Hình cầu, bóng, phân đoạn và khu vực. Công thức và tính chất của mặt cầu. Kế hoạch- tóm tắt của bài dạy về chủ đề: Kế hoạch của bài dạy hình học. Chủ đề: "Quả bóng. Mặt cắt của quả bóng bằng một mặt phẳng"

CHƯƠNG BỐN

CÁC CƠ QUAN VÒNG

II BÓNG

Phần của một mặt cầu bởi một mặt phẳng

125. Định nghĩa. Cơ quan sinh ra từ sự quay của một hình bán nguyệt quanh một đường kính được gọi là trái bóng và bề mặt được hình thành trong trường hợp này bởi một hình bán nguyệt được gọi là trái bóng hoặc hình cầu mặt. Chúng ta cũng có thể nói rằng bề mặt này là quỹ tích của các điểm cách đều một điểm (được gọi là trung tâm trái bóng).

Một đoạn thẳng nối tâm với một số điểm trên bề mặt được gọi là bán kính, và đoạn nối hai điểm của bề mặt và đi qua tâm được gọi là đường kính trái bóng. Tất cả các bán kính của một viên bi đều bằng nhau; Mọi đường kính đều bằng hai bán kính.

Hai quả bóng có cùng bán kính bằng nhau vì khi lồng vào nhau, chúng được kết hợp với nhau.

126. Định lý. Bất kỳ thiết diện nào của một mặt cầu bởi một mặt phẳng đều là một đường tròn.

1) Giả sử đầu tiên (Hình 137) mặt phẳng cắt AB đi qua tâm O của quả bóng. Tất cả các điểm của đường giao tuyến đều thuộc mặt cầu và do đó cách đều điểm O nằm trong mặt phẳng mặt cầu; do đó thiết diện là đường tròn có tâm tại điểm O.

2) Bây giờ chúng ta giả sử rằng mặt phẳng cắt CO không đi qua tâm. Chúng ta hãy thả OK hình tròn lên nó từ tâm và lấy một số điểm M trên đường giao nhau. Nối nó với O và A, ta được một tam giác vuông IOC, từ đó ta tìm được:

MK \ u003d √OM 2 - OK 2. (một)

Vì độ dài của đoạn thẳng OM và đoạn thẳng OK không thay đổi khi vị trí của điểm M trên giao tuyến thay đổi nên khoảng cách MK là một giá trị không đổi đối với một đoạn đã cho; Điều này có nghĩa là đường giao tuyến là một đường tròn, tâm là điểm K.

127. Hệ quả. Cho R và r sẽ là độ dài của bán kính quả bóng và bán kính của hình tròn tiết diện, và
d- khoảng cách của mặt phẳng secant từ tâm, thì đẳng thức (1) sẽ có dạng:
r= √R 2 - d 2 .

Từ công thức này, chúng ta suy ra:

1) Bán kính tiết diện lớn nhất thu được tại d= 0, tức là khi mặt phẳng cắt đi qua tâm của quả bóng. Trong trường hợp này r= R. Vòng tròn thu được trong trường hợp này được gọi là vòng tròn lớn.

2) Bán kính mặt cắt nhỏ nhất nhận được khi d= R. Trong trường hợp này r= 0, tức là, hình tròn phần trở thành một điểm.

3) Các phần cách đều tâm của quả bóng là bằng nhau.

4) Trong hai phần cách tâm quả bóng một cách không bằng nhau, phần nào gần tâm hơn có bán kính lớn hơn.

128. Định lý. Bất kỳ máy bay nào (R, quái. 138), đi qua tâm của quả bóng, chia bề mặt của nó thành hai phần đối xứng và bằng nhau.

Chúng ta hãy lấy một số điểm A trên bề mặt của mặt cầu; Gọi AB là đường vuông góc hạ từ điểm A xuống mặt phẳng P. Ta tiếp tục AB cho đến khi giao với mặt bóng tại điểm C. Vẽ BO, ta được hai tam giác vuông bằng nhau
AOB và BOC (BO chân chung, và cạnh huyền bằng nhau, giống như bán kính của một quả bóng); do đó, AB = BC; Do đó, với một điểm A bất kỳ của bề mặt quả bóng thì có một điểm C khác của bề mặt này, đối xứng với mặt phẳng P với điểm A. Do đó, mặt phẳng P chia bề mặt quả bóng thành hai phần đối xứng.

Các bộ phận này không chỉ đối xứng mà còn bằng nhau, vì bằng cách cắt quả bóng dọc theo mặt phẳng P, chúng ta có thể đặt một trong hai bộ phận này vào bộ phận kia và kết hợp các bộ phận này lại.

129. Định lý. Qua hai điểm của một mặt cầu không nằm ở hai đầu của cùng một đường kính, có thể vẽ được một đường tròn ngoại tiếp và chỉ một .

Cho một số điểm được lấy trên một mặt cầu (Hình 139) có tâm O, chẳng hạn, C và N, không nằm trên cùng một đường thẳng với điểm O. Sau đó, một mặt phẳng có thể được vẽ qua các điểm C, O đến N . Mặt phẳng đi qua tâm O này sẽ cho tại giao điểm với mặt cầu một chu vi của một hình tròn lớn.

