A következő kifejezések értékei azonosak. Identitás transzformációk
Tantárgy "Személyazonossági igazolások» 7. fokozat (KRO)
Tankönyv Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.
Az óra céljai
Nevelési:
az "azonosan egyenlő kifejezések", "identitás", "azonos átalakítások" fogalmainak megismertetése és kezdetben megszilárdítása;
az azonosságok bizonyításának módjait mérlegelni, hozzájárulni az identitásbizonyítási képességek fejlesztéséhez;
ellenőrizni, hogy a hallgatók besajátították-e a lefedett anyagot, formálják a tanultak alkalmazásának készségeit az új észlelésére.
Fejlesztés:
A tanulók kompetens matematikai beszédének fejlesztése (különleges matematikai kifejezések használatakor gazdagítsa és bonyolítsa a szókincset),
fejleszteni a gondolkodást,
Nevelés: szorgalmasságra, pontosságra, a gyakorlatok megoldásának rögzítésének helyességére nevelni.
Az óra típusa: új tananyag elsajátítása
Az órák alatt
1 . Idő szervezése.
Házi feladat ellenőrzése.
Kérdések a házi feladattal kapcsolatban.
Tájékoztatás a táblán.
Matek kellett
Nélküle lehetetlen
Tanítunk, tanítunk, barátok,
Mire emlékezünk reggel?
2 . Csináljunk egy edzést.
Összeadás eredménye. (Összeg)
Hány számot ismersz? (Tíz)
Százas szám. (Százalék)
osztás eredménye? (Magán)
A legkisebb természetes szám? (1)
Kapható-e nulla természetes számok osztásakor? (Nem)
Mi a legnagyobb negatív egész szám. (-1)
Milyen számmal nem lehet osztani? (0)
Szorzás eredménye? (Munka)
A kivonás eredménye. (Különbség)
Összeadás kommutatív tulajdonsága. (Az összeg a feltételek helyeinek átrendeződésétől nem változik)
A szorzás kommutatív tulajdonsága. (A szorzat nem változik a tényezők helyeinek permutációjától)
Új téma tanulmányozása (meghatározás jegyzetfüzetben)
Keresse meg az x=5 és y=4 kifejezések értékét
3(x+y)=3(5+4)=3*9=27
3x+3y=3*5+3*4=27
Ugyanazt az eredményt kaptuk. Az eloszlási tulajdonságból következik, hogy általában a változók bármely értékére a 3(x + y) és a 3x + 3y kifejezések értéke egyenlő.
Tekintsük most a 2x + y és 2xy kifejezéseket. x=1 és y=2 esetén egyenlő értékeket vesz fel:
Azonban megadhat x és y értékeket úgy, hogy ezeknek a kifejezéseknek az értéke nem egyenlő. Például, ha x=3, y=4, akkor
Meghatározás: Két olyan kifejezést, amelyek értéke megegyezik a változók bármely értékével, azonosnak mondjuk.
A 3(x+y) és 3x+3y kifejezések azonosak, de a 2x+y és 2xy kifejezések nem azonosak.
A 3(x + y) és 3x + 3y egyenlőség igaz x és y bármely értékére. Az ilyen egyenlőségeket identitásoknak nevezzük.
Meghatározás: Azt az egyenlőséget, amely a változók bármely értékére igaz, azonosságnak nevezzük.
A valódi számszerű egyenlőségeket is azonosságnak tekintjük. Identitásokkal már találkoztunk. Az identitások a számokkal kapcsolatos cselekvések alapvető tulajdonságait kifejező egyenlőségek (a tanulók mindegyik tulajdonságot kiejtéssel kommentálják).
a + b = b + a
ab=ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
Adjon más példákat az identitásokra!
Meghatározás: Egy kifejezés helyettesítését egy másikkal, azzal azonosan azonos transzformációnak vagy egyszerűen egy kifejezés transzformációjának nevezzük.
A változókkal rendelkező kifejezések azonos transzformációit a számokkal végzett műveletek tulajdonságai alapján hajtjuk végre.
A kifejezések identitástranszformációit széles körben használják a kifejezések értékeinek kiszámításához és más problémák megoldásához. Már el kellett végeznie néhány azonos átalakítást, például a hasonló kifejezések redukálását, a zárójelek bővítését.
