Mfumo wa kupunguza mchemraba. Fomula zilizofupishwa za kuzidisha. Hitimisho kutoka kwa somo

Fomula zilizofupishwa za kuzidisha (FMF) hutumiwa kufafanua na kuzidisha nambari na misemo. Mara nyingi fomula hizi hukuruhusu kufanya mahesabu kwa ukamilifu na kwa haraka.

Katika kifungu hiki tutaorodhesha fomula za kimsingi za kuzidisha kwa kifupi, kuziweka kwenye jedwali, fikiria mifano ya kutumia fomula hizi, na pia tutazingatia kanuni za uthibitisho wa fomula za kuzidisha kwa kifupi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kwa mara ya kwanza, mada ya FSU inazingatiwa ndani ya mfumo wa kozi ya Algebra kwa daraja la 7. Ifuatayo ni kanuni 7 za msingi.

Fomula zilizofupishwa za kuzidisha

formula ya mraba wa jumla: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
fomula ya tofauti za mraba: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
formula ya jumla ya mchemraba: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
formula ya mchemraba tofauti: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
formula tofauti ya mraba: a 2 - b 2 = a - b a + b
formula kwa jumla ya cubes: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
formula ya tofauti ya cubes: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Herufi a, b, c katika semi hizi zinaweza kuwa nambari, vigeu au vielezi vyovyote. Kwa urahisi wa matumizi, ni bora kujifunza kanuni saba za msingi kwa moyo. Wacha tuwaweke kwenye meza na tuwasilishe hapa chini, tukizunguka kwa sura.

Njia nne za kwanza hukuruhusu kuhesabu, mtawaliwa, mraba au mchemraba wa jumla au tofauti ya misemo miwili.

Fomula ya tano huhesabu tofauti kati ya miraba ya semi kwa kuzidisha jumla na tofauti zao.

Formula ya sita na ya saba ni, mtawalia, kuzidisha jumla na tofauti ya semi kwa mraba usio kamili wa tofauti na mraba usio kamili wa jumla.

Fomula iliyofupishwa ya kuzidisha wakati mwingine pia huitwa vitambulisho vya kuzidisha vilivyofupishwa. Hii haishangazi, kwani kila usawa ni utambulisho.

Wakati wa kutatua mifano ya vitendo, fomula zilizofupishwa za kuzidisha na pande za kushoto na kulia zilizobadilishwa hutumiwa mara nyingi. Hii ni rahisi sana wakati wa kuunda polynomial.

Njia za ziada za kuzidisha zilizofupishwa

Tusijiwekee kikomo kwa kozi ya aljebra ya daraja la 7 na kuongeza fomula chache zaidi kwenye jedwali letu la FSU.

Kwanza, hebu tuangalie formula ya Newton ya binomial.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Hapa C n k ni viambajengo vya binomial vinavyoonekana katika mstari nambari n katika pembetatu ya Pascal. Mgawo wa Binomial huhesabiwa kwa kutumia fomula:

C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k!

Kama tunavyoona, FSF ya mraba na mchemraba wa tofauti na jumla ni kesi maalum ya formula ya Newton binomial ya n=2 na n=3, mtawaliwa.

Lakini vipi ikiwa kuna zaidi ya maneno mawili katika jumla ambayo yanahitaji kuongezwa kwa mamlaka? Fomula ya mraba ya jumla ya maneno matatu, manne au zaidi itakuwa muhimu.

a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Njia nyingine ambayo inaweza kuwa muhimu ni fomula ya tofauti kati ya nguvu za nth za maneno mawili.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Fomula hii kawaida imegawanywa katika fomula mbili - kwa nguvu sawa na isiyo ya kawaida, mtawaliwa.

Kwa viashiria hata vya 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2

Kwa vielelezo visivyo vya kawaida 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. . + b 2 m

Tofauti ya mraba na tofauti ya fomula za cubes, kama ulivyokisia, ni kesi maalum za fomula hii ya n = 2 na n = 3, mtawaliwa. Kwa tofauti ya cubes, b pia inabadilishwa na - b.

Jinsi ya kusoma fomula zilizofupishwa za kuzidisha?

Tutatoa uundaji unaofaa kwa kila fomula, lakini kwanza tutaelewa kanuni ya kusoma fomula. Njia rahisi zaidi ya kufanya hivyo ni kwa mfano. Wacha tuchukue fomula ya kwanza kabisa ya mraba wa jumla ya nambari mbili.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Wanasema: mraba wa jumla ya semi mbili a na b ni sawa na jumla ya mraba wa usemi wa kwanza, mara mbili bidhaa ya misemo na mraba wa usemi wa pili.

Fomula zingine zote zinasomwa sawa. Kwa mraba wa tofauti a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 tunaandika:

mraba wa tofauti kati ya semi mbili a na b ni sawa na jumla ya miraba ya semi hizi ukiondoa mara mbili bidhaa ya semi ya kwanza na ya pili.

Hebu tusome fomula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Mchemraba wa jumla ya misemo miwili a na b ni sawa na jumla ya ujazo wa misemo hii, mara tatu bidhaa ya mraba wa usemi wa kwanza na wa pili, na mara tatu bidhaa ya mraba wa usemi wa pili na usemi wa kwanza.

Wacha tuendelee kusoma fomula ya tofauti ya cubes a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Mchemraba wa tofauti kati ya semi mbili a na b ni sawa na mchemraba wa usemi wa kwanza ukiondoa bidhaa tatu ya mraba wa usemi wa kwanza na wa pili, pamoja na bidhaa tatu za mraba wa usemi wa pili na usemi wa kwanza. , toa mchemraba wa usemi wa pili.

Fomula ya tano 2 - b 2 = a - b a + b (tofauti ya mraba) inasomeka hivi: tofauti ya miraba ya misemo miwili ni sawa na bidhaa ya tofauti na jumla ya misemo miwili.

Kwa urahisi, misemo kama 2 + a b + b 2 na 2 - a b + b 2 inaitwa, mtawaliwa, mraba usio kamili wa jumla na mraba usio kamili wa tofauti.

Kwa kuzingatia hili, kanuni za jumla na tofauti za cubes zinaweza kusomwa kama ifuatavyo:

Jumla ya cubes ya maneno mawili ni sawa na bidhaa ya jumla ya maneno haya na mraba wa sehemu ya tofauti zao.

Tofauti kati ya cubes ya misemo miwili ni sawa na bidhaa ya tofauti kati ya maneno haya na mraba wa sehemu ya jumla yao.

Uthibitisho wa FSU

Kuthibitisha FSU ni rahisi sana. Kulingana na sifa za kuzidisha, tutazidisha sehemu za fomula kwenye mabano.

Kwa mfano, fikiria fomula ya tofauti ya mraba.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Ili kuinua usemi kwa nguvu ya pili, unahitaji kuzidisha usemi huu peke yake.

a - b 2 = a - b a - b .

Wacha tupanue mabano:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Fomula imethibitishwa. FSU zilizobaki zimethibitishwa vivyo hivyo.

Mifano ya maombi ya FSU

Madhumuni ya kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha ni kuzidisha kwa haraka na kwa ufupi na kuinua misemo kwa mamlaka. Walakini, hii sio wigo mzima wa matumizi ya FSU. Zinatumika sana katika kupunguza misemo, kupunguza sehemu, na kuunda polynomia. Hebu tutoe mifano.

Mfano 1. FSU

Wacha turahisishe usemi 9 y - (1 + 3 y) 2.

Wacha tutumie jumla ya fomula ya mraba na tupate:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Mfano 2. FSU

Wacha tupunguze sehemu 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Tunaona kwamba usemi katika nambari ni tofauti ya cubes, na katika denominator ni tofauti ya mraba.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Tunapunguza na kupata:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU pia husaidia kuhesabu maadili ya misemo. Jambo kuu ni kuwa na uwezo wa kutambua mahali pa kutumia formula. Hebu tuonyeshe hili kwa mfano.

Wacha tuweke mraba nambari 79. Badala ya mahesabu magumu, wacha tuandike:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Inaweza kuonekana kuwa hesabu ngumu inafanywa haraka tu kwa kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha na jedwali la kuzidisha.

Jambo lingine muhimu ni uteuzi wa mraba wa binomial. Usemi 4 x 2 + 4 x - 3 unaweza kubadilishwa kuwa 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Mabadiliko hayo hutumiwa sana katika ushirikiano.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, barua pepe, n.k.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

Ikiwa ni lazima - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na / au kwa misingi ya maombi ya umma au maombi kutoka kwa mamlaka ya serikali katika eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

Ili kurahisisha polynomials algebraic, kuna fomula zilizofupishwa za kuzidisha. Hakuna wengi wao na ni rahisi kukumbuka, lakini unahitaji kukumbuka. Nukuu inayotumika katika fomula inaweza kuchukua aina yoyote (nambari au polynomial).

Fomula ya kwanza iliyofupishwa ya kuzidisha inaitwa tofauti ya mraba. Inajumuisha kuondoa mraba wa nambari moja kutoka kwa mraba wa nambari ya pili, ambayo ni sawa na tofauti kati ya nambari hizi, pamoja na bidhaa zao.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

Wacha tuitazame kwa uwazi:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Formula ya pili ni kuhusu jumla ya mraba. Inaonekana kama jumla ya idadi mbili za mraba ni sawa na mraba wa idadi ya kwanza, bidhaa mara mbili ya idadi ya kwanza iliyozidishwa na ya pili huongezwa kwake, mraba wa wingi wa pili huongezwa kwao.

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

Shukrani kwa formula hii, inakuwa rahisi zaidi kuhesabu mraba wa idadi kubwa, bila kutumia teknolojia ya kompyuta.

Kwa hivyo kwa mfano: mraba wa 112 utakuwa sawa na
1) Kwanza, hebu tugawanye 112 katika nambari ambazo miraba yake tunaifahamu
112 = 100 + 12
2) Tunaingiza matokeo katika mabano ya mraba
112 2 = (100+12) 2
3) Kutumia formula, tunapata:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Fomula ya tatu ni tofauti ya mraba. Ambayo inasema kwamba idadi mbili zilizotolewa kutoka kwa kila mmoja katika mraba ni sawa, kwa sababu kutoka kwa wingi wa kwanza wa mraba tunatoa bidhaa mbili za kiasi cha kwanza kilichozidishwa na pili, na kuongeza kwao mraba wa wingi wa pili.

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

ambapo (a - b) 2 ni sawa (b - a) 2. Ili kuthibitisha hili, (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Njia ya nne ya kuzidisha kwa kifupi inaitwa mchemraba wa jumla. Ambayo inasikika kama: idadi mbili za muhtasari katika mchemraba ni sawa na mchemraba wa wingi 1, bidhaa ya mara tatu ya wingi 1 yenye mraba iliyozidishwa na wingi wa 2 huongezwa, kwa hizi huongezwa bidhaa tatu ya wingi 1 ikizidishwa na mraba wa 2. wingi, pamoja na wingi wa pili wa mchemraba.

(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Ya tano, kama ulivyoelewa tayari, inaitwa mchemraba tofauti. Ambayo hupata tofauti kati ya idadi, kwani kutoka kwa nukuu ya kwanza kwenye mchemraba tunatoa bidhaa tatu za nukuu ya kwanza kwenye mraba iliyozidishwa na ya pili, kwao huongezwa bidhaa tatu za nukuu ya kwanza ikizidishwa na mraba wa pili. nukuu, toa nukuu ya pili katika mchemraba.

(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Ya sita inaitwa - jumla ya cubes. Jumla ya cubes ni sawa na bidhaa za nyongeza mbili zilizozidishwa na mraba wa sehemu ya tofauti, kwani hakuna thamani mbili katikati.

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)

Njia nyingine ya kusema jumla ya cubes ni kuiita bidhaa katika mabano mawili.

Ya saba na ya mwisho inaitwa tofauti ya cubes(inaweza kuchanganyikiwa kwa urahisi na formula ya mchemraba tofauti, lakini haya ni mambo tofauti). Tofauti ya cubes ni sawa na bidhaa ya tofauti ya kiasi mbili kilichozidishwa na mraba wa sehemu ya jumla, kwani hakuna thamani mbili katikati.

a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)

Na kwa hivyo kuna fomula 7 tu za kuzidisha kwa kifupi, zinafanana kwa kila mmoja na ni rahisi kukumbuka, jambo muhimu pekee sio kuchanganyikiwa katika ishara. Pia zimeundwa ili zitumike kwa mpangilio wa nyuma, na vitabu vya kiada vina kazi nyingi kama hizo. Kuwa mwangalifu na kila kitu kitafanya kazi kwako.

Ikiwa una maswali kuhusu fomula, hakikisha kuwaandika kwenye maoni. Tutafurahi kukujibu!

Ikiwa uko kwenye likizo ya uzazi, lakini unataka kupata pesa. Fuata tu kiungo cha biashara ya mtandao na Oriflame. Kila kitu kimeandikwa na kuonyeshwa hapo kwa undani sana. Itakuwa ya kuvutia!

Katika somo lililopita tulishughulika na factorization. Tulifahamu njia mbili: kuweka kipengele cha kawaida kwenye mabano na kuweka kambi. Katika somo hili - njia ifuatayo yenye nguvu: fomula zilizofupishwa za kuzidisha. Kwa kifupi - FSU.

Fomula zilizofupishwa za kuzidisha (jumla na tofauti mraba, jumla na mchemraba tofauti, tofauti ya miraba, jumla na tofauti ya cubes) ni muhimu sana katika matawi yote ya hisabati. Zinatumika katika kurahisisha misemo, kutatua equations, kuzidisha polynomials, kupunguza sehemu, kutatua viunga, nk. Nakadhalika. Kwa kifupi, kuna kila sababu ya kukabiliana nao. Kuelewa zinatoka wapi, kwa nini zinahitajika, jinsi ya kuzikumbuka na jinsi ya kuzitumia.

Tunaelewa?)

Fomula zilizofupishwa za kuzidisha zinatoka wapi?

Usawa wa 6 na 7 haujaandikwa kwa njia inayojulikana sana. Ni aina ya kinyume. Hii ni kwa makusudi.) Usawa wowote hufanya kazi kutoka kushoto kwenda kulia na kutoka kulia kwenda kushoto. Ingizo hili linaifanya iwe wazi zaidi FSU zinatoka wapi.

Zinachukuliwa kutoka kwa kuzidisha.) Kwa mfano:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Hiyo ni, hakuna mbinu za kisayansi. Tunazidisha mabano kwa urahisi na kutoa sawa. Hivi ndivyo inavyogeuka fomula zote zilizofupishwa za kuzidisha. Kifupi kuzidisha ni kwa sababu katika fomula zenyewe hakuna kuzidisha mabano na kupunguzwa kwa zile zinazofanana. Kifupi.) Matokeo hutolewa mara moja.

FSU inahitaji kujulikana kwa moyo. Bila tatu za kwanza, huwezi kuota C; bila zingine, huwezi kuota B au A.)

Kwa nini tunahitaji fomula zilizofupishwa za kuzidisha?

Kuna sababu mbili za kujifunza, hata kukariri, kanuni hizi. Ya kwanza ni kwamba jibu lililopangwa tayari hupunguza idadi ya makosa moja kwa moja. Lakini hii sio sababu kuu. Lakini ya pili ...

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

Mojawapo ya mada za kwanza zilizosomwa katika kozi ya aljebra ni fomula zilizofupishwa za kuzidisha. Katika daraja la 7, hutumiwa katika hali rahisi, ambapo unahitaji kutambua moja ya fomula katika usemi na sababu ya polynomial au, kinyume chake, haraka mraba au mchemraba jumla au tofauti. Katika siku zijazo, FSU inatumika kutatua haraka usawa na milinganyo na hata kuhesabu baadhi ya maneno ya nambari bila kikokotoo.

Je! Orodha ya fomula inaonekanaje?

Kuna fomula 7 za kimsingi zinazokuruhusu kuzidisha haraka polynomia kwenye mabano.

Wakati mwingine orodha hii pia inajumuisha upanuzi wa digrii ya nne, ambayo hufuata kutoka kwa vitambulisho vilivyowasilishwa na ina fomu:

a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Usawa wote una jozi (jumla - tofauti), isipokuwa tofauti ya mraba. Fomula ya jumla ya miraba haijatolewa.

Usawa uliobaki ni rahisi kukumbuka:

Ikumbukwe kwamba FSU hufanya kazi kwa hali yoyote na kwa maadili yoyote a Na b: hizi zinaweza kuwa nambari za kiholela au maneno kamili.

Katika hali ambayo ghafla huwezi kukumbuka ni ishara gani iliyo mbele ya neno fulani katika fomula, unaweza kufungua mabano na kupata matokeo sawa na baada ya kutumia formula. Kwa mfano, ikiwa shida ilitokea wakati wa kutumia mchemraba tofauti wa FSU, unahitaji kuandika usemi wa asili na fanya kuzidisha moja baada ya nyingine:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a -b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Matokeo yake, baada ya kuleta maneno yote yanayofanana, polynomial sawa na katika meza ilipatikana. Udanganyifu sawa unaweza kufanywa na FSU zingine zote.

Utumiaji wa FSU kutatua milinganyo

Kwa mfano, unahitaji kutatua equation iliyo na polynomial ya shahada 3:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Mtaala wa shule haujumuishi mbinu za jumla za kutatua milinganyo ya ujazo, na kazi kama hizo mara nyingi hutatuliwa kwa kutumia njia rahisi (kwa mfano, factorization). Ikiwa tutagundua kuwa upande wa kushoto wa kitambulisho unafanana na mchemraba wa jumla, basi equation inaweza kuandikwa kwa fomu rahisi zaidi:

(x + 1)³ = 0.

Mzizi wa equation kama hiyo huhesabiwa kwa mdomo: x = -1.

Ukosefu wa usawa hutatuliwa kwa njia sawa. Kwa mfano, unaweza kutatua usawa x³ - 6x² + 9x > 0.

Kwanza kabisa, unahitaji kuzingatia usemi. Kwanza unahitaji bracket x. Baada ya hayo, kumbuka kuwa usemi kwenye mabano unaweza kubadilishwa kuwa mraba wa tofauti.

Kisha unahitaji kupata pointi ambazo usemi huchukua maadili ya sifuri na uweke alama kwenye mstari wa nambari. Katika hali fulani, hizi zitakuwa 0 na 3. Kisha, kwa kutumia njia ya muda, tambua ni muda gani x utafanana na hali ya kutofautiana.

FSU zinaweza kuwa muhimu wakati wa kufanya baadhi ya mahesabu bila msaada wa calculator:

703² - 203² = (703 + 203) (703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Zaidi ya hayo, kwa kuweka misemo, unaweza kupunguza sehemu kwa urahisi na kurahisisha misemo mbalimbali ya aljebra.

Mifano ya matatizo kwa darasa la 7-8

Kwa kumalizia, tutachambua na kutatua kazi mbili za utumiaji wa fomula zilizofupishwa za kuzidisha katika aljebra.

Kazi ya 1. Rahisisha usemi:

(m + 3)² + (3m + 1) (3m - 1) - 2m (5m + 3).

Suluhisho. Hali ya kazi inahitaji kurahisisha usemi, i.e. kufungua mabano, kufanya shughuli za kuzidisha na kuzidisha, na pia kuleta maneno yote yanayofanana. Wacha tugawanye usemi huo katika sehemu tatu (kulingana na idadi ya maneno) na tufungue mabano moja baada ya nyingine, kwa kutumia FSU inapowezekana.

(m + 3)² = m² + 6m + 9(jumla ya mraba);
(3m + 1) (3m - 1) = 9m² - 1(tofauti ya mraba);
Katika muhula wa mwisho unahitaji kuzidisha: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Wacha tubadilishe matokeo yaliyopatikana kwa usemi asilia:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

Kwa kuzingatia ishara, tutafungua mabano na kuwasilisha maneno sawa:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

Tatizo la 2. Tatua mlingano ulio na k isiyojulikana kwa nguvu ya 5:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Suluhisho. Katika kesi hii, ni muhimu kutumia FSU na njia ya kikundi. Inahitajika kuhamisha maneno ya mwisho na ya mwisho kwa upande wa kulia wa kitambulisho.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Sababu ya kawaida inatokana na pande za kulia na za kushoto (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Kila kitu huhamishiwa upande wa kushoto wa equation ili 0 ibaki kulia:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Tena ni muhimu kuchukua sababu ya kawaida:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Kutoka kwa sababu ya kwanza iliyopatikana tunaweza kupata k. Kulingana na fomula fupi ya kuzidisha, sababu ya pili itakuwa sawa na (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Kutumia tofauti ya formula ya mraba:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Kwa kuwa bidhaa ni sawa na 0 ikiwa angalau moja ya sababu zake ni sifuri, kupata mizizi yote ya equation sio ngumu:

k = 0;
k - 1 = 0; k = 1;
k + 1 = 0; k = -1;
(k + 2)² = 0; k = -2.

Kulingana na mifano ya kielelezo, unaweza kuelewa jinsi ya kukumbuka fomula, tofauti zao, na pia kutatua matatizo kadhaa ya vitendo kwa kutumia FSU. Kazi ni rahisi na haipaswi kuwa na ugumu katika kuzikamilisha.