एक घन को कम करने का सूत्र. संक्षिप्त गुणन सूत्र. पाठ से निष्कर्ष

संक्षिप्त गुणन सूत्र (एफएमएफ) का उपयोग संख्याओं और अभिव्यक्तियों को घातांकित और गुणा करने के लिए किया जाता है। अक्सर ये सूत्र आपको अधिक संक्षिप्त और शीघ्रता से गणना करने की अनुमति देते हैं।

इस लेख में हम संक्षिप्त गुणन के लिए मूल सूत्रों को सूचीबद्ध करेंगे, उन्हें एक तालिका में समूहित करेंगे, इन सूत्रों का उपयोग करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे, और संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्रों के प्रमाण के सिद्धांतों पर भी ध्यान देंगे।

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पहली बार, एफएसयू के विषय पर 7वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर विचार किया गया है। नीचे 7 बुनियादी सूत्र दिए गए हैं।

संक्षिप्त गुणन सूत्र

योग के वर्ग का सूत्र: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
वर्ग अंतर सूत्र: ए - बी 2 = ए 2 - 2 ए बी + बी 2
योग घन सूत्र: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
अंतर घन सूत्र: ए - बी 3 = ए 3 - 3 ए 2 बी + 3 ए बी 2 - बी 3
वर्ग अंतर सूत्र: a 2 - b 2 = a - b a + b
घनों के योग का सूत्र: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
घनों के अंतर का सूत्र: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

इन भावों में अक्षर a, b, c कोई भी संख्या, चर या भाव हो सकते हैं। उपयोग में आसानी के लिए सात बुनियादी सूत्रों को याद करना बेहतर है। आइए उन्हें एक टेबल में रखें और उन्हें एक फ्रेम से घेरकर नीचे प्रस्तुत करें।

पहले चार सूत्र आपको क्रमशः दो भावों के योग या अंतर के वर्ग या घन की गणना करने की अनुमति देते हैं।

पाँचवाँ सूत्र भावों के वर्गों के योग और अंतर को गुणा करके उनके अंतर की गणना करता है।

छठा और सातवां सूत्र क्रमशः भावों के योग और अंतर को अंतर के अपूर्ण वर्ग और योग के अपूर्ण वर्ग से गुणा करना है।

संक्षिप्त गुणन सूत्र को कभी-कभी संक्षिप्त गुणन सर्वसमिका भी कहा जाता है। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि प्रत्येक समानता एक पहचान है।

व्यावहारिक उदाहरणों को हल करते समय, बाएँ और दाएँ पक्षों की अदला-बदली के साथ संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अक्सर उपयोग किया जाता है। बहुपद का गुणनखंड करते समय यह विशेष रूप से सुविधाजनक होता है।

अतिरिक्त संक्षिप्त गुणन सूत्र

आइए स्वयं को 7वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम तक सीमित न रखें और अपनी एफएसयू तालिका में कुछ और सूत्र जोड़ें।

सबसे पहले, आइए न्यूटन के द्विपद सूत्र को देखें।

ए + बी एन = सी एन 0 · ए एन + सी एन 1 · ए एन - 1 · बी + सी एन 2 · ए एन - 2 · बी 2 +। . + सी एन एन - 1 · ए · बी एन - 1 + सी एन एन · बी एन

यहाँ C n k द्विपद गुणांक हैं जो पास्कल के त्रिभुज में पंक्ति संख्या n में दिखाई देते हैं। द्विपद गुणांक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

सी एन के = एन ! क! · (एन - के) ! = एन (एन - 1) (एन - 2) . . (एन - (के - 1)) के !

जैसा कि हम देख सकते हैं, अंतर और योग के वर्ग और घन के लिए एफएसएफ क्रमशः n=2 और n=3 के लिए न्यूटन द्विपद सूत्र का एक विशेष मामला है।

लेकिन क्या होगा यदि योग में दो से अधिक पद हों जिन्हें एक घात तक बढ़ाने की आवश्यकता हो? तीन, चार या अधिक पदों के योग का वर्ग निकालने का सूत्र उपयोगी होगा।

ए 1 + ए 2 + . . + ए एन 2 = ए 1 2 + ए 2 2 +। . + ए एन 2 + 2 ए 1 ए 2 + 2 ए 1 ए 3 +। . + 2 ए 1 ए एन + 2 ए 2 ए 3 + 2 ए 2 ए 4 +। . + 2 ए 2 ए एन + 2 ए एन - 1 ए एन

एक अन्य सूत्र जो उपयोगी हो सकता है वह दो पदों की nवीं घातों के बीच अंतर का सूत्र है।

ए एन - बी एन = ए - बी ए एन - 1 + ए एन - 2 बी + ए एन - 3 बी 2 +। . + ए 2 बी एन - 2 + बी एन - 1

इस सूत्र को आमतौर पर दो सूत्रों में विभाजित किया जाता है - क्रमशः सम और विषम घातों के लिए।

सम 2m संकेतकों के लिए:

ए 2 एम - बी 2 एम = ए 2 - बी 2 ए 2 एम - 2 + ए 2 एम - 4 बी 2 + ए 2 एम - 6 बी 4 +। . + बी 2 एम - 2

विषम घातांक 2m+1 के लिए:

ए 2 एम + 1 - बी 2 एम + 1 = ए 2 - बी 2 ए 2 एम + ए 2 एम - 1 बी + ए 2 एम - 2 बी 2 +। . + बी 2 मी

वर्गों का अंतर और घन सूत्रों का अंतर, जैसा कि आपने अनुमान लगाया, क्रमशः n = 2 और n = 3 के लिए इस सूत्र के विशेष मामले हैं। घनों के अंतर के लिए, b को - b से भी प्रतिस्थापित किया जाता है।

संक्षिप्त गुणन सूत्र कैसे पढ़ें?

हम प्रत्येक सूत्र के लिए उचित सूत्र देंगे, लेकिन पहले हम सूत्र पढ़ने के सिद्धांत को समझेंगे। ऐसा करने का सबसे सुविधाजनक तरीका एक उदाहरण है। आइए दो संख्याओं के योग के वर्ग के लिए सबसे पहला सूत्र लें।

ए + बी 2 = ए 2 + 2 ए बी + बी 2।

वे कहते हैं: दो अभिव्यक्तियों ए और बी के योग का वर्ग पहली अभिव्यक्ति के वर्ग के योग के बराबर है, अभिव्यक्ति के उत्पाद और दूसरी अभिव्यक्ति के वर्ग के दोगुने के बराबर है।

अन्य सभी सूत्र इसी प्रकार पढ़े जाते हैं। अंतर के वर्ग के लिए a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 हम लिखते हैं:

दो अभिव्यक्तियों a और b के बीच अंतर का वर्ग इन अभिव्यक्तियों के वर्गों के योग के बराबर है जिसमें पहली और दूसरी अभिव्यक्तियों के गुणनफल का दोगुना घटा है।

आइए सूत्र पढ़ें a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. दो अभिव्यक्तियों ए और बी के योग का घन इन अभिव्यक्तियों के घनों के योग के बराबर है, पहली अभिव्यक्ति के वर्ग के उत्पाद को दूसरे से तीन गुना और दूसरे अभिव्यक्ति के वर्ग के उत्पाद को तीन गुना कर दें। पहली अभिव्यक्ति.

आइए घनों के अंतर के सूत्र को पढ़ने के लिए आगे बढ़ें a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. दो अभिव्यक्तियों a और b के बीच अंतर का घन पहली अभिव्यक्ति के घन के बराबर होता है जिसमें पहली अभिव्यक्ति और दूसरे के वर्ग का त्रिगुण गुणनफल और दूसरी अभिव्यक्ति और पहली अभिव्यक्ति के वर्ग का त्रिगुण गुणनफल घटाया जाता है। , दूसरी अभिव्यक्ति का घन घटा।

पाँचवाँ सूत्र a 2 - b 2 = a - b a + b (वर्गों का अंतर) इस प्रकार है: दो भावों के वर्गों का अंतर दो भावों के अंतर और योग के गुणनफल के बराबर होता है।

सुविधा के लिए, a 2 + a b + b 2 और a 2 - a b + b 2 जैसे भावों को क्रमशः योग का अपूर्ण वर्ग और अंतर का अपूर्ण वर्ग कहा जाता है।

इसे ध्यान में रखते हुए, घनों के योग और अंतर के सूत्र इस प्रकार पढ़े जा सकते हैं:

दो भावों के घनों का योग इन भावों के योग और उनके अंतर के आंशिक वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है।

दो भावों के घनों के बीच का अंतर इन भावों के बीच के अंतर और उनके योग के आंशिक वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है।

एफएसयू का प्रमाण

एफएसयू को साबित करना काफी सरल है। गुणन के गुणों के आधार पर हम कोष्ठक में दिए गए सूत्रों के भागों को गुणा करेंगे।

उदाहरण के लिए, वर्ग अंतर के सूत्र पर विचार करें।

ए - बी 2 = ए 2 - 2 ए बी + बी 2।

किसी व्यंजक को दूसरी घात तक बढ़ाने के लिए, आपको इस व्यंजक को उसी से गुणा करना होगा।

ए - बी 2 = ए - बी ए - बी।

आइए कोष्ठक का विस्तार करें:

ए - बी ए - बी = ए 2 - ए बी - बी ए + बी 2 = ए 2 - 2 ए बी + बी 2।

सूत्र सिद्ध है. शेष एफएसयू भी इसी प्रकार सिद्ध हैं।

एफएसयू आवेदन के उदाहरण

संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने का उद्देश्य तेजी से और संक्षिप्त रूप से गुणा करना और अभिव्यक्ति को घात तक बढ़ाना है। हालाँकि, यह एफएसयू के आवेदन का संपूर्ण दायरा नहीं है। इनका व्यापक रूप से व्यंजकों को कम करने, भिन्नों को कम करने और बहुपदों का गुणनखंड करने में उपयोग किया जाता है। चलिए उदाहरण देते हैं.

उदाहरण 1. एफएसयू

आइए अभिव्यक्ति 9 y - (1 + 3 y) 2 को सरल बनाएं।

आइए वर्गों का योग सूत्र लागू करें और प्राप्त करें:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

उदाहरण 2. एफएसयू

आइए अंश 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 को कम करें।

हम ध्यान देते हैं कि अंश में अभिव्यक्ति घनों का अंतर है, और हर में वर्गों का अंतर है।

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z।

हम कम करते हैं और प्राप्त करते हैं:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

एफएसयू अभिव्यक्ति के मूल्यों की गणना करने में भी मदद करते हैं। मुख्य बात यह ध्यान देने में सक्षम होना है कि सूत्र को कहां लागू करना है। आइए इसे एक उदाहरण से दिखाते हैं.

आइए संख्या 79 का वर्ग करें। बोझिल गणनाओं के बजाय, आइए लिखें:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

ऐसा प्रतीत होता है कि संक्षिप्त गुणन सूत्रों और गुणन तालिका का उपयोग करके एक जटिल गणना शीघ्रता से की जाती है।

एक अन्य महत्वपूर्ण बिंदु द्विपद के वर्ग का चयन है। अभिव्यक्ति 4 x 2 + 4 x - 3 को 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 में परिवर्तित किया जा सकता है। एकीकरण में ऐसे परिवर्तनों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

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बीजगणितीय बहुपदों को सरल बनाने के लिए, हैं संक्षिप्त गुणन सूत्र. उनमें से बहुत सारे नहीं हैं और उन्हें याद रखना आसान है, लेकिन आपको उन्हें याद रखने की ज़रूरत है। सूत्रों में प्रयुक्त अंकन कोई भी रूप (संख्या या बहुपद) ले सकता है।

प्रथम संक्षिप्त गुणन सूत्र कहलाता है वर्गों का अंतर. इसमें एक संख्या के वर्ग को दूसरी संख्या के वर्ग से घटाना शामिल है, जो इन संख्याओं के बीच के अंतर के साथ-साथ उनके उत्पाद के बराबर है।

ए 2 - बी 2 = (ए - बी)(ए + बी)

आइए इसे स्पष्टता के लिए देखें:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9ए 2 - 4बी 2 सी 2 = (3ए - 2बीसी)(3ए + 2बीसी)

दूसरा सूत्र है के बारे में वर्गों का योग. ऐसा लगता है जैसे दो मात्राओं के वर्ग का योग पहली मात्रा के वर्ग के बराबर होता है, पहली मात्रा का दोगुना गुणनफल दूसरी मात्रा से गुणा करके इसमें जोड़ा जाता है, दूसरी मात्रा का वर्ग इसमें जोड़ा जाता है।

(ए + बी) 2 = ए 2 +2एबी + बी 2

इस सूत्र के लिए धन्यवाद, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के उपयोग के बिना, बड़ी संख्या के वर्ग की गणना करना बहुत आसान हो जाता है।

तो उदाहरण के लिए: 112 का वर्ग बराबर होगा
1) सबसे पहले, आइए 112 को उन संख्याओं में विभाजित करें जिनके वर्ग से हम परिचित हैं
112 = 100 + 12
2) हम परिणाम को वर्गाकार कोष्ठक में दर्ज करते हैं
112 2 = (100+12) 2
3) सूत्र को लागू करने पर, हमें मिलता है:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

तीसरा सूत्र है वर्ग अंतर. जो कहता है कि एक वर्ग में एक दूसरे से घटाई गई दो मात्राएँ बराबर होती हैं, क्योंकि पहली मात्रा के वर्ग से हम पहली मात्रा के दूसरे से गुणा किए गए गुणनफल को घटाते हैं, और उनमें दूसरी मात्रा का वर्ग जोड़ते हैं।

(ए + बी) 2 = ए 2 - 2 एबी + बी 2

जहां (ए - बी) 2 बराबर (बी - ए) 2 है। इसे सिद्ध करने के लिए, (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

संक्षिप्त गुणन का चौथा सूत्र कहलाता है योग का घन. जो इस तरह लगता है: एक घन में दो योग मात्राएँ 1 मात्रा के घन के बराबर होती हैं, 1 मात्रा के वर्ग का त्रिगुण गुणनफल दूसरी मात्रा के वर्ग से गुणा करके जोड़ा जाता है, इनमें 1 मात्रा के वर्ग का त्रिगुण गुणनफल 2 के वर्ग से गुणा किया जाता है। मात्राएँ, प्लस दूसरी मात्रा घनांकित।

(ए+बी) 3 = ए 3 + 3ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3

पाँचवाँ, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, कहा जाता है अंतर घन. जो मात्राओं के बीच अंतर पाता है, जैसे कि घन में पहले अंकन से हम वर्ग में पहले अंकन के त्रिगुण उत्पाद को दूसरे से गुणा करके घटाते हैं, उनमें पहले अंकन के त्रिगुण उत्पाद को दूसरे के वर्ग से गुणा करके जोड़ा जाता है। अंकन, घन में दूसरा अंकन घटा।

(ए-बी) 3 = ए 3 - 3ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3

छठा कहा जाता है - घनों का योग. घनों का योग दो योगों के गुणनफल को अंतर के आंशिक वर्ग से गुणा करने के बराबर होता है, क्योंकि बीच में कोई दोहरा मान नहीं होता है।

ए 3 + बी 3 = (ए+बी)(ए 2 -एबी+बी 2)

घनों का योग कहने का दूसरा तरीका यह है कि इसे दो कोष्ठकों में दिया गया गुणनफल कहा जाए।

सातवें और अंतिम को कहा जाता है घनों का अंतर(इसे अंतर घन सूत्र के साथ आसानी से भ्रमित किया जा सकता है, लेकिन ये अलग-अलग चीजें हैं)। घनों का अंतर दो मात्राओं के अंतर को योग के आंशिक वर्ग से गुणा करने के गुणनफल के बराबर होता है, क्योंकि बीच में कोई दोहरा मान नहीं होता है।

ए 3 - बी 3 = (ए-बी)(ए 2 +एबी+बी 2)

और इसलिए संक्षिप्त गुणन के लिए केवल 7 सूत्र हैं, वे एक-दूसरे के समान हैं और याद रखने में आसान हैं, केवल महत्वपूर्ण बात यह है कि संकेतों में भ्रमित न हों। इन्हें उल्टे क्रम में उपयोग करने के लिए भी डिज़ाइन किया गया है, और पाठ्यपुस्तकों में ऐसे कुछ कार्य शामिल हैं। सावधान रहें और सब कुछ आपके लिए ठीक हो जाएगा।

यदि आपके पास सूत्रों के बारे में प्रश्न हैं, तो उन्हें टिप्पणियों में अवश्य लिखें। हमें आपको उत्तर देने में ख़ुशी होगी!

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पिछले पाठ में हमने गुणनखंडन पर चर्चा की थी। हमने दो तरीकों में महारत हासिल की: सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर रखना और समूह बनाना। इस पाठ में - निम्नलिखित शक्तिशाली विधि: संक्षिप्त गुणन सूत्र. संक्षेप में - एफएसयू।

गणित की सभी शाखाओं में संक्षिप्त गुणन सूत्र (योग और अंतर वर्ग, योग और अंतर घन, वर्गों का अंतर, योग और अंतर घन) अत्यंत आवश्यक हैं। इनका उपयोग व्यंजकों को सरल बनाने, समीकरणों को हल करने, बहुपदों को गुणा करने, भिन्नों को कम करने, अभिन्नों को हल करने आदि में किया जाता है। और इसी तरह। संक्षेप में, उनसे निपटने का हर कारण मौजूद है। समझें कि वे कहाँ से आते हैं, उनकी आवश्यकता क्यों है, उन्हें कैसे याद रखें और उनका उपयोग कैसे करें।

क्या हम समझते हैं?)

संक्षिप्त गुणन सूत्र कहाँ से आते हैं?

समानताएँ 6 और 7 बहुत परिचित तरीके से नहीं लिखी गई हैं। यह एक तरह से विपरीत है. यह जानबूझकर किया गया है।) कोई भी समानता बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ दोनों तरह से काम करती है। यह प्रविष्टि यह स्पष्ट करती है कि एफएसयू कहां से आते हैं।

इन्हें गुणन से लिया गया है।) उदाहरण के लिए:

(ए+बी) 2 =(ए+बी)(ए+बी)=ए 2 +एबी+बीए+बी 2 =ए 2 +2एबी+बी 2

बस, कोई वैज्ञानिक तरकीब नहीं। हम बस कोष्ठकों को गुणा करते हैं और समान कोष्ठक देते हैं। ऐसा ही होता है सभी संक्षिप्त गुणन सूत्र। संक्षिप्तगुणन इसलिए है क्योंकि स्वयं सूत्रों में कोष्ठकों का गुणन और समान कोष्ठकों का ह्रास नहीं होता है। संक्षिप्त।) परिणाम तुरंत दिया जाता है।

एफएसयू को दिल से जानने की जरूरत है। पहले तीन के बिना, आप सी का सपना नहीं देख सकते; बाकी के बिना, आप बी या ए का सपना नहीं देख सकते।)

हमें संक्षिप्त गुणन सूत्रों की आवश्यकता क्यों है?

इन सूत्रों को सीखने, यहाँ तक कि याद रखने के दो कारण हैं। पहला यह कि एक तैयार उत्तर स्वचालित रूप से त्रुटियों की संख्या को कम कर देता है। लेकिन ये मुख्य कारण नहीं है. लेकिन दूसरा...

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बीजगणित पाठ्यक्रम में अध्ययन किए जाने वाले पहले विषयों में से एक संक्षिप्त गुणन सूत्र है। ग्रेड 7 में, उनका उपयोग सबसे सरल स्थितियों में किया जाता है, जहां आपको एक अभिव्यक्ति में सूत्रों में से एक को पहचानने और एक बहुपद का गुणनखंड करने की आवश्यकता होती है या, इसके विपरीत, किसी योग या अंतर को जल्दी से वर्गाकार या घन करना होता है। भविष्य में, एफएसयू का उपयोग असमानताओं और समीकरणों को तुरंत हल करने और यहां तक कि कैलकुलेटर के बिना कुछ संख्यात्मक अभिव्यक्तियों की गणना करने के लिए भी किया जाता है।

सूत्रों की सूची कैसी दिखती है?

ऐसे 7 बुनियादी सूत्र हैं जो आपको कोष्ठक में बहुपदों को शीघ्रता से गुणा करने की अनुमति देते हैं।

कभी-कभी इस सूची में चौथी डिग्री का विस्तार भी शामिल होता है, जो प्रस्तुत पहचानों से अनुसरण करता है और इसका रूप है:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

वर्गों के अंतर को छोड़कर सभी समानताओं में एक जोड़ा (योग-अंतर) होता है। वर्गों के योग का सूत्र नहीं दिया गया है.

शेष समानताएँ याद रखना आसान है:

यह याद रखना चाहिए कि एफएसयू किसी भी मामले में और किसी भी मूल्य के लिए काम करते हैं एऔर बी: ये या तो मनमानी संख्याएँ या पूर्णांक अभिव्यक्तियाँ हो सकती हैं।

ऐसी स्थिति में जहां आपको अचानक याद नहीं आ रहा है कि सूत्र में किसी विशेष शब्द के सामने कौन सा चिह्न है, आप कोष्ठक खोल सकते हैं और सूत्र का उपयोग करने के बाद वही परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि अंतर घन एफएसयू को लागू करते समय कोई समस्या उत्पन्न होती है, तो आपको मूल अभिव्यक्ति को लिखना होगा और एक-एक करके गुणा करें:

(ए - बी)³ = (ए - बी)(ए - बी)(ए - बी) = (ए² - एबी - एबी + बी²)(ए - बी) = ए³ - ए²बी - ए²बी + एबी² - ए²बी + एबी² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

परिणामस्वरूप, सभी समान पदों को लाने के बाद, तालिका में जैसा ही बहुपद प्राप्त हुआ। अन्य सभी एफएसयू के साथ भी यही हेरफेर किया जा सकता है।

समीकरणों को हल करने के लिए एफएसयू का अनुप्रयोग

उदाहरण के लिए, आपको एक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है घात 3 का बहुपद:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

स्कूली पाठ्यक्रम में घन समीकरणों को हल करने के लिए सार्वभौमिक तकनीकों को शामिल नहीं किया गया है, और ऐसे कार्यों को अक्सर सरल तरीकों (उदाहरण के लिए, गुणनखंडन) का उपयोग करके हल किया जाता है। यदि हम देखते हैं कि पहचान का बायां भाग किसी योग के घन जैसा दिखता है, तो समीकरण को सरल रूप में लिखा जा सकता है:

(x + 1)³ = 0.

ऐसे समीकरण की जड़ की गणना मौखिक रूप से की जाती है: एक्स = -1.

असमानताओं को इसी प्रकार हल किया जाता है। उदाहरण के लिए, आप असमानता को हल कर सकते हैं x³ – 6x² + 9x > 0.

सबसे पहले, आपको अभिव्यक्ति को कारक बनाने की आवश्यकता है। सबसे पहले आपको ब्रैकेट लगाने की आवश्यकता है एक्स. इसके बाद ध्यान दें कि कोष्ठक में दिए गए भाव को अंतर के वर्ग में बदला जा सकता है।

फिर आपको उन बिंदुओं को ढूंढना होगा जिन पर अभिव्यक्ति शून्य मान लेती है और उन्हें संख्या रेखा पर चिह्नित करती है। किसी विशेष मामले में, ये 0 और 3 होंगे। फिर, अंतराल विधि का उपयोग करके निर्धारित करें कि कौन से अंतराल में x असमानता की स्थिति के अनुरूप होगा।

प्रदर्शन करते समय एफएसयू उपयोगी हो सकते हैं कैलकुलेटर की सहायता के बिना कुछ गणनाएँ:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

इसके अतिरिक्त, व्यंजकों का गुणनखंडन करके, आप आसानी से भिन्नों को कम कर सकते हैं और विभिन्न बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बना सकते हैं।

ग्रेड 7-8 के लिए समस्याओं के उदाहरण

अंत में, हम बीजगणित में संक्षिप्त गुणन सूत्रों के उपयोग पर दो समस्याओं का विश्लेषण और समाधान करेंगे।

कार्य 1. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

(एम + 3)² + (3एम + 1)(3एम - 1) - 2एम (5एम + 3)।

समाधान। कार्य की स्थिति के लिए अभिव्यक्ति को सरल बनाना आवश्यक है, अर्थात कोष्ठक खोलना, गुणन और घातांक की संक्रियाएँ करना, और सभी समान पदों को लाना। आइए हम अभिव्यक्ति को सशर्त रूप से तीन भागों में विभाजित करें (शब्दों की संख्या के अनुसार) और जहां संभव हो, एफएसयू का उपयोग करके कोष्ठक को एक-एक करके खोलें।

(एम + 3)² = एम² + 6एम + 9(योग वर्ग);
(3मी + 1)(3मी - 1) = 9मी² – 1(वर्गों का अंतर);
अंतिम कार्यकाल में आपको गुणा करना होगा: 2 मी (5 मी + 3) = 10 मी² + 6 मी.

आइए प्राप्त परिणामों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें:

(एम² + 6एम + 9) + (9एम² – 1) - (10एम² + 6एम).

संकेतों को ध्यान में रखते हुए, हम कोष्ठक खोलेंगे और समान शब्द प्रस्तुत करेंगे:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

समस्या 2. अज्ञात k से 5वीं घात वाले समीकरण को हल करें:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

समाधान। इस मामले में, एफएसयू और ग्रुपिंग विधि का उपयोग करना आवश्यक है। अंतिम और अंतिम पदों को पहचान के दाईं ओर ले जाना आवश्यक है।

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

उभयनिष्ठ कारक दाएँ और बाएँ पक्षों से प्राप्त होता है (के² + 4के +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

सब कुछ समीकरण के बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है ताकि 0 दाईं ओर बना रहे:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

फिर से सामान्य कारक को निकालना आवश्यक है:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

प्राप्त प्रथम कारक से हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं क. संक्षिप्त गुणन सूत्र के अनुसार, दूसरा गुणनखंड समान रूप से बराबर होगा (के+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

वर्गों के अंतर सूत्र का उपयोग करना:

के (के - 1)(के + 1)(के + 2)² = 0.

चूँकि कोई गुणनफल 0 के बराबर होता है यदि उसका कम से कम एक गुणनखंड शून्य हो, तो समीकरण के सभी मूल ज्ञात करना कठिन नहीं है:

के = 0;
के - 1 = 0; के = 1;
के + 1 = 0; के = -1;
(के + 2)² = 0; के = -2.

उदाहरणात्मक उदाहरणों के आधार पर, आप समझ सकते हैं कि सूत्रों को कैसे याद रखें, उनके अंतर, और एफएसयू का उपयोग करके कई व्यावहारिक समस्याओं को भी हल करें। कार्य सरल हैं और उन्हें पूरा करने में कोई कठिनाई नहीं होनी चाहिए।