5 . 691. sz., 692. sz. (a zárójelek nyitására vonatkozó szabályok kiejtésével, a negatív és pozitív számok szorzásával)
Identitások a racionális megoldás kiválasztásához:(elülső munka)
6 . Összegezve a tanulságot.
A tanár kérdéseket tesz fel, a tanulók pedig tetszés szerint válaszolnak rájuk.
Melyik két kifejezést nevezzük azonosan egyenlőnek? Adj rá példákat.
Milyen egyenlőséget nevezünk identitásnak? Adj egy példát.
Milyen azonos átalakulásokat ismer?
7. Házi feladat. Ismerje meg a definíciókat, mondjon példákat azonos kifejezésekre (legalább 5), írja le azokat egy füzetbe
Ez a cikk kezdőbetűvel szolgál identitások fogalma. Itt meghatározzuk az identitást, bemutatjuk a használt jelöléseket, és természetesen különféle példákat adunk az identitásokra.
Oldalnavigáció.
Mi az identitás?
Az anyag bemutatását logikus ezzel kezdeni identitásdefiníciók. Yu. N. Makarychev tankönyvében, az algebra 7 osztályra, az identitás meghatározása a következő:
Meghatározás.
Identitás egy egyenlőség igaz a változók bármely értékére; minden valódi számbeli egyenlőség egyben azonosság is.
A szerző ugyanakkor azonnal kiköti, hogy a jövőben ez a meghatározás pontosításra kerül. Ez a tisztázás a 8. osztályban történik, miután megismerkedtek a változók elfogadható értékeinek és az ODZ-vel. A meghatározás a következő lesz:
Meghatározás.
Identitások valódi numerikus egyenlőségek, valamint olyan egyenlőségek, amelyek a bennük szereplő változók minden megengedett értékére igazak.
Miért beszélünk tehát az identitás meghatározásakor a 7. osztályban a változók tetszőleges értékéről, a 8. osztályban pedig a DPV-ből származó változók értékeiről? A 8. osztályig kizárólag egész kifejezésekkel (különösen monomokkal és polinomokkal) történik a munka, és a bennük szereplő változók bármely értékére van értelme. Ezért a 7. osztályban azt mondjuk, hogy az azonosság olyan egyenlőség, amely a változók bármely értékére igaz. És a 8. osztályban olyan kifejezések jelennek meg, amelyek már nem a változók minden értékére, hanem csak az ODZ-ből származó értékekre értelmezhetők. Ezért az azonosságok alapján olyan egyenlőségeket kezdünk nevezni, amelyek igazak a változók összes megengedett értékére.
Az identitás tehát az egyenlőség speciális esete. Vagyis minden identitás egyenlőség. De nem minden egyenlőség azonosság, hanem csak olyan egyenlőség, amely igaz az elfogadható értékek tartományából származó változók bármely értékére.
Személyazonosság jele
Ismeretes, hogy az egyenlőségek írásánál „=” alakú egyenlőségjelet használnak, amelytől balra és jobbra néhány szám vagy kifejezés található. Ha ehhez a jelhez még egy vízszintes vonalat adunk, azt kapjuk azonosító jel"≡", vagy más néven egyenlőségjel.
Az identitás jelét általában csak akkor használjuk, ha hangsúlyozni kell, hogy nemcsak egyenlőség, hanem éppen identitás áll előttünk. Más esetekben az identitások reprezentációi formailag nem különböznek az egyenlőségektől.
Példák személyazonosságra
Ideje hozni példák az identitásokra. Ebben segítségünkre lesz az első bekezdésben megadott identitásdefiníció.
A 2=2 numerikus egyenlőségek példák az azonosságokra, mivel ezek az egyenlőségek igazak, és minden igaz numerikus egyenlőség értelemszerűen azonosság. Felírhatók 2≡2 és .
A 2+3=5 és 7−1=2·3 alakú numerikus egyenlőségek is azonosságok, mivel ezek az egyenlőségek igazak. Vagyis 2+3≡5 és 7−1≡2 3 .
Térjünk át példákra olyan azonosságokra, amelyek nem csak számokat, hanem változókat is tartalmaznak jelölésükben.
Tekintsük a 3·(x+1)=3·x+3 egyenlőséget. Az x változó bármely értékére az összeadásra való szorzás eloszlási tulajdonsága miatt az írott egyenlőség igaz, ezért az eredeti egyenlőség az azonosság példája. Íme egy másik példa az identitásra: y (x-1)≡(x-1)x:x y 2:y, itt az x és y változók elfogadható értékeinek tartománya az összes pár (x, y) , ahol x és y tetszőleges szám, kivéve nullát.
De az x+1=x−1 és a+2 b=b+2 a egyenlőség nem azonosság, mivel a változóknak vannak olyan értékei, amelyekre ezek az egyenlőségek helytelenek lesznek. Például x=2 esetén az x+1=x−1 egyenlőség rossz 2+1=2−1 egyenlőséggé változik. Ráadásul az x+1=x−1 egyenlőség az x változó egyetlen értékére sem teljesül. Az a+2·b=b+2·a egyenlőség pedig hibás egyenlőséggé változik, ha az a és b változók bármilyen eltérő értékét vesszük. Például, ha a=0 és b=1, akkor a 0+2 1=1+2 0 hibás egyenlőséghez jutunk. |x|=x egyenlőség, ahol |x| - az x változó szintén nem azonosság, mivel nem igaz x negatív értékeire.
A leghíresebb azonosságok példái a sin 2 α+cos 2 α=1 és a log a b =b .
A cikk zárásaként szeretném megjegyezni, hogy a matematika tanulmányozása során folyamatosan találkozunk identitásokkal. A számművelet tulajdonságrekordok identitások, például a+b=b+a, 1 a=a, 0 a=0 és a+(−a)=0. Emellett az identitások is
A számok összeadásának és szorzásának alapvető tulajdonságai.
Összeadás kommutatív tulajdonsága: a tagok átrendezésekor az összeg értéke nem változik. Bármely a és b számra igaz az egyenlőség
Az összeadás asszociatív tulajdonsága: ha két szám összegéhez egy harmadik számot szeretne hozzáadni, akkor az első számhoz hozzáadhatja a második és a harmadik összegét. Bármely a, b és c számra igaz az egyenlőség
A szorzás kommutatív tulajdonsága: a tényezők permutációja nem változtatja meg a szorzat értékét. Bármely a, b és c számra igaz az egyenlőség
A szorzás asszociatív tulajdonsága: ahhoz, hogy két szám szorzatát megszorozzuk egy harmadik számmal, az első számot megszorozhatjuk a második és a harmadik szorzatával.
Bármely a, b és c számra igaz az egyenlőség
Eloszlási tulajdonság: Ha egy számot összeggel szeretne megszorozni, megszorozhatja ezt a számot minden taggal, és összeadhatja az eredményeket. Bármely a, b és c számra igaz az egyenlőség
Az összeadás kommutatív és asszociatív tulajdonságaiból következik, hogy tetszőleges összegben tetszőlegesen átrendezheti a kifejezéseket, és tetszőleges módon csoportokba vonhatja.
1. példa Számítsuk ki az 1,23+13,5+4,27 összeget.
Ehhez célszerű az első kifejezést a harmadikkal kombinálni. Kapunk:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
A szorzás kommutatív és asszociatív tulajdonságaiból következik: bármely szorzatban a tényezőket tetszőlegesen átrendezheti és tetszőlegesen csoportokba vonhatja.
2. példa Határozzuk meg a szorzat értékét 1,8 0,25 64 0,5.
Ha az első tényezőt a negyedikkel, a másodikat a harmadikkal kombináljuk, akkor a következőket kapjuk:
1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.
Az elosztási tulajdonság akkor is érvényes, ha a számot megszorozzuk három vagy több tag összegével.
Például bármely a, b, c és d számra igaz az egyenlőség
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
Tudjuk, hogy a kivonás helyettesíthető összeadással, ha a minuendhez hozzáadjuk a kivonóval ellentétes számot:
Ez lehetővé teszi, hogy az a-b alakú numerikus kifejezést az a és -b számok összegének tekintsük, az a + b-c-d formájú numerikus kifejezést pedig az a, b, -c, -d stb. számok összegének tekintsük. a cselekvések figyelembe vett tulajdonságai olyan összegekre is érvényesek.
3. példa Keressük meg a 3,27-6,5-2,5+1,73 kifejezés értékét.
Ez a kifejezés a 3,27, -6,5, -2,5 és 1,73 számok összege. Az összeadási tulajdonságokat alkalmazva a következőt kapjuk: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.
4. példa Számítsuk ki a 36·() szorzatot.
A szorzó felfogható a számok és - összegeként. A szorzás eloszlási tulajdonságát felhasználva a következőket kapjuk:
36()=36-36=9-10=-1.
Identitások
Meghatározás. Két olyan kifejezést, amelyeknek a megfelelő értéke megegyezik a változó bármely értékével, azonosnak nevezzük.
Meghatározás. Azt az egyenlőséget, amely a változók bármely értékére igaz, azonosságnak nevezzük.
Keressük meg a 3(x+y) és 3x+3y kifejezések értékét x=5, y=4 esetén:
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.
Ugyanazt az eredményt kaptuk. Az eloszlási tulajdonságból következik, hogy általában a változók bármely értékére a 3(x+y) és 3x+3y kifejezések megfelelő értékei egyenlőek.
Tekintsük most a 2x+y és 2xy kifejezéseket. Az x=1, y=2 esetén egyenlő értékeket vesznek fel:
Azonban megadhat x és y értékeket úgy, hogy ezeknek a kifejezéseknek az értéke nem egyenlő. Például, ha x=3, y=4, akkor
A 3(x+y) és 3x+3y kifejezések azonosak, de a 2x+y és 2xy kifejezések nem azonosak.
A 3(x+y)=x+3y egyenlőség, amely x és y bármely értékére igaz, azonosság.
A valódi számszerű egyenlőségeket is azonosságnak tekintjük.
Tehát az azonosságok egyenlőségek, amelyek kifejezik a számokkal kapcsolatos műveletek fő tulajdonságait:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Az identitásokra további példák is hozhatók:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Kifejezések identitástranszformációi
Egy kifejezés helyettesítését egy másikkal, azzal azonosan azonos transzformációnak nevezzük, vagy egyszerűen egy kifejezés transzformációjának.
A változókkal rendelkező kifejezések azonos transzformációit a számokkal végzett műveletek tulajdonságai alapján hajtjuk végre.
Az xy-xz kifejezés értékének megtalálásához az x, y, z értékek mellett három lépést kell végrehajtania. Például x=2,3, y=0,8, z=0,2 esetén a következőket kapjuk:
xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.
Ez az eredmény csak két lépésben érhető el, az x(y-z) kifejezéssel, amely azonos az xy-xz kifejezéssel:
xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.
A számításokat leegyszerűsítettük azáltal, hogy az xy-xz kifejezést az azonosan egyenlő x(y-z) kifejezéssel helyettesítettük.
A kifejezések identitástranszformációit széles körben használják a kifejezések értékeinek kiszámításához és más problémák megoldásához. Néhány azonos átalakítás már megtörtént, például a hasonló kifejezések redukálása, zárójelek nyitása. Emlékezzünk vissza az átalakítások végrehajtásának szabályaira:
hasonló kifejezések létrehozásához össze kell adni az együtthatóikat, és meg kell szorozni az eredményt a közös betűrésszel;
ha a zárójelek előtt plusz jel van, akkor a zárójelek elhagyhatók, megtartva az egyes kifejezések zárójelbe tett jelét;
ha a zárójelek előtt mínusz jel van, akkor a zárójelek elhagyhatók a zárójelbe tett kifejezések előjelének megváltoztatásával.
1. példa Adjunk hozzá hasonló kifejezéseket az 5x+2x-3x összegben.
A hasonló kifejezések csökkentésére a szabályt használjuk:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Ez a transzformáció a szorzás elosztó tulajdonságán alapul.
2. példa Bontsuk ki a zárójeleket a 2a+(b-3c) kifejezésben.
A pluszjel előtti zárójelek nyitására vonatkozó szabály alkalmazása:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Az elvégzett transzformáció az összeadás asszociatív tulajdonságán alapul.
3. példa Bontsuk ki a zárójeleket az a-(4b-c) kifejezésben.
Használjuk a szabályt a mínuszjel előtti zárójelek bővítésére:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Az elvégzett transzformáció a szorzás elosztó tulajdonságán és az összeadás asszociatív tulajdonságán alapul. Mutassuk meg. Jelenítsük meg a -(4b-c) második tagot ebben a kifejezésben szorzatként (-1) (4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
A műveletek ezen tulajdonságait alkalmazva a következőket kapjuk:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
Miután foglalkoztunk az identitás fogalmával, áttérhetünk az azonosan egyenlő kifejezések vizsgálatára. Ennek a cikknek az a célja, hogy elmagyarázza, mi ez, és példákkal megmutassa, mely kifejezések lesznek azonosak más kifejezésekkel.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Azonos egyenlő kifejezések: Definíció
Az azonosan egyenlő kifejezések fogalmát általában magával az identitás fogalmával együtt tanulmányozzák egy iskolai algebratanfolyam keretében. Íme egy alapdefiníció egy tankönyvből:
1. definíció
egyformán egyenlő egymás között lesznek olyan kifejezések, amelyek értéke megegyezik az összetételükben szereplő változók bármely lehetséges értékével.
Ezenkívül az ilyen numerikus kifejezéseket azonosnak tekintjük, amelyek ugyanazoknak az értékeknek felelnek meg.
Ez egy meglehetősen tág definíció, amely minden egész kifejezésre igaz, amelynek jelentése nem változik, ha a változók értéke megváltozik. Később azonban szükségessé válik ennek a definíciónak a pontosítása, mivel az egész számokon kívül vannak más típusú kifejezések is, amelyeknek bizonyos változókkal nem lesz értelme. Ebből adódik a változók bizonyos értékeinek elfogadhatóságának és elfogadhatatlanságának fogalma, valamint a megengedett értékek tartományának meghatározásának szükségessége. Fogalmazzunk meg egy finomított definíciót.
2. definíció
Azonos egyenlő kifejezések azok a kifejezések, amelyek értéke megegyezik egymással az összetételükben szereplő változók bármely érvényes értékére vonatkozóan. A numerikus kifejezések azonosak lesznek egymással, feltéve, hogy az értékek megegyeznek.
A "változók bármely megengedett értékére" kifejezés a változók összes olyan értékét jelzi, amelyek esetében mindkét kifejezésnek értelme van. Ezt az álláspontot később kifejtjük, amikor példákat adunk az azonos kifejezésekre.
A következő definíciót is megadhatja:
3. definíció
Az azonos egyenlő kifejezések olyan kifejezések, amelyek azonos azonosságban találhatók a bal és a jobb oldalon.
Példák olyan kifejezésekre, amelyek azonosak egymással
A fent megadott definíciók felhasználásával nézzünk meg néhány példát az ilyen kifejezésekre.
Kezdjük a numerikus kifejezésekkel.
1. példa
Így a 2 + 4 és a 4 + 2 azonosak lesznek egymással, mivel az eredményük egyenlő lesz (6 és 6).
2. példa
Ugyanígy a 3 és 30 kifejezések is azonosak: 10 , (2 2) 3 és 2 6 (az utolsó kifejezés értékének kiszámításához ismerni kell a fok tulajdonságait).
3. példa
De a 4 - 2 és 9 - 1 kifejezések nem lesznek egyenlőek, mivel értékeik eltérőek.
Térjünk át a szó szerinti kifejezésekre. A + b és b + a azonosak lesznek, és ez nem függ a változók értékétől (a kifejezések egyenlőségét ebben az esetben az összeadás kommutatív tulajdonsága határozza meg).
4. példa
Például, ha a 4 és b 5, az eredmények továbbra is ugyanazok lesznek.
Egy másik példa az azonos betűkkel rendelkező kifejezésekre: 0 · x · y · z és 0. Bármi legyen is a változók értéke ebben az esetben, ha megszorozzuk 0-val, akkor 0-t adnak. Az egyenlőtlen kifejezések 6 x és 8 x, mert nem lesznek egyenlők egyetlen x esetén sem.
Abban az esetben, ha a változók megengedett értéktartománya egybeesik például a + 6 és 6 + a vagy a b 0 és 0, vagy x 4 és x kifejezésekben, és a kifejezések értékei önmagukban egyenlőek lesznek bármely változóra, akkor az ilyen kifejezéseket azonosnak tekintjük. Tehát a + 8 = 8 + a bármely a értékