Графики на функцията за мощност на всички различни мощности. Функции и графики

Графика (фиг. 2).

Фигура 2. Графика на функцията $f\left(x\right)=x^(2n)$

Свойства на степенна функция с естествен нечетен показател

Областта на дефиниция са всички реални числа.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ е странна функция.

$f(x)$ е непрекъснат в цялата област на дефиниция.

Диапазонът е изцяло реални числа.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Функцията нараства в цялата област на дефиниция.

$f\left(x\right)0$, за $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Функцията е вдлъбната за $x\in (-\infty ,0)$ и изпъкнала за $x\in (0,+\infty)$.

Графика (фиг. 3).

Фигура 3. Графика на функцията $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Степенна функция с цяло число

Като начало въвеждаме концепцията за степен с цяло число.

Определение 3

Степента на реално число $a$ с цяло число $n$ се ​​определя по формулата:

Фигура 4

Помислете сега за степенна функция с цяло число, нейните свойства и графика.

Определение 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ се нарича степенна функция с цяло число.

Ако степента е по-голяма от нула, тогава стигаме до случай на степенна функция с естествен показател. Вече го обсъдихме по-горе. За $n=0$ получаваме линейна функция $y=1$. Разглеждането му оставяме на читателя. Остава да разгледаме свойствата на степенна функция с отрицателен цяло число

Свойства на степенна функция с цяло отрицателно число

Обхватът е $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ако показателят е четен, тогава функцията е четна; ако е нечетен, тогава функцията е нечетна.

$f(x)$ е непрекъснат в цялата област на дефиниция.

Диапазон на стойността:

Ако показателят е четен, тогава $(0,+\infty)$, ако е нечетен, тогава $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ако показателят е нечетен, функцията намалява като $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. За четен показател функцията намалява като $x\in (0,+\infty)$. и нараства като $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ над целия домейн

Свойствата и графиките на степенните функции са представени за различни стойности на показателя. Основни формули, области и набори от стойности, паритет, монотонност, нарастване и намаляване, екстремуми, изпъкналост, инфлексии, точки на пресичане с координатни оси, граници, частни стойности.

Формули за степенна функция

В областта на степенната функция y = x p са валидни следните формули:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Свойства на степенните функции и техните графики

Степенна функция с показател, равен на нула, p = 0

Ако показателят на степенната функция y = x p е равен на нула, p = 0, тогава степенната функция е дефинирана за всички x ≠ 0 и е постоянна, равна на едно:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Степенна функция с естествен нечетен показател, p = n = 1, 3, 5, ...

Да разгледаме степенна функция y = x p = x n с естествен нечетен показател n = 1, 3, 5, ... . Такъв индикатор може да се запише и като: n = 2k + 1, където k = 0, 1, 2, 3, ... е неотрицателно цяло число. По-долу са свойствата и графиките на такива функции.

Графика на степенна функция y = x n с естествен нечетен показател за различни стойности на показателя n = 1, 3, 5, ... .

Домейн: -∞ < x < ∞
Множество стойности: -∞ < y < ∞
Паритет:нечетно, y(-x) = - y(x)
Монотонен:нараства монотонно
Крайности:Не
Изпъкнал:
при -∞< x < 0 выпукла вверх
на 0< x < ∞ выпукла вниз
Точки на прекъсване: x=0, y=0
x=0, y=0
Ограничения:
;
Частни стойности:
при x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
за x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:
за n = 1 функцията е обратна на себе си: x = y
за n ≠ 1, обратната функция е корен от степен n:

Степенна функция с естествен четен показател, p = n = 2, 4, 6, ...

Да разгледаме степенна функция y = x p = x n с естествен четен показател n = 2, 4, 6, ... . Такъв показател може да се запише и като: n = 2k, където k = 1, 2, 3, ... е естествено число. Свойствата и графиките на такива функции са дадени по-долу.

Графика на степенна функция y = x n с естествен четен показател за различни стойности на показателя n = 2, 4, 6, ... .

Домейн: -∞ < x < ∞
Множество стойности: 0 ≤ y< ∞
Паритет:четен, y(-x) = y(x)
Монотонен:
за x ≤ 0 монотонно намалява
за x ≥ 0 нараства монотонно
Крайности:минимум, x=0, y=0
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
за x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:
за n = 2, квадратен корен:
за n ≠ 2, корен от степен n:

Степенна функция с цяло число отрицателен показател, p = n = -1, -2, -3, ...

