se ustanoviti da se prilikom dijeljenja moduli brojeva dijele, a argumenti oduzimaju.

Razumijevajući eksponencijaciju kao višestruko množenje, možemo dobiti formulu za podizanje kompleksnog broja na stepen:

Izvodimo formulu za
- root stepen kompleksnog broja (ne treba se brkati sa aritmetičkim korenom realnog broja!). Operacija ekstrakcije korijena je inverzna od operacije eksponencijaliranja. Zbog toga
je kompleksan broj takav da
.

Neka
poznato, i
potrebno je pronaći. Onda

Iz jednakosti dva kompleksna broja u trigonometrijskom obliku slijedi da

,
,
.

Odavde
(to je aritmetički korijen!),

,
.

Lako je to provjeriti mogu samo prihvatiti suštinski različite vrijednosti, na primjer, kada
. Konačno imamo formulu:

,
.

Dakle, korijen stepen iz kompleksnog broja ima različite vrijednosti. Na kompleksnoj ravni ove vrijednosti su pravilno smještene na vrhovima -ugao upisan u krug poluprečnika
centriran u poreklu. “Prvi” korijen ima argument
, argumenti dva „susedna“ korena se razlikuju po
.

Primjer. Uzmimo kubni korijen zamišljene jedinice:
,
,
. onda: