Somo la ziada - arcsine

Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Arxine. Jedwali la Arcsine. Mfumo y=arcsin(x)"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, maoni, mapendekezo! Nyenzo zote zinachunguzwa na programu ya antivirus.

Miongozo na simulators katika duka la mtandaoni "Integral" kwa daraja la 10 kutoka 1C
Mazingira ya programu "1C: Mjenzi wa hisabati 6.1"
Tunatatua matatizo katika jiometri. Kazi zinazoingiliana za kujenga katika nafasi

Tutajifunza nini:
1. Arcsine ni nini?
2. Uteuzi wa arcsine.
3. Historia kidogo.
4. Ufafanuzi.

6. Mifano.

arcsine ni nini?

Guys, tayari tumejifunza jinsi ya kutatua equations kwa cosine, sasa hebu tujifunze jinsi ya kutatua equations sawa za sine. Zingatia dhambi(x)= √3/2. Ili kutatua mlingano huu, unahitaji kujenga mstari wa moja kwa moja y= √3/2 na uone ni katika pointi gani inaingilia mduara wa nambari. Inaweza kuonekana kuwa mstari unaingilia mduara kwa pointi mbili F na G. Pointi hizi zitakuwa suluhisho la equation yetu. Badilisha jina F kama x1 na G kama x2. Tayari tumepata suluhisho la mlingano huu na tukapata: x1= π/3 + 2πk,
na x2= 2π/3 + 2πk.

Kutatua equation hii ni rahisi sana, lakini jinsi ya kutatua, kwa mfano, equation
dhambi(x)=5/6. Ni wazi, equation hii pia itakuwa na mizizi miwili, lakini ni maadili gani yatalingana na suluhisho kwenye mduara wa nambari? Hebu tuangalie kwa makini dhambi yetu(x)=5/6 equation.
Suluhisho la equation yetu itakuwa pointi mbili: F= x1 + 2πk na G= x2++2πk,
ambapo x1 ni urefu wa arc AF, x2 ni urefu wa arc AG.
Kumbuka: x2= π - x1, kwa sababu AF= AC - FC, lakini FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Lakini dots hizi ni nini?

Wanakabiliwa na hali kama hiyo, wanahisabati walikuja na ishara mpya - arcsin (x). Inasoma kama arcsine.

Kisha suluhisho la equation yetu litaandikwa kama ifuatavyo: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

Na suluhisho la jumla: x= arcsin(5/6) + 2πk na x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Arcsine ni pembe (urefu wa arc AF, AG) sine, ambayo ni sawa na 5/6.

Historia kidogo ya arcsine

Historia ya asili ya ishara yetu ni sawa na ile ya arccos. Kwa mara ya kwanza, ishara ya arcsin inaonekana katika kazi za mwanahisabati Scherfer na mwanasayansi maarufu wa Kifaransa J.L. Lagrange. Hapo awali, dhana ya arcsine ilizingatiwa na D. Bernuli, ingawa aliiandika na alama zingine.

Alama hizi zilikubaliwa kwa ujumla tu mwishoni mwa karne ya 18. Kiambishi awali "arc" kinatokana na Kilatini "arcus" (upinde, arc). Hii inaendana kabisa na maana ya dhana: arcsin x ni pembe (au unaweza kusema arc), sine ambayo ni sawa na x.

Ufafanuzi wa arcsine

Ikiwa |а|≤ 1, basi arcsin(a) ni nambari kama hiyo kutoka kwa muda [- π/2; π/2], ambayo sine ni a.

Ikiwa |a|≤ 1, basi equation sin(x)= a ina suluhisho: x= arcsin(a) + 2πk na
x= π - arcsin(a) + 2πk

Hebu tuandike upya:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Jamani, angalieni kwa makini masuluhisho yetu mawili. Unafikiria nini: zinaweza kuandikwa kwa fomula ya jumla? Kumbuka kwamba ikiwa kuna ishara ya kujumlisha kabla ya arcsine, basi π inazidishwa na nambari 2πk, na ikiwa ishara ni minus, basi kizidishi ni 2k+1 isiyo ya kawaida.
Kwa kuzingatia hili, tunaandika fomula ya suluhu ya jumla ya equation sin(x)=a:

Kuna visa vitatu ambavyo mtu anapendelea kuandika suluhisho kwa njia rahisi:

dhambi(x)=0, kisha x= πk,

sin(x)=1, kisha x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, kisha x= -π/2 + 2πk.

Kwa yoyote -1 ≤ a ≤ 1, usawa ufuatao unashikilia: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Wacha tuandike jedwali la maadili ya cosine kinyume chake na tupate jedwali la arcsine.

Mifano

1. Kokotoa: arcsin(√3/2).
Suluhisho: Acha arcsin(√3/2)= x, kisha dhambi(x)= √3/2. Kwa ufafanuzi: - π/2 ≤x≤ π/2. Wacha tuangalie maadili ya sine kwenye jedwali: x= π/3, kwa sababu dhambi(π/3)= √3/2 na –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Jibu: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Hesabu: arcsin(-1/2).
Suluhisho: Acha arcsin(-1/2)= x, kisha sin(x)= -1/2. Kwa ufafanuzi: - π/2 ≤x≤ π/2. Wacha tuangalie maadili ya sine kwenye jedwali: x= -π/6, kwa sababu sin(-π/6)= -1/2 na -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Jibu: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Hesabu: arcsin (0).
Suluhisho: Acha arcsin(0)= x, kisha sin(x)= 0. Kwa ufafanuzi: - π/2 ≤x≤ π/2. Wacha tuangalie maadili ya sine kwenye jedwali: inamaanisha x = 0, kwa sababu dhambi(0)= 0 na - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Jibu: arcsin(0)=0.

4. Tatua mlingano: dhambi(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk na x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Hebu tuangalie thamani katika jedwali: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Jibu: x= -π/4 + 2πk na x= 5π/4 + 2πk.

5. Tatua mlingano: sin(x) = 0.
Suluhisho: Wacha tutumie ufafanuzi, basi suluhisho litaandikwa kwa fomu:
x= arcsin(0) + 2πk na x= π - arcsin(0) + 2πk. Wacha tuangalie thamani kwenye jedwali: arcsin(0)= 0.
Jibu: x= 2πk na x= π + 2πk

6. Tatua mlingano: dhambi(x) = 3/5.
Suluhisho: Wacha tutumie ufafanuzi, basi suluhisho litaandikwa kwa fomu:
x= arcsin(3/5) + 2πk na x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Jibu: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Tatua usawa wa dhambi(x) Suluhisho: Sinifu ni kiratibu cha ncha ya duara ya nambari. Kwa hivyo: tunahitaji kupata alama kama hizo, kuratibu ambayo ni chini ya 0.7. Wacha tuchore mstari ulionyooka y=0.7. Inaingilia mduara wa nambari kwa pointi mbili. Kutokuwa na usawa y Kisha suluhisho la ukosefu wa usawa litakuwa: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Shida kwenye arcsine kwa suluhisho la kujitegemea

Arcsine ni nini, arccosine? Arc tangent ni nini, arc tangent?

Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")

Kwa dhana arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent idadi ya wanafunzi ni waangalifu. Yeye haelewi maneno haya na, kwa hiyo, haamini familia hii tukufu.) Lakini bure. Hizi ni dhana rahisi sana. Ambayo, kwa njia, hufanya maisha iwe rahisi zaidi kwa mtu mwenye ujuzi wakati wa kutatua equations trigonometric!

Je, umechanganyikiwa kuhusu urahisi? Kwa bure.) Hapa na sasa utasadikishwa juu ya hili.

Kwa kweli, kwa kuelewa, itakuwa nzuri kujua nini sine, cosine, tangent na cotangent ni. Ndio, maadili ya meza zao kwa pembe zingine ... Angalau kwa maneno ya jumla. Kisha hakutakuwa na matatizo hapa pia.

Kwa hivyo, tunashangaa, lakini kumbuka: arcsine, arccosine, arctangent na arctangent ni baadhi tu ya pembe. Hakuna zaidi, si chini. Kuna pembe, sema 30 °. Na kuna pembe arcsin0.4. Au arctg(-1.3). Kuna kila aina ya pembe.) Unaweza tu kuandika pembe kwa njia tofauti. Unaweza kuandika pembe kwa digrii au radians. Au unaweza - kupitia sine, cosine, tangent na cotangent ...

Usemi huo unamaanisha nini

arcsin 0.4?

Hii ni pembe ambayo sine ni 0.4! Ndiyo ndiyo. Hii ndio maana ya arcsine. Ninarudia haswa: arcsin 0.4 ni pembe ambayo sine ni 0.4.

Na ndivyo hivyo.

Ili kuweka wazo hili rahisi kichwani mwangu kwa muda mrefu, nitatoa hata muhtasari wa neno hili mbaya - arcsine:

arc dhambi 0,4
kona, ambaye sine sawa na 0.4

Kama ilivyoandikwa, ndivyo inavyosikika.) Karibu. Console arc maana yake arc(neno upinde kujua?), kwa sababu watu wa zamani walitumia arcs badala ya pembe, lakini hii haibadilishi kiini cha jambo hilo. Kumbuka utunzi huu wa kimsingi wa neno la hisabati! Zaidi ya hayo, kwa arc cosine, arc tangent na arc tangent, decoding hutofautiana tu kwa jina la kazi.

Arccos 0.8 ni nini?
Hii ni pembe ambayo kosini yake ni 0.8.

arctan(-1,3) ni nini?
Hii ni pembe ambayo tangent yake ni -1.3.

Arcctg 12 ni nini?
Hii ni pembe ambayo cotangent yake ni 12.

Usambuaji kama huo wa kimsingi huruhusu, kwa njia, kuzuia makosa makubwa.) Kwa mfano, usemi arccos1,8 unaonekana kuwa thabiti kabisa. Wacha tuanze kusimbua: arccos1,8 ni pembe ambayo kosini ni sawa na 1.8... Hop-hop!? 1.8! Cosine haiwezi kuwa kubwa kuliko moja!

Haki. Usemi arccos1,8 hauna maana. Na kuandika usemi kama huu katika jibu fulani kutafurahisha sana mthibitishaji.)

Cha msingi, kama unavyoona.) Kila pembe ina sine na kosine yake ya kibinafsi. Na karibu kila mtu ana tangent yao wenyewe na cotangent. Kwa hiyo, kujua kazi ya trigonometric, unaweza kuandika angle yenyewe. Kwa hili, arcsines, arccosines, arctangents na arccotangents ni lengo. Zaidi ya hayo, nitaita familia hii yote kuwa duni - matao. kuandika kidogo.)

Makini! Maneno ya msingi na Fahamu kufafanua matao hukuruhusu kutatua kwa utulivu na kwa ujasiri kazi anuwai. Na katika isiyo ya kawaida kazi pekee anazohifadhi.

Inawezekana kubadili kutoka kwa matao hadi digrii za kawaida au radians?- Ninasikia swali la tahadhari.)

Kwa nini isiwe hivyo!? Kwa urahisi. Unaweza kwenda huko na kurudi. Aidha, wakati mwingine ni muhimu kufanya hivyo. Arches ni jambo rahisi, lakini bila wao ni utulivu kwa namna fulani, sawa?)

Kwa mfano: arcsin 0.5 ni nini?

Wacha tuangalie usimbuaji: arcsin 0.5 ni pembe ambayo sine ni 0.5. Sasa washa kichwa chako (au Google)) na ukumbuke ni pembe gani iliyo na sine ya 0.5? Sine ni 0.5 y angle ya digrii 30. Hiyo ndiyo yote iko kwake: arcsin 0.5 ni pembe ya 30 °. Unaweza kuandika kwa usalama:

arcsin 0.5 = 30 °

Au, kwa uthabiti zaidi, kwa suala la radians:

Hiyo ndiyo yote, unaweza kusahau kuhusu arcsine na kufanya kazi na digrii za kawaida au radians.

Ikiwa ulitambua arcsine ni nini, arccosine ... ni nini arctangent, arccotangent ... Basi unaweza kushughulika kwa urahisi, kwa mfano, mnyama kama huyo.)

Mtu asiyejua atarudi nyuma kwa hofu, ndio ...) Na mwenye ujuzi kumbuka usimbuaji: arcsine ni pembe ambayo sine ni ... Naam, na kadhalika. Ikiwa mtu mwenye ujuzi pia anajua meza ya sines ... Jedwali la cosines. Jedwali la tangents na cotangents, basi hakuna matatizo wakati wote!

Inatosha kuzingatia kwamba:

Nitafafanua, i.e. Tafsiri formula kwa maneno: pembe ambayo tanjiti yake ni 1 (arctg1) ni pembe ya 45°. Au, ambayo ni sawa, Pi/4. Vile vile:

Na hiyo ndiyo yote ... Tunabadilisha matao yote na maadili katika radians, kila kitu kimepunguzwa, inabaki kuhesabu ni kiasi gani 1 + 1 kitakuwa. Itakuwa 2.) Ambayo ni jibu sahihi.

Hivi ndivyo unavyoweza (na unapaswa) kuhama kutoka arcsines, arccosines, arctangents na arctangents hadi digrii za kawaida na radians. Hii hurahisisha sana mifano ya kutisha!

Mara nyingi, katika mifano hiyo, ndani ya matao ni hasi maadili. Kama, arctg(-1.3), au, kwa mfano, arccos(-0.8)... Hilo si tatizo. Hapa kuna fomula rahisi za kutoka hasi hadi chanya:

Unahitaji, sema, kuamua thamani ya usemi:

Unaweza kutatua hili kwa kutumia mduara wa trigonometric, lakini hutaki kuchora. Naam, sawa. Kwenda kutoka hasi maadili ndani ya arc cosine kwa chanya kulingana na formula ya pili:

Ndani ya arccosine upande wa kulia tayari chanya maana. Nini

inabidi ujue tu. Inabaki kuchukua nafasi ya radians badala ya arc cosine na kuhesabu jibu:

Ni hayo tu.

Vikwazo vya arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent.

Je, kuna tatizo na mifano 7 - 9? Kweli, ndio, kuna ujanja fulani hapo.)

Mifano hizi zote, kutoka 1 hadi 9, zimepangwa kwa uangalifu kwenye rafu katika Sehemu ya 555. Nini, jinsi gani na kwa nini. Pamoja na mitego yote ya siri na hila. Pamoja na njia za kurahisisha suluhisho. Kwa njia, sehemu hii ina habari nyingi muhimu na vidokezo vya vitendo juu ya trigonometry kwa ujumla. Na si tu katika trigonometry. Inasaidia sana.

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Kujifunza - kwa riba!)

unaweza kufahamiana na vitendaji na derivatives.

Nakala hii inajadili maswala ya kupata maadili ya arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent ya nambari fulani. Kuanza, dhana za arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent huletwa. Tunazingatia maadili yao kuu, kulingana na meza, ikiwa ni pamoja na Bradis, kutafuta kazi hizi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Thamani za arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent

Inahitajika kuelewa dhana za "maadili ya arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent".

Ufafanuzi wa arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent ya nambari itakusaidia kuelewa hesabu ya kazi zilizotolewa. Thamani ya kazi za trigonometric za pembe ni sawa na nambari a, basi inachukuliwa moja kwa moja thamani ya pembe hii. Ikiwa a ni nambari, basi hii ndiyo thamani ya chaguo la kukokotoa.

Kwa ufahamu wazi, hebu tuangalie mfano.

Ikiwa tuna arc cosine ya pembe sawa na π 3, basi thamani ya cosine kutoka hapa ni 1 2 kulingana na jedwali la cosines. Pembe hii iko katika safu kutoka sifuri hadi pi, ambayo inamaanisha kuwa thamani ya arc cosine 1 2 itakuwa π kwa 3. Usemi kama huo wa trigonometric huandikwa kama r cos (1 2) = π 3 .

Pembe inaweza kuwa digrii au radiani. Thamani ya pembe π 3 ni sawa na pembe ya digrii 60 (kina katika mada kubadilisha digrii kuwa radiani na kinyume chake) Mfano huu na arc cosine 1 2 ina thamani ya digrii 60. Nukuu kama hiyo ya trigonometric ina fomu r c cos 1 2 = 60 °

Maadili ya kimsingi ya arcsin, arccos, arctg na arctg

Shukrani kwa meza ya sines, kosine, tangents na cotangents, tunayo maadili halisi ya pembe kwa 0, ± 30, ± 45, ± 60, ± 90, ± 120, ± 135, ± 150, ± 180 digrii. Jedwali ni rahisi kabisa na kutoka kwake unaweza kupata maadili kadhaa ya kazi za arc, ambazo huitwa maadili ya msingi ya arc sine, arc cosine, arc tangent na arc tangent.

Jedwali la sines za pembe kuu hutoa matokeo yafuatayo ya maadili ya pembe:

dhambi (- π 2) \u003d - 1, dhambi (- π 3) \u003d - 3 2, dhambi (- π 4) \u003d - 2 2, dhambi (- π 6) \u003d - 1 2, dhambi 0 \ u003d 0, dhambi π 6 \u003d 1 2, dhambi π 4 \u003d 2 2, dhambi π 3 \u003d 3 2, dhambi π 2 \u003d 1

Kwa kuzingatia, mtu anaweza kuhesabu kwa urahisi arcsine ya nambari ya maadili yote ya kawaida, kuanzia - 1 na kuishia na 1, pia maadili kutoka - π 2 hadi + π 2 radians, kufuatia thamani yake ya msingi ya ufafanuzi. Hii ndio maadili kuu ya arcsine.

Kwa matumizi rahisi ya maadili ya arcsine, tutaiingiza kwenye meza. Baada ya muda, utakuwa na kujifunza maadili haya, kwa kuwa katika mazoezi mara nyingi unapaswa kurejea kwao. Chini ni jedwali la arcsine yenye pembe za radian na digrii.

Ili kupata maadili ya msingi ya arccosine, lazima urejelee jedwali la cosines za pembe kuu. Kisha tuna:

cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = - 1 2 , cos 3 π 4 = - 2 2 , cos 5 π 6 = - 3 2 , cos π = - 1

Kufuatia kutoka kwa jedwali, tunapata maadili ya arc cosine:

a r c cos (- 1) = π, arccos (- 3 2) = 5 π 6, arcocos (- 2 2) = 3 π 4, arccos - 1 2 = 2 π 3, arccos 0 = π 2, arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0

Jedwali la arc cosine.

Kwa njia hiyo hiyo, kwa kuzingatia ufafanuzi na meza za kawaida, maadili ya arc tangent na arc tangent hupatikana, ambayo yanaonyeshwa kwenye jedwali la arc tangents na arc tangents hapa chini.

dhambi , a r c cos , a r c t g na a r c c t g

Kwa thamani halisi ya dhambi r c, r c cos, r c t g na r c c t g ya nambari a, unahitaji kujua thamani ya pembe. Hii ilitajwa katika aya iliyotangulia. Hata hivyo, hatujui thamani kamili ya chaguo za kukokotoa. Ikiwa ni muhimu kupata takriban thamani ya nambari ya kazi za arc, tumia t jedwali la sines, cosines, tangents na cotangents ya Bradys.

Jedwali kama hilo hukuruhusu kufanya mahesabu sahihi, kwani maadili hutolewa na sehemu nne za decimal. Shukrani kwa hili, nambari zinatoka kwa usahihi hadi dakika. Thamani za rc sin , rc cos , rc t g na rc c t g ya nambari hasi na chanya hupunguzwa hadi kupata fomula rc sin , r c cos , r c t g na r c c t g ya nambari tofauti za fomu rc sin (- rc α) = a , a r c cos (- α) = π - a r c cos α , a r c t g (- α) = - a r c t g α , a r c c t g (- α) = π - a r c c t g α .

Fikiria suluhisho la kupata maadili a rc sin , a rc cos , r c t g na r c c t g kwa kutumia jedwali la Bradis.

Ikiwa tunahitaji kupata thamani ya arcsine 0, 2857, tunatafuta thamani kwa kupata jedwali la sines. Tunaona kwamba nambari hii inalingana na thamani ya dhambi ya pembe digrii 16 na dakika 36. Hii ina maana kwamba arcsine ya nambari 0, 2857 ni angle inayohitajika ya digrii 16 na dakika 36. Fikiria takwimu hapa chini.

Upande wa kulia wa digrii kuna safu wima zinazoitwa marekebisho. Na arcsine inayotaka ya 0.2863, marekebisho sawa ya 0.0006 hutumiwa, kwani nambari ya karibu itakuwa 0.2857. Kwa hivyo, tunapata sine ya digrii 16 dakika 38 na dakika 2, shukrani kwa marekebisho. Hebu tuchunguze mchoro unaoonyesha jedwali la Bradys.

Kuna hali wakati nambari inayotaka haipo kwenye jedwali na hata na marekebisho haiwezi kupatikana, basi maadili mawili ya karibu zaidi ya sines hupatikana. Ikiwa nambari inayotakiwa ni 0.2861573, basi nambari 0.2860 na 0.2863 ni maadili yake ya karibu. Nambari hizi zinalingana na maadili ya sine ya digrii 16 dakika 37 na digrii 16 na dakika 38. Kisha thamani ya takriban ya nambari hii inaweza kuamua hadi dakika ya karibu.

Kwa hivyo, maadili a rc sin , a rc cos , a r c t g na a r c c t g yanapatikana.

Ili kupata arcsine kupitia arccosine inayojulikana ya nambari fulani, unahitaji kutumia fomula za trigonometric r c sin α + a r c cos α \u003d π 2, r c t g α + a r c c t g α \u003d π 2 (unahitaji kuangalia mada ya jumla ya fomulasarccosine na arcsine, jumla ya arctangent na arctangent).

Na inayojulikana r c sin α \u003d - π 12, ni muhimu kupata thamani r c cos α, basi ni muhimu kuhesabu arc cosine kwa kutumia formula:

a r c cos α = π 2 − a r c dhambi α = π 2 - (− π 12) = 7 π 12 .

Ikiwa unahitaji kupata thamani ya arc tangent au arc cotangent ya nambari kwa kutumia arc sine inayojulikana au arc cosine, unahitaji kufanya mahesabu ya muda mrefu, kwa kuwa hakuna fomula za kawaida. Hebu tuangalie mfano.

Ikiwa arccosine ya nambari inatolewa na sawa na π 10, na meza ya tangents itasaidia kuhesabu arctangent ya nambari hii. Pembe π 10 radians ni digrii 18, kisha kutoka kwa meza ya cosines tunaona kwamba cosine ya digrii 18 ina thamani ya 0, 9511, baada ya hapo tunaangalia meza ya Bradis.

Tunapotafuta thamani ya tangent ya arc 0, 9511, tunaamua kuwa thamani ya pembe ni digrii 43 na dakika 34. Hebu tuangalie jedwali hapa chini.

Kwa kweli, meza ya Bradis husaidia katika kutafuta thamani ya angle inayohitajika na, kutokana na thamani ya pembe, inakuwezesha kuamua idadi ya digrii.

Ukiona kosa katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubofye Ctrl+Enter

Arcsine Tafsiri kutoka Kilatini inamaanisha arc na sine. Hiki ndicho kitendakazi cha nyuma.

Kwa maneno mengine:

Mfano wa ufafanuzi:
Wacha tupate arcsin 1/2.

Suluhisho .
Usemi arcsin 1/2 unaonyesha kuwa sine ya pembe t ni 1/2 (sin t = 1/2).

hatua 1/2 iko kwenye mhimili katika, inalingana na hatua π/6 kwenye mduara wa nambari.
Kwa hivyo arcsin 1/2 = π/6.

Kumbuka:

ikiwa dhambi π/6 = 1/2, basi arcsin 1/2 = π/6.

Hiyo ni, katika kesi ya kwanza, tunapata thamani ya sine kwa hatua kwenye mduara wa nambari, na katika kesi ya pili, kinyume chake, tunapata uhakika kwenye mzunguko wa nambari kwa thamani ya sine. Harakati katika mwelekeo kinyume. Hii ni arcsine.

Mifumo.

(2)

√2
Mfano 1 : Kokotoa arcsin (- --).
2

Suluhisho .

Wakati wa kusuluhisha mfano, tunafuata jedwali hapo juu mfano wetu.

√2
a = - --.
2

√2
Kisha dhambi t = – –, wakati t imejumuishwa katika muda [–π/2; π/2]
2

π
Kwa hivyo t = – -- (imejumuishwa katika sehemu [–π/2; π/2])
4

√2π
Jibu: arcsin (- --) = - -
2 4

Tunazingatia umakini wako: sine ya nambari –π/4 ni -√2/2, na arcsine ya -√2/2 ni –π/4. Reverse harakati. Sine ya nambari ni nukta kwenye mhimili wa kuratibu, na arcsine ni nukta kwenye mduara wa nambari.

√3
Mfano 2: Kokotoa arcsin --
2

Suluhisho .

√3
Acha arcsin -- = t.
2

√3
Kisha sint = --.
2

Pointi t iko katika sehemu [–π/2; π/2]. Tunahesabu thamani ya t.

√3
Nambari -- inalingana na thamani ya dhambi π/3, wakati π/3 iko katika sehemu [–π/2; π/2].
2

Matokeo:

√3
arcsin --= π/3.
2

Makala hii inahusu kupata maadili ya arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent nambari iliyopewa. Kwanza, tutafafanua kile kinachoitwa thamani ya arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent. Ifuatayo, tunapata maadili kuu ya kazi hizi za arc, baada ya hapo tutajua jinsi maadili ya arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent hupatikana kutoka kwa meza za sines, cosines, tangents. na Cotangents wa Bradys. Mwishowe, hebu tuzungumze juu ya kupata arcsine ya nambari wakati arccosine, arctangent au arccotangent ya nambari hii inajulikana, nk.

Urambazaji wa ukurasa.

Thamani za arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent

Kwanza, unahitaji kujua ni nini thamani ya arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent».

Majedwali ya sines na cosines, pamoja na tangents na cotangents ya Bradys, hukuruhusu kupata thamani ya arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent ya nambari chanya kwa digrii kwa usahihi wa dakika moja. Inafaa kutaja hapa kwamba kupata maadili ya arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent ya nambari hasi inaweza kupunguzwa ili kupata maadili ya arcfunctions inayolingana ya nambari chanya kwa kurejelea fomula arcsin, arccos, arctg na. arcctg ya nambari tofauti za fomu arcsin(−a)=−arcsin a , arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a , na arcctg(−a)=π−arcctg a .

Wacha tushughulike na kutafuta maadili ya arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent kwa kutumia meza za Bradis. Tutafanya hivyo kwa mifano.

Tuseme tunahitaji kupata thamani ya arcsine 0.2857. Tunapata thamani hii katika jedwali la sines (kesi wakati thamani hii haipo kwenye meza, tutachambua hapa chini). Inalingana na sine ya digrii 16 dakika 36. Kwa hivyo, thamani inayotakiwa ya arcsine ya nambari 0.2857 ni pembe ya digrii 16 dakika 36.

Mara nyingi ni muhimu kuzingatia marekebisho kutoka kwa safu tatu zilizo upande wa kulia wa meza. Kwa mfano, ikiwa tunahitaji kupata arcsine ya 0.2863. Kulingana na jedwali la sines, thamani hii inapatikana kama 0.2857 pamoja na marekebisho ya 0.0006, ambayo ni, thamani ya 0.2863 inalingana na sine ya digrii 16 dakika 38 (digrii 16 dakika 36 pamoja na dakika 2 za marekebisho).

Ikiwa nambari ambayo arcsine inatuvutia haiko kwenye jedwali na haiwezi hata kupatikana, kwa kuzingatia marekebisho, basi kwenye jedwali unahitaji kupata maadili mawili ya sines karibu nayo, kati ya ambayo nambari hii imefungwa. Kwa mfano, tunatafuta thamani ya arcsine ya nambari 0.2861573 . Nambari hii haipo kwenye jedwali; kwa msaada wa marekebisho, nambari hii haiwezi kupatikana pia. Kisha tunapata maadili mawili ya karibu zaidi ya 0.2860 na 0.2863, kati ya ambayo nambari ya asili imefungwa, nambari hizi zinalingana na sines ya digrii 16 dakika 37 na digrii 16 dakika 38. Thamani inayotaka ya arcsine 0.2861573 iko kati yao, ambayo ni, yoyote ya maadili haya ya pembe yanaweza kuchukuliwa kama thamani ya takriban ya arcsine kwa usahihi wa dakika 1.

Maadili ya arc cosine, maadili ya arc tangent na maadili ya arc cotangent ni sawa kabisa (katika kesi hii, bila shaka, meza za cosines, tangents na cotangents hutumiwa, mtawaliwa).

Kupata thamani ya arcsin kupitia arccos, arctg, arcctg, n.k.

Kwa mfano, tuseme tunajua kwamba arcsin a=−π/12 , lakini tunahitaji kupata thamani ya arccos a . Tunahesabu thamani ya arccosine tunayohitaji: arccos a=π/2-arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

Hali hiyo inavutia zaidi wakati, kutoka kwa thamani inayojulikana ya arcsine au arccosine ya nambari a, inahitajika kupata thamani ya arctangent au arccotangent ya nambari hii a, au kinyume chake. Kwa bahati mbaya, hatujui fomula zinazofafanua uhusiano kama huo. Jinsi ya kuwa? Wacha tushughulike na hii kwa mfano.

Hebu tujue kwamba arc cosine ya nambari a ni sawa na π / 10, na tunahitaji kuhesabu thamani ya tangent ya arc ya nambari hii a. Unaweza kutatua tatizo kama ifuatavyo: pata nambari kutoka kwa thamani inayojulikana ya arc cosine, na kisha upate arc tangent ya nambari hii. Ili kufanya hivyo, kwanza tunahitaji meza ya cosines, na kisha meza ya tangents.

Pembe π / 10 radians ni pembe ya digrii 18, kulingana na jedwali la cosines tunaona kwamba cosine ya digrii 18 ni takriban sawa na 0.9511, basi nambari a katika mfano wetu ni 0.9511.

Inabakia kugeuka kwenye meza ya tangents, na kwa msaada wake kupata thamani ya tangent ya arc tunayohitaji 0.9511, ni takriban sawa na digrii 43 34 dakika.

Mada hii inaendelezwa kimantiki na nyenzo za kifungu hicho tathmini vielezi vilivyo na arcsin, arccos, arctg, na arcctg.

Bibliografia.

• Aljebra: Proc. kwa seli 9. wastani. shule / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Mh. S. A. Telyakovsky.- M.: Mwangaza, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Proc. kwa seli 10-11. wastani. shule - Toleo la 3. - M.: Mwangaza, 1993. - 351 p.: mgonjwa. - ISBN 5-09-004617-4.
• Aljebra na mwanzo wa uchambuzi: Proc. kwa seli 10-11. elimu ya jumla taasisi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn na wengine; Mh. A. N. Kolmogorova.- 14 ed.- M.: Mwangaza, 2004.- 384 p.: mgonjwa.- ISBN 5-09-013651-3.
• I. V. Boikov, L. D. Romanova. Mkusanyiko wa kazi za kuandaa mitihani, sehemu ya 1, Penza 2003.
• Bradis V.M. Majedwali ya hisabati yenye tarakimu nne: Kwa elimu ya jumla. kitabu cha kiada taasisi. - Toleo la 2. - M.: Bustard, 1999.- 96 p.: mgonjwa. ISBN 5-7107-2667-2