Một đường tròn khác của đường tròn lớn không thể vẽ qua hai điểm C và N giống nhau. Thật vậy, bất kỳ chu vi nào của một hình tròn lớn, theo định nghĩa, phải nằm trong một mặt phẳng đi qua tâm của quả bóng; do đó, nếu có thể vẽ qua C và N thêm một đường tròn nữa, thì qua ba điểm C, N và O, không nằm trên một đường thẳng, có thể vẽ được hai mặt phẳng khác nhau. , điều đó là không thể.

130. Định lý. Chu vi của hai hình tròn lớn được chia đôi khi chúng cắt nhau.

Tâm O (Hình. 139), nằm trên mặt phẳng của cả hai đường tròn lớn, nằm trên đường thẳng mà các đường tròn này cắt nhau; do đó đường thẳng này là đường kính của cả hai đường tròn và đường kính chia đôi đường tròn.

Định lý. Bất kỳ thiết diện nào của một mặt cầu bởi một mặt phẳng đều là một đường tròn. Tâm của đường tròn này là đáy của vuông góc thả từ tâm quả cầu xuống mặt phẳng cắt.

Bằng chứng. Gọi b là mặt phẳng cắt và O là tâm của quả bóng (Hình 453). Ta thả vuông góc từ tâm quả cầu xuống mặt phẳng b và kí hiệu là O ”là gốc của đường vuông góc này.

Gọi X là một điểm tùy ý của quả cầu thuộc mặt phẳng b. Theo định lý Pitago, 0X2 \ u003d 00 "2 + O" X2. Vì OX không lớn hơn bán kính R của quả cầu, tức là một điểm bất kỳ thuộc tiết diện của quả bóng bởi mặt phẳng b đều cách điểm O một khoảng không lớn hơn ”nên nó thuộc đường tròn tâm O. "và bán kính.

Ngược lại, điểm X bất kỳ của đường tròn này thuộc quả bóng. Và điều này có nghĩa là thiết diện của quả bóng bởi mặt phẳng là một đường tròn có tâm tại điểm O. Định lý được chứng minh.

Mặt phẳng đi qua tâm của quả bóng được gọi là mặt phẳng đường kính. Phần của quả bóng nằm bởi mặt phẳng đường kính được gọi là đường tròn lớn (Hình 454), và phần của hình cầu được gọi là đường tròn lớn.

Nhiệm vụ

Nhiệm vụ 1 . Hai mặt phẳng song song bán kính 10 cm của hình cầu có bán kính bằng 6 và 8 cm. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Dung dịch. Tìm khoảng cách của mỗi mặt phẳng song song đến tâm của quả bóng:

tùy thuộc vào việc trọng tâm của quả bóng có nằm giữa hai mặt phẳng hay không, chúng ta nhận được hai câu trả lời khác nhau cho bài toán:

Nhiệm vụ 2. Khoảng cách giữa tâm của hai viên bi là d; bán kính R1 và R2 của chúng. Tìm bán kính của đường tròn mà chúng cắt nhau.

Dung dịch. Bán kính mong muốn đóng vai trò là chiều cao của tam giác OMO1 (Hình 5). Diện tích S của tam giác OMO2 nằm trên ba cạnh 001 = d, R1 R2 và bán kính mong muốn là r = 2S / d. Một đường thẳng cũng có thể chiếm ba vị trí khác nhau về cơ bản đối với quả bóng. Cụ thể, nó có thể cắt bề mặt của quả bóng tại hai điểm khác nhau, không cắt nhau hoặc có một điểm chung với nó. Trong trường hợp sau, nó sẽ được gọi là tiếp tuyến của quả bóng

Nhiệm vụ 3 Một mặt phẳng vuông góc với nó được vẽ qua trung điểm của bán kính mặt cầu. Diện tích của phần thu được có quan hệ như thế nào với diện tích của hình tròn lớn?

Tác phẩm có kế hoạch tóm tắt bài học về chủ đề: "Quả bóng. Mặt phẳng quả bóng" (phần tóm tắt khá giản đồ). Để có hình ảnh đầy đủ hơn về bài học này, tôi khuyên bạn nên xem phần trình bày đính kèm với nó, các ghi chú tham khảo, bản đồ phản chiếu, cũng như các bài kiểm tra trên máy tính. Phần tóm tắt tương ứng với GEF mới cho phần mềm nguồn mở.

Tải xuống:

Xem trước:

Để sử dụng bản xem trước của bản trình bày, hãy tạo một tài khoản Google (tài khoản) và đăng nhập: https://accounts.google.com

Chú thích của trang trình bày:

Chúng tôi rút ra trí tuệ từ lịch sử, thông minh từ thơ ca, cái nhìn sâu sắc từ toán học. Roger Bacon Giải một bài toán khó giống như chiếm một pháo đài. Naum Yakovlevich Vilenkin

Đặt vấn đề theo hình vẽ và giải quyết nó. S B O A 10 cm? ?

Đặt vấn đề theo hình vẽ và giải quyết nó. Góc ở đỉnh của mặt cắt trục của hình nón là 60 độ. Đường sinh của hình nón là 10 cm. Tìm đường kính của hình nón và chiều cao của nó. S B O A 10cm

Bài giải: Tam giác A S B đều. Một tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau. Trong trường hợp của chúng ta, ma trận bằng đường kính. Vậy đường kính là 10 cm Tam giác O S B là hình chữ nhật. Theo định lý Pitago: S O \ u003d √ S B 2 - OB 2 \ u003d S B O A

Chủ đề của bài học là Ball. Mặt cắt của một hình cầu bởi một mặt phẳng

Mục đích của bài học: Nêu định nghĩa về các khái niệm quả cầu, khối cầu và các yếu tố của chúng, tìm ra hình nào nằm trong thiết diện của quả bóng bởi một mặt phẳng

MỤC TIÊU: Nghiên cứu các khái niệm cơ bản liên quan đến quả bóng và khối cầu; để tìm ra những hình dạng có thể nhận được khi một quả bóng bị cắt bởi một mặt phẳng, để học cách vẽ một quả bóng trên một mặt phẳng; phát triển tính chính xác và rõ ràng của bài phát biểu toán học, học cách lập luận kết luận;

"Quả cầu và quả bóng"

Quả bóng là một vật thể bao gồm tất cả các điểm trong không gian cách một điểm (tâm của quả bóng) một khoảng cách không lớn hơn (bán kính của quả bóng). Đường biên của mặt cầu được gọi là mặt cầu hay mặt cầu. Các điểm của mặt cầu là tất cả các điểm của quả cầu cách tâm một khoảng bằng bán kính. /

t.O - tâm của mặt cầu; R là bán kính của mặt cầu; AB - đường kính của mặt cầu - một đoạn nối hai điểm của mặt cầu và đi qua tâm của nó. A, B - các điểm đối diện theo đường kính của quả bóng. A B O R

Quả bóng là một vật thể quay của một hình bán nguyệt quanh đường kính của nó như một trục /

Hình cầu - một vật thể quay của hình bán nguyệt quanh đường kính của nó như một trục /

Phạm vi ứng dụng /

Hình cầu không chỉ cần thiết bởi các nhà thiên văn học, người điều hướng tàu biển, máy bay, tàu vũ trụ, xác định tọa độ của chúng bằng các vì sao, mà còn bởi các nhà xây dựng hầm mỏ, tàu điện ngầm, đường hầm, cũng như trong các cuộc khảo sát trắc địa các khu vực rộng lớn của Trái đất. bề mặt, khi cần phải tính đến độ cầu của nó. /

BỘ SẠC MẮT

Mặt cắt của một mặt cầu bởi một mặt phẳng.

/ http://www.etudes.ru/en/sketches/

Định lý 1 Bất kỳ thiết diện nào của mặt cầu bởi một mặt phẳng đều là một đường tròn. Tâm của đường tròn này là đáy của vuông góc thả từ tâm quả cầu xuống mặt phẳng cắt. OO "- vuông góc. O" - tâm đường tròn - đáy vuông góc.

Mặt phẳng đi qua tâm của quả bóng được gọi là mặt phẳng đường kính. Thiết diện của một quả bóng với một mặt phẳng đường kính được gọi là một đường tròn lớn và thiết diện của một hình cầu được gọi là một đường tròn lớn. Phần bóng

Lời giải của bài toán 29, tr.337:

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/reshenie-zadach-po-teme-sfera-shar?seconds=0&chapter_id=219

Câu chuyện về sự xuất hiện của trái bóng tròn. Một lần, bị bỏ lại một mình ở nhà, Polukrug điển trai đã dành một thời gian dài để mặc quần áo và thủ thỉ trước một chiếc gương nhỏ đóng khung thiếc và không thể ngừng ngưỡng mộ bản thân. “Tại sao mọi người lại đưa nó vào đầu họ để khen rằng tôi giỏi?” Anh nói. Người ta nói dối, tôi không tốt chút nào. Tại sao các cô gái lại tuyên bố rằng chưa bao giờ có một chàng trai nào tốt hơn và sẽ không bao giờ ở trong làng Khatanga? Semicircle biết và nghe tất cả những gì người ta nói về anh ta, và thất thường, giống như một người đàn ông đẹp trai. Anh có thể ngắm mình trước gương cả ngày, ngắm nhìn bản thân từ mọi phía. Và bất ngờ một điều kỳ diệu đã xảy ra khi Bán nguyệt quay lại trước gương, anh nhìn thấy hình ảnh phản chiếu của chính mình trong gương dưới dạng một Quả bóng.

TỪ LỊCH SỬ XUẤT XỨ Hình cầu thường được gọi là vật thể giới hạn bởi hình cầu, tức là quả cầu và quả cầu là những cơ thể hình học khác nhau. Tuy nhiên, cả hai từ bóng và quả cầu đều xuất phát từ cùng một từ tiếng Hy Lạp "sfire" - quả bóng. Đồng thời, từ "ball" được hình thành từ sự chuyển đổi phụ âm sph thành sh. Trong Quyển XI về các Nguyên tố, Euclid định nghĩa hình cầu là một hình được mô tả bằng một hình bán nguyệt quay quanh một đường kính cố định. Trong thời cổ đại, quả cầu được coi trọng. Các quan sát thiên văn về khối cầu luôn gợi lên hình ảnh của một quả cầu. Phạm vi luôn được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ.

MỤC TIÊU: Nghiên cứu các khái niệm cơ bản liên quan đến quả bóng và khối cầu; phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề; để tìm ra những số liệu có thể nhận được khi một quả bóng bị cắt bởi một mặt phẳng; phát triển tính chính xác và rõ ràng của bài phát biểu toán học, học cách lập luận các kết luận rút ra; học vẽ một quả bóng trên máy bay;

CẢM ƠN CÁC BẠN VỀ BÀI HỌC

Xem trước:

Tham khảo tóm tắt bài học về chủ đề:

"TRÁI BÓNG. PHẦN BÓNG THEO KẾ HOẠCH »

Một phần bao gồm tất cả các điểm trong không gian cách một điểm không lớn hơn một điểm đã cho được gọi là ________________________________ từ một điểm đã cho.