Да разгледаме степенна функция y = x p = x n с отрицателен показател цяло число n = -1, -2, -3, ... . Ако поставим n = -k, където k = 1, 2, 3, ... е естествено число, то може да бъде представено като:

Графика на степенна функция y = x n с отрицателен показател цяло число за различни стойности на показателя n = -1, -2, -3, ... .

Нечетен показател, n = -1, -3, -5, ...

По-долу са свойствата на функцията y = x n с нечетен отрицателен показател n = -1, -3, -5, ... .

Домейн: x ≠ 0
Множество стойности: y ≠ 0
Паритет:нечетно, y(-x) = - y(x)
Монотонен:намалява монотонно
Крайности:Не
Изпъкнал:
при х< 0 : выпукла вверх
за x > 0 : изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Знак:
при х< 0, y < 0
за x > 0, y > 0
Ограничения:
; ; ;
Частни стойности:
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:
за n = -1,
за n< -2 ,

Четен показател, n = -2, -4, -6, ...

По-долу са свойствата на функцията y = x n с четен отрицателен показател n = -2, -4, -6, ... .

Домейн: x ≠ 0
Множество стойности: y > 0
Паритет:четен, y(-x) = y(x)
Монотонен:
при х< 0 : монотонно возрастает
за x > 0 : монотонно намаляващ
Крайности:Не
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Знак: y > 0
Ограничения:
; ; ;
Частни стойности:
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:
за n = -2,
за n< -2 ,

Степенна функция с рационален (дробен) показател

Да разгледаме степенна функция y = x p с рационален (дробен) показател, където n е цяло число, m > 1 е естествено число. Освен това n, m нямат общи делители.

Знаменателят на дробния показател е нечетен

Нека знаменателят на дробния показател е нечетен: m = 3, 5, 7, ... . В този случай степенната функция x p е дефинирана както за положителни, така и за отрицателни x стойности. Разгледайте свойствата на такива степенни функции, когато показателят p е в определени граници.

p е отрицателно, p< 0

Нека рационалният показател (с нечетен знаменател m = 3, 5, 7, ...) е по-малък от нула: .

Графики на експоненциални функции с рационален отрицателен показател за различни стойности на показателя, където m = 3, 5, 7, ... е странно.

Нечетен числител, n = -1, -3, -5, ...

Ето свойствата на степенна функция y = x p с рационален отрицателен показател, където n = -1, -3, -5, ... е нечетно отрицателно цяло число, m = 3, 5, 7 ... е нечетно естествено число.

Домейн: x ≠ 0
Множество стойности: y ≠ 0
Паритет:нечетно, y(-x) = - y(x)
Монотонен:намалява монотонно
Крайности:Не
Изпъкнал:
при х< 0 : выпукла вверх
за x > 0 : изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Знак:
при х< 0, y < 0
за x > 0, y > 0
Ограничения:
; ; ;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:

Четен числител, n = -2, -4, -6, ...

Свойства на степенна функция y = x p с рационален отрицателен показател, където n = -2, -4, -6, ... е четно отрицателно цяло число, m = 3, 5, 7 ... е нечетно естествено число .

Домейн: x ≠ 0
Множество стойности: y > 0
Паритет:четен, y(-x) = y(x)
Монотонен:
при х< 0 : монотонно возрастает
за x > 0 : монотонно намаляващ
Крайности:Не
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Знак: y > 0
Ограничения:
; ; ;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:

P-стойността е положителна, по-малка от едно, 0< p < 1

Графика на степенна функция с рационален показател (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Нечетен числител, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Домейн: -∞ < x < +∞
Множество стойности: -∞ < y < +∞
Паритет:нечетно, y(-x) = - y(x)
Монотонен:нараства монотонно
Крайности:Не
Изпъкнал:
при х< 0 : выпукла вниз
за x > 0 : изпъкнал нагоре
Точки на прекъсване: x=0, y=0
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Знак:
при х< 0, y < 0
за x > 0, y > 0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = -1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Обратна функция:

Четен числител, n = 2, 4, 6, ...

Представени са свойствата на степенната функция y = x p с рационален показател, намиращ се в рамките на 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Домейн: -∞ < x < +∞
Множество стойности: 0 ≤ y< +∞
Паритет:четен, y(-x) = y(x)
Монотонен:
при х< 0 : монотонно убывает
за x > 0 : монотонно нарастващ
Крайности:минимум при x = 0, y = 0
Изпъкнал:изпъкнал нагоре при x ≠ 0
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Знак:за x ≠ 0, y > 0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = 1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Обратна функция:

Показателят p е по-голям от едно, p > 1

Графика на степенна функция с рационален показател (p > 1) за различни стойности на показателя, където m = 3, 5, 7, ... е нечетно.

Нечетен числител, n = 5, 7, 9, ...

Свойства на степенна функция y = x p с рационален показател, по-голям от едно: . Където n = 5, 7, 9, ... е нечетно естествено число, m = 3, 5, 7 ... е нечетно естествено число.

Домейн: -∞ < x < ∞
Множество стойности: -∞ < y < ∞
Паритет:нечетно, y(-x) = - y(x)
Монотонен:нараства монотонно
Крайности:Не
Изпъкнал:
при -∞< x < 0 выпукла вверх
на 0< x < ∞ выпукла вниз
Точки на прекъсване: x=0, y=0
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = -1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Обратна функция:

Четен числител, n = 4, 6, 8, ...

Свойства на степенна функция y = x p с рационален показател, по-голям от едно: . Където n = 4, 6, 8, ... е четно естествено число, m = 3, 5, 7 ... е нечетно естествено число.

Домейн: -∞ < x < ∞
Множество стойности: 0 ≤ y< ∞
Паритет:четен, y(-x) = y(x)
Монотонен:
при х< 0 монотонно убывает
за x > 0 монотонно нараства
Крайности:минимум при x = 0, y = 0
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = 1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Обратна функция:

Знаменателят на дробния показател е четен

Нека знаменателят на дробния показател е четен: m = 2, 4, 6, ... . В този случай степенната функция x p не е дефинирана за отрицателни стойности на аргумента. Свойствата му съвпадат с тези на степенна функция с ирационален показател (вижте следващия раздел).

Степенна функция с ирационален показател

Да разгледаме степенна функция y = x p с ирационален показател p . Свойствата на такива функции се различават от тези, разгледани по-горе, тъй като те не са дефинирани за отрицателни стойности на аргумента x. За положителни стойности на аргумента свойствата зависят само от стойността на експонента p и не зависят от това дали p е цяло число, рационално или ирационално.

y = x p за различни стойности на експонента p .

Степенна функция с отрицателно p< 0

Домейн: x > 0
Множество стойности: y > 0
Монотонен:намалява монотонно
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Ограничения: ;
частна стойност:За x = 1, y(1) = 1 p = 1

Степенна функция с положителен показател p > 0

Индикаторът е по-малък от една 0< p < 1

Домейн: x ≥ 0
Множество стойности: y ≥ 0
Монотонен:нараства монотонно
Изпъкнал:изпъкнал нагоре
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Ограничения:
Частни стойности:За x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
За x = 1, y(1) = 1 p = 1

Индикаторът е по-голям от едно p > 1

Домейн: x ≥ 0
Множество стойности: y ≥ 0
Монотонен:нараства монотонно
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Ограничения:
Частни стойности:За x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
За x = 1, y(1) = 1 p = 1

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Lan, 2009.

Степенна функция, нейните свойства и графика Демонстрационен материал Урок-лекция Понятие за функция. Функционални свойства. Степенна функция, нейните свойства и графика. 10 клас Всички права запазени. Авторско право с Авторско право със

Ход на урока: Повторение. функция. Функционални свойства. Учене на нов материал. 1. Дефиниция на степенна функция Дефиниция на степенна функция. 2. Свойства и графики на степенни функции Свойства и графики на степенни функции. Затвърдяване на изучения материал. Устно броене. Устно броене. Обобщение на урока. Домашни. Домашни.

Домейн и диапазон на функцията Всички стойности на независимата променлива формират домейна на функцията x y=f(x) f Домейн на функцията Домейн на функцията Всички стойности, които зависимата променлива приема, формират домейна на функцията функция. Функционални свойства

Графика на функция Нека е дадена функция, където xY y x.75 3 0.6 4 0.5 Графиката на функция е множеството от всички точки на координатната равнина, чиито абциси са равни на стойностите на аргумента, и ординатите са равни на съответните стойности на функцията. функция. Функционални свойства

Y x Област на дефиниция и обхват на функцията 4 y=f(x) Област на функцията: Област на функцията: Функция. Функционални свойства

Четна функция y x y=f(x) Графиката на четна функция е симетрична по отношение на оста y Функцията y=f(x) се извиква дори ако f(-x) = f(x) за всяко x от домейна на функцията Функция. Функционални свойства

Нечетна функция y x y \u003d f (x) Графиката на нечетната функция е симетрична спрямо началото O (0; 0) Функцията y = f (x) се нарича нечетна, ако f (-x) \u003d -f (x ) за всяко x от дефинициите на функцията на областта Функция. Функционални свойства

Дефиниция на степенна функция Функция, където p е дадено реално число, се нарича степенна функция. p y \u003d x p P \u003d x y 0 Напредък на урока

Степенна функция x y 1. Домейнът на дефиниция и домейнът на стойностите на степенните функции от формата, където n е естествено число, са всички реални числа. 2. Тези функции са странни. Тяхната графика е симетрична спрямо началото. Свойства и диаграми на степенна функция

Степенни функции с рационален положителен показател Областта на дефиниция са всички положителни числа и числото 0. Обхватът на функциите с такъв показател също е всички положителни числа и числото 0. Тези функции не са нито четни, нито нечетни. y x Свойства и графики на степенната функция

Степенна функция с рационален отрицателен показател. Домейнът на дефиниция и диапазонът на такива функции са всички положителни числа. Функциите не са нито четни, нито нечетни. Такива функции намаляват в цялата им област на дефиниране. y x Свойства и графики на степенната функция Ход на урока

1. Степенна функция, нейните свойства и графика;

2. Трансформации:

Паралелен трансфер;

Симетрия спрямо координатните оси;

Симетрия относно произхода;

Симетрия спрямо правата y = x;

Разтягане и свиване по координатните оси.

3. Показателна функция, нейните свойства и графика, подобни трансформации;

4. Логаритмична функция, нейните свойства и графика;

5. Тригонометрична функция, нейните свойства и графика, подобни трансформации (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Функция: y = x\n - нейните свойства и графика.

Степенна функция, нейните свойства и графика

y \u003d x, y = x 2, y \u003d x 3, y = 1 / xи т.н. Всички тези функции са специални случаи на степенната функция, т.е. функцията y = xp, където p е дадено реално число.
Свойствата и графиката на степенна функция по същество зависят от свойствата на степен с реален показател и по-специално от стойностите, за които хи стрима смисъл xp. Нека пристъпим към подобно разглеждане на различни случаи, в зависимост от
експонент стр.

1. Индекс p = 2nе четно естествено число.

y=x2n, където не естествено число и има следните свойства:

• домейнът на дефиницията е всички реални числа, т.е. множеството R;
• набор от стойности - неотрицателни числа, т.е. y е по-голямо или равно на 0;
• функция y=x2nдори, защото x 2n = (-x) 2n
• функцията е намаляваща на интервала х< 0 и се увеличава на интервала x > 0.

Функционална графика y=x2nима същата форма като например графиката на функция y=x4.

2. Индикатор p = 2n - 1- нечетно естествено число

В този случай мощността функция y=x2n-1, където е естествено число, има следните свойства:

• област на дефиниране - набор R;
• набор от стойности - набор R;
• функция y=x2n-1странно, защото (- x) 2n-1= х 2n-1;
• функцията нараства по цялата реална ос.

Функционална графика y=x2n-1 y=x3.

3. Индикатор p=-2n, където н-естествено число.

В този случай мощността функция y=x-2n=1/x2nима следните свойства:

• набор от стойности - положителни числа y>0;
• функция y = 1/x2nдори, защото 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• функцията нараства на интервала x0.

Графика на функцията y = 1/x2nима същата форма като например графиката на функцията y = 1/x2.

4. Индикатор p = -(2n-1), където н- естествено число.
В този случай мощността функция y=x-(2n-1)има следните свойства:

• областта на дефиниция е множеството R, с изключение на x = 0;
• набор от стойности - набор R, с изключение на y = 0;
• функция y=x-(2n-1)странно, защото (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
• функцията е намаляваща на интервалите х< 0 и x > 0.

Функционална графика y=x-(2n-1)има същата форма като например графиката на функцията y = 1/x3.