Điểm này được gọi là ____________________________ của quả bóng.

Khoảng cách này là _____________________ quả bóng.

Đường biên của quả bóng được gọi là _____________________________________________, hoặc ________________________.

Đoạn nối tâm của quả bóng với một điểm trên mặt cầu là _____________________.

Đây là đoạn nối hai điểm của mặt cầu và đi qua tâm của quả bóng.

Các đầu của đường kính bất kỳ được gọi là ________________________________________________ điểm của quả bóng.

Quả bóng là một cơ thể của cuộc cách mạng. Nó có được bằng cách quay một hình bán nguyệt quanh đường kính của nó như một trục.

Vẽ một quả bóng. Đánh dấu tâm của nó trên đó, vẽ và đánh dấu bán kính và đường kính, đặt tên cho các điểm đối diện với đường kính của quả bóng.

LÝ THUYẾT. Bất kỳ thiết diện nào của một mặt cầu bởi một mặt phẳng đều là một đường tròn. Tâm của đường tròn này là đáy của vuông góc thả từ tâm quả cầu xuống mặt phẳng cắt.

Mặt phẳng đường kính là mặt phẳng đi qua mặt phẳng của quả bóng.

Hình tròn lớn là thiết diện của hình cầu.

Đường tròn lớn là mặt cắt của mặt phẳng đường kính _______________.

Thẻ phản quang sinh viên__________________

1. Đánh giá giải pháp của các nhiệm vụ giáo dục đã đặt ra

2. Đánh giá gia số cá nhân.

3. Lòng tự trọng.

A) Tự cho điểm mà bạn cho rằng mình xứng đáng với công việc của mình trong bài học.

B) Rút ra kết luận cá nhân

Xem trước:

Tổng hợp các lớp về hình học trong nhóm 1D.

Chủ đề của bài: "Quả bóng. Mặt cắt của quả bóng bằng một mặt phẳng".

Thời lượng bài học: 45 phút.

Sách giáo khoa: "Hình học, lớp 10-11", Pogorelov A.V.

Bài học sử dụng các yếu tố của công nghệ giáo dục hiện đại sau:

• Nhóm công nghệ
• Công nghệ tiết kiệm sức khỏe
• Công nghệ máy tính thông tin

Mục tiêu khái niệm của việc dạy hình học: phát triển tư duy logic và trừu tượng, trí tưởng tượng không gian và khả năng nghiên cứu.

Mục đích của bài học: giới thiệu các khái niệm về quả bóng và khối cầu và các yếu tố của chúng, tìm xem hình nào nằm trong mặt cắt của quả bóng bởi một mặt phẳng;

Nhiệm vụ:

Tìm hiểu các khái niệm cơ bản liên quan đến quả bóng và quả cầu; các kiểu sắp xếp lẫn nhau của quả bóng và mặt phẳng (mặt cắt của quả bóng);
- hình thành kỹ năng giải quyết vấn đề;

Phát triển khả năng lập kế hoạch và tổ chức công việc độc lập, xem xét nội tâm và khả năng điều chỉnh các hoạt động của bản thân;

Phát triển, xây dựng độ chính xác và rõ ràng của bài phát biểu toán học

Trau dồi sở thích nhận thức đối với toán học;
- giáo dục văn hóa thông tin và văn hóa giao tiếp;
- Giáo dục óc quan sát, tính độc lập, khả năng làm việc tập thể.

Vật liệu và thiết bị dạy học:máy tính, màn chiếu, máy chiếu.

Hình thức làm việc: làm việc nhóm, làm việc độc lập.

Loại bài học: học bài.

Trong các lớp học

I. Động tác bắt đầu bài học - 1 phút:

Lời chào hỏi.

Chúng tôi rút ra trí tuệ từ lịch sử,

trong thơ - hóm hỉnh,

trong toán học, cái nhìn sâu sắc.
Roger Bacon

Giải một bài toán khó

Nó có thể được so sánh với việc đánh chiếm một pháo đài.

Naum Yakovlevich Vilenkin

Tôi chú ý đến tài liệu phát tay và cách làm việc với nó(Trang trình bày 1)

II. Thực tế kiến ​​thức của học sinh - 7 phút.:

một) Thực hiện kiểm tra máy tính(9-10 người)

b) Với học sinh không tham gia kiểm tra máy tính, biên soạn và giải quyết một vấn đề theo một bản vẽ đã hoàn thành(phần còn lại của nhóm)(Trang trình bày 2-4)

c) tóm tắt kết quả của bài làm và điểm sơ bộ cho bài (kiểm tra và giải quyết vấn đề)

III. Tự quyết định hoạt động.

Năm nay chúng tôi bắt đầu học phần hình học được gọi là hình học lập thể. Phép đo lập thể nghiên cứu những gì?

• Nhìn vào bảng và kể tên các bạn nhìn thấy những cơ quan nào?
• Hiển thị Lăng kính
• Hiển thị xi lanh; hình nón
• Ai biết tên của thi thể bị bỏ lại trên bàn?
• Bạn nghĩ chủ đề của bài học hôm nay là gì?
• Cố gắng hình thành mục tiêu chính của bài học của chúng ta. (giới thiệu các khái niệm về một quả bóng và một khối cầu và các yếu tố của chúng, tìm xem hình nào nằm trong mặt cắt của quả bóng bởi một mặt phẳng)
• Chúng ta sẽ đặt ra cho mình những nhiệm vụ gì để đạt được mục tiêu này?

(Slide 4-6 chủ đề, mục tiêu, nhiệm vụ)

Học tài liệu mới - 10 phút:

A) Chủ đề được xây dựng theo công thức, mục tiêu và mục tiêu rõ ràng - cập nhật kiến ​​thức mới.

Hãy nhớ những gì họ gọi là một vòng tròn ở trường?

Ai sẽ cố gắng đưa ra định nghĩa về một quả bóng bằng phép loại suy, khi cho rằng đây là một vật thể của không gian? Các em nêu định nghĩa về quả cầu, bán kính của quả bóng, đường kính của quả bóng.

Chúng tôi học cách mô tả một quả bóng và các yếu tố của nó trên mặt phẳng, thể hiện các yếu tố này trong hình vẽ, tìm các vật thể hình cầu trong môi trường Trang trình bày 7-9

Fizminutka để giảm mệt mỏi cho mắt và căng thẳng

B) Một trong những mục tiêu của bài học là: tìm ra những hình có thể thu được khi một quả bóng bị cắt bởi một mặt phẳng. Đầu tiên, hãy nhớ lại những phần nào mà một hình nón có thể có(minh chứng của một nghiên cứu toán học qua Internet)

Hãy suy nghĩ, kích hoạt trí tưởng tượng không gian của bạn và đưa ra giả định về những mặt cắt mà quả bóng có thể có.

Nhà toán học vĩ đại người Nga Lobachevsky đã nói: “Toán học không có thẩm quyền. Lý lẽ duy nhất cho sự thật là lý lẽ.

Hình thành và chứng minh một định lý về thiết diện của một quả bóng bởi một mặt phẳng (.....) (10 phút)

Sự lặp lại các bước của chứng minh.

C) lịch sử của các khái niệm về quả cầu và quả cầu (......)

IV. Củng cố các tài liệu đã học - 5 phút

Giải pháp của vấn đề.

Làm việc theo cặp và kiểm tra bằng Internet

V Kết bài. Sự phản xạ.

Câu hỏi củng cố:

• Quả bóng là gì?
• Mặt cầu hay mặt cầu là gì?
• Bán kính, đường kính, hợp âm của một hình cầu là gì?
• Những điểm nào được gọi là đường kính đối nhau?
• Thiết diện của mặt cầu bởi một mặt phẳng cách tâm mặt cầu một khoảng nhỏ hơn bán kính mặt cầu là bao nhiêu?
• Mặt phẳng nào được gọi là mặt phẳng đường kính của quả cầu?
• Vòng tròn lớn, vòng tròn lớn là gì?

Điền vào một bản đồ phản chiếu, tìm hiểu xem tất cả các mục tiêu của bài học đã đạt được hay chưa.

VI. Bài tập về nhà 1 phút:

mục 58, 59, số 30, 31

Hướng dẫn bài tập về nhà.

Hoặc một hình cầu. Đoạn bất kỳ nối tâm của quả bóng với một điểm trên mặt cầu được gọi là bán kính. Đoạn thẳng nối hai điểm trên mặt cầu và đi qua tâm mặt cầu được gọi là đường kính. Các đầu của đường kính bất kỳ được gọi là các điểm đối diện theo đường kính của quả bóng.Bất cứ điều gì phần hình cầu có một chiếc máy bay một vòng tròn. Tâm của đường tròn này là đáy của vuông góc thả từ tâm xuống mặt phẳng cắt.Mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu được gọi là mặt phẳng đường kính. Tiết diện của quả bóng bởi mặt phẳng đường kính được gọi là vòng tròn lớn, và mặt cắt của hình cầu - Vòng tròn lớn. Bất kỳ mặt phẳng đường kính nào của một quả bóng là mặt phẳng đối xứng. Tâm của quả bóng là tâm đối xứng. Mặt phẳng đi qua một điểm trên mặt cầu và vuông góc với bán kính vẽ tại điểm đó được gọi là mặt phẳng tiếp tuyến. Điểm này được gọi là điểm chạm. Mặt phẳng tiếp tuyến chỉ có một điểm chung với quả bóng - điểm tiếp xúc.Đường thẳng đi qua một điểm đã cho của một mặt cầu vuông góc với bán kính được vẽ tại điểm này được gọi là đường tiếp tuyến. Qua một điểm bất kỳ của mặt cầu có vô số tiếp tuyến và tất cả chúng đều nằm trong mặt phẳng tiếp tuyến của quả cầu.phân đoạn bóngđược gọi là phần của quả bóng bị cắt khỏi nó bởi một mặt phẳng.lớp bóng gọi là phần của quả bóng, nằm giữa hai mặt phẳng song song cắt nhau quả bóng.Khu vực bóng nhận được từ một đoạn hình cầu và một hình nón.Nếu đoạn cầu nhỏ hơn bán cầu một đoạn thì đoạn cầu đó bổ sung bởi một hình nón có đỉnh nằm ở tâm quả cầu và có đáy là đáy của đoạn.Nếu đoạn đó lớn hơn một bán cầu, thì hình nón được chỉ định sẽ bị loại bỏ khỏi nó. Công thức cơ bản Bóng (R = OB - bán kính):S b \ u003d 4πR 2; V = 4πR 3/3.Đoạn bóng (R = OB - bán kính bóng, h = SK - chiều cao đoạn, r = KV - bán kính cơ sở của đoạn):V segm \ u003d πh 2 (R - h / 3)hoặc V segm \ u003d πh (h 2 + 3r 2) / 6; Đoạn S = 2πRh.Khu vực hình cầu (R = OB - bán kính bóng, h = SK - chiều cao đoạn):V \ u003d V segm ± V con, "+"- nếu đoạn nhỏ hơn, "-" - nếu đoạn nhiều hơn bán cầu.hoặc V \ u003d V segm + V con \ u003d πh 2 (R - h / 3) + πr 2 (R - h) / 3. Lớp hình cầu (R 1 và R 2 - bán kính của các đáy của lớp hình cầu; h \ u003d SC - chiều cao của lớp hình cầu hoặc khoảng cách giữa các đáy):V w / sl \ u003d πh 3/6 + πh (R 1 2 + R 2 2) / 2; S w / sl = 2πRh.ví dụ 1Thể tích của quả cầu là 288π cm 3. Tìm đường kính của quả bóng.Dung dịchV = πd 3/6288π = πd 3/6πd 3 = 1728πd3 = 1728d = 12 cm.Trả lời: 12.Ví dụ 2Ba mặt cầu bằng nhau bán kính r tiếp xúc nhau và một mặt phẳng nào đó. Xác định bán kính của mặt cầu thứ tư tiếp xúc với ba dữ kiện đã cho và mặt phẳng đã cho.Dung dịch Gọi O 1, O 2, O 3 là tâm của các mặt cầu này và O là tâm của mặt cầu thứ tư tiếp xúc với ba dữ liệu và mặt phẳng đã cho. Gọi A, B, C, T là các tiếp điểm của mặt cầu với mặt phẳng đã cho. Tiếp điểm của hai mặt cầu nằm trên đường tâm của hai mặt cầu, do đó O 1 O 2 \ u003d O 2 O 3 \ u003d O 3 O 1 \ u003d 2r. Các điểm cách đều mặt phẳng ABC nên AVO 2 O 1, AVO 2 O 3, AVO 3 O 1 là các hình chữ nhật bằng nhau nên ∆АВС đều cạnh 2r.Để cho x là bán kính mong muốn của hình cầu thứ tư. Khi đó OT = x. Do đó, tương Vậy T là trọng tâm của tam giác đều. Do đó Từ đâyTrả lời: r / 3. Hình cầu nội tiếp trong một kim tự thápMột mặt cầu có thể nội tiếp mọi hình chóp đều. Tâm của mặt cầu nằm tại đường cao của hình chóp tại giao điểm của nó với đường phân giác của góc thẳng ở cạnh đáy của hình chóp.Bình luận. Nếu một mặt cầu có thể nội tiếp một hình chóp mà không nhất thiết là hình chóp đều, thì bán kính r của hình cầu này có thể được tính theo công thức r \ u003d 3V / S pp, trong đó V là thể tích của hình chóp, S pp là Tổng diện tích bề mặt.Ví dụ 3Một cái phễu hình nón có bán kính đáy R và chiều cao H chứa đầy nước. Một quả bóng nặng được thả vào trong phễu. Bán kính của quả cầu phải là bao nhiêu để thể tích phần nước bị dịch chuyển ra khỏi phễu bởi phần chìm của quả bóng là lớn nhất?Dung dịchVẽ thiết diện qua tâm của hình nón. Phần này tạo thành một tam giác cân. Nếu có một quả bóng trong phễu, thì kích thước lớn nhất của bán kính của nó sẽ bằng bán kính của đường tròn nội tiếp trong tam giác cân.Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là:r = S / p, trong đó S là diện tích tam giác, p là nửa chu vi của nó.Diện tích tam giác cân bằng nửa chiều cao (H = SO) nhân với đáy. Nhưng vì cơ sở gấp đôi bán kính của hình nón nên S = RH.Nửa chu vi là p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m là độ dài mỗi cạnh bằng nhau của tam giác cân;R là bán kính của đường tròn tạo thành đáy của hình nón.Tìm m bằng định lý Pitago: , ở đâuTóm lại nó trông như thế này: Câu trả lời: Ví dụ 4Trong một hình chóp tam giác đều có góc tứ diện ở đáy bằng α, có hai quả bóng. Quả bóng thứ nhất chạm vào tất cả các mặt của hình chóp, và quả bóng thứ hai chạm vào tất cả các mặt bên của hình chóp và quả bóng thứ nhất. Tìm tỉ số giữa bán kính của viên bi thứ nhất với bán kính của viên bi thứ hai nếu tgα = 24/7.Dung dịch
Để cho RABC là hình chóp đều và điểm H là tâm của đáy ABC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó - góc tuyến tính của góc nhị diện, theo điều kiện bằng α, và α< 90° . Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой . Để cho HH 1 là đường kính của quả bóng thứ nhất và mặt phẳng đi qua điểm H 1 vuông góc với đường thẳng PH cắt các cạnh bên RA, RV, PC lần lượt tại các điểm A 1, B 1, C 1. Khi đó H 1 sẽ là tâm của ∆A 1 B 1 C 1 đúng, và hình chóp RA 1 B 1 C 1 đồng dạng với hình chóp RABC với hệ số đồng dạng k = PH 1 / PH. Chú ý rằng quả cầu thứ hai có tâm tại điểm O 1, nội tiếp hình chóp RA 1 B 1 C 1 và do đó tỉ số bán kính của các quả cầu nội tiếp bằng hệ số tương tự: OH / OH 1 = PH / PH 1. Từ đẳng thức tgα = 24/7, chúng ta tìm thấy:Để cho AB = x. sau đóDo đó tỷ lệ mong muốn OH / O 1 H 1 = 16/9.Trả lời: 16/9. Hình cầu nội tiếp trong một lăng kínhĐường kính D của mặt cầu nội tiếp lăng trụ bằng chiều cao H của lăng trụ: D = 2R = H. Bán kính R của mặt cầu nội tiếp lăng trụ bằng bán kính đường tròn nội tiếp tiết diện vuông góc của lăng trụ.Nếu một mặt cầu nội tiếp được trong một lăng trụ vuông thì một đường tròn có thể nội tiếp đáy của lăng trụ này. Bán kính R của mặt cầu nội tiếp lăng trụ thẳng bằng bán kính đường tròn nội tiếp lăng trụ.Định lý 1Cho đường tròn nội tiếp đáy của hình lăng trụ thẳng và chiều cao H của hình lăng trụ bằng đường kính D của đường tròn này. Khi đó một mặt cầu đường kính D có thể nội tiếp trong lăng trụ này. Tâm của mặt cầu nội tiếp này trùng với trung điểm của đoạn nối các tâm của các đường tròn nội tiếp đáy của lăng trụ.Bằng chứng Cho ABC ... A 1 B 1 C 1 ... - lăng trụ trực tiếp và O - tâm đường tròn nội tiếp đáy ABC. Khi đó điểm O cách đều tất cả các cạnh của đáy ABC. Gọi O 1 là hình chiếu trực giao của điểm O lên mặt đáy A 1 B 1 C 1. Khi đó O 1 cách đều tất cả các cạnh của cơ sở A 1 B 1 C 1, và OO 1 || AA 1. Theo đó, đường thẳng OO 1 song song với mỗi mặt phẳng của mặt bên của lăng trụ, và độ dài đoạn thẳng OO 1 bằng chiều cao của lăng trụ và theo điều kiện, đường kính của đường tròn nội tiếp đáy của lăng trụ. Điều này có nghĩa là các điểm của đoạn OO 1 cách đều các mặt bên của lăng trụ và trung điểm F của đoạn OO 1, cách đều các mặt phẳng của đáy lăng trụ, sẽ cách đều tất cả các mặt của lăng kính. Tức là F là tâm của mặt cầu nội tiếp lăng trụ và đường kính của mặt cầu này bằng đường kính của đường tròn nội tiếp đáy lăng trụ. Định lý đã được chứng minh.Định lý 2Cho một đường tròn nội tiếp mặt cắt vuông góc của một lăng trụ nghiêng và chiều cao của lăng trụ bằng đường kính của đường tròn này. Khi đó một mặt cầu có thể nội tiếp trong lăng trụ nghiêng này. Tâm của mặt cầu này chia đôi đường cao đi qua tâm của một đường tròn nội tiếp một đoạn vuông góc.Bằng chứng
Gọi АВС… А 1 В 1 С 1… là lăng trụ nghiêng và F là tâm của đường tròn bán kính FK nội tiếp trên mặt cắt vuông góc của nó. Vì tiết diện vuông góc của hình lăng trụ vuông góc với mỗi mặt phẳng của mặt bên nên bán kính của đường tròn nội tiếp mặt cắt vuông góc, vẽ các mặt bên của hình lăng trụ vuông góc với các mặt bên của lăng trụ. Do đó, điểm F cách đều tất cả các mặt bên.Ta vẽ đường thẳng OO 1 đi qua điểm F, vuông góc với mặt phẳng các đáy của lăng trụ, cắt các đáy tại hai điểm O và O 1. Khi đó OO 1 là chiều cao của lăng trụ. Vì theo điều kiện OO 1 = 2FK nên F là trung điểm của đoạn thẳng OO 1:FK \ u003d OO 1/2 \ u003d F0 \ u003d F0 1, tức là điểm F cách đều các mặt phẳng của tất cả các mặt của lăng trụ, không có ngoại lệ. Điều này có nghĩa là một mặt cầu có thể nội tiếp trong một lăng trụ đã cho, tâm của nó trùng với điểm F - tâm của đường tròn nội tiếp mặt cắt vuông góc đó của lăng trụ chia đôi chiều cao của lăng trụ đi qua điểm F. . Định lý đã được chứng minh.Ví dụ 5Một quả cầu bán kính 1 được nội tiếp trong một hình bình hành là hình chữ nhật. Tìm thể tích của hình bình hành đó.Dung dịch Vẽ hình chiếu từ trên xuống. Hoặc ở bên. Hoặc ở phía trước. Bạn sẽ thấy điều tương tự - một hình tròn nội tiếp trong một hình chữ nhật. Rõ ràng, hình chữ nhật này sẽ là một hình vuông, và hộp sẽ là một hình lập phương. Chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình lập phương này gấp đôi bán kính của hình cầu.AB \ u003d 2, và do đó, thể tích của khối lập phương là 8.Trả lời: 8.Ví dụ 6Trong một lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng, có hai viên bi. Quả cầu thứ nhất nội tiếp trong lăng trụ, và quả cầu thứ hai chạm vào một đáy của lăng trụ, hai mặt bên của nó và quả cầu thứ nhất. Tìm bán kính của quả cầu thứ hai.Dung dịch
Cho ABCA 1 B 1 C 1 là hình lăng trụ đều và các điểm P và P 1 là tâm của đáy. Khi đó tâm O nội tiếp trong lăng trụ này là trung điểm của đoạn thẳng PP 1. Xét mặt phẳng РВВ 1. Vì hình lăng trụ đều nên РВ nằm trên đoạn BN, là tia phân giác và chiều cao ΔАВС. Do đó, mặt phẳng và là mặt phẳng phân giác của góc nhị diện ở cạnh bên BB 1. Do đó, điểm bất kỳ của mặt phẳng này cách đều các mặt bên AA 1 BB 1 và SS 1 B 1 B. Đặc biệt, vuông góc OK, thả từ điểm O xuống mặt ACC 1 A 1, nằm trong mặt phẳng RVV 1 và bằng đoạn thẳng OR.Lưu ý rằng KNPO là một hình vuông có cạnh bằng bán kính của mặt cầu nội tiếp lăng trụ đã cho.Để cho Khoảng 1 - tâm của quả cầu tiếp xúc với mặt cầu nội tiếp tâm O và các mặt bên AA 1 BB 1 và CC 1 B 1 B của lăng trụ. Khi đó điểm O 1 nằm trên mặt phẳng RVV 1 và hình chiếu P 2 của nó lên mặt phẳng ABC nằm trên đoạn RV.Theo điều kiện, cạnh của cơ sở bằng

Trang 1

Thiết diện của một mặt cầu bởi một mặt phẳng đi qua tâm được gọi là một đường tròn lớn. Bán kính của hình tròn lớn bằng bán kính của quả bóng.

Thiết diện của một mặt cầu bởi một mặt phẳng luôn là một đường tròn. Trên hình. 153 cho thấy một quả bóng được giao bởi một mặt phẳng nằm ngang R và một mặt phẳng hình chiếu phía trước Q, cho bởi các vết Rv và Qv. Hình chiếu lên mặt phẳng H cũng có dạng một đường tròn có tâm chung là đường bao của hình chiếu ngang của quả cầu. Để xác định các điểm cực trị t và t lớn og. Các điểm trung gian của một hình elip, ví dụ / i và / 2, có thể thu được bằng phương pháp được mô tả khi giải một bài toán tương tự khi xây dựng các điểm nằm trên bề mặt của một quả bóng.

Mặt cắt của hình cầu bởi bất kỳ mặt phẳng thẳng đứng nào đi qua tâm sẽ cho một đường tròn lớn gọi là kinh tuyến.

Thiết diện của một mặt cầu bởi một mặt phẳng nằm cách tâm mặt cầu một khoảng nhỏ hơn bán kính là một đường tròn.

Thiết diện của một mặt cầu bởi một mặt phẳng là một đường tròn. Một mặt phẳng đi qua tâm của quả bóng cắt nó theo một đường tròn có đường kính bằng đường kính của quả bóng. Để tạo hình ảnh của một quả bóng bị cắt ngắn, người ta sẽ xây dựng các hình chiếu của các trục của hình elip, cũng như các điểm của elip nằm trên các máy tạo đường viền của quả bóng.

Một phần của một mặt cầu bởi một mặt phẳng vuông góc với bán kính của nó chia đôi bán kính.

Phần của quả bóng đi qua trục của hình nón là một vòng tròn lớn của quả bóng, trong đó DLV5 là nội tiếp (Hình 185), trong đó [LV] là đường kính của đáy hình nón.

Thiết diện của mặt cầu bởi mặt phẳng đi qua đáy của hình chóp là một đường tròn nội tiếp DLVS. Vì C 90 nên tâm O của đường tròn này nằm ở giữa cạnh huyền.

Thiết diện của một mặt cầu bởi một mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu được gọi là một đường tròn lớn. Mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cầu (quả bóng) là mặt phẳng có một điểm chung duy nhất với mặt cầu. Điểm này được gọi là điểm tiếp xúc giữa mặt cầu và mặt phẳng. Để một mặt phẳng tiếp xúc với một mặt cầu, cần và đủ để mặt phẳng này vuông góc với bán kính của mặt cầu và đi qua đầu mút của nó.

Do đó, thiết diện của quả bóng đi qua tâm của nó và tiếp xúc với mặt đáy của hình chóp sẽ là một đường tròn nội tiếp tam giác SEF, trong đó SE và SF là các đỉnh của các mặt bên và EF là chiều cao của hình thoi.

Xét một mặt cầu đi qua trục của một hình nón cụt. Trong mặt cắt ta được đường tròn nội tiếp hình thang ABCD.

Mỗi phần của một mặt cầu bởi một mặt phẳng đi qua tâm của nó tạo ra một đường tròn lớn.

О Phần quả bóng đi qua trục của hình nón là một đường tròn lớn của quả bóng, trong đó D ABS là nội tiếp (Hình 339), trong đó [AB] là đường kính của đáy hình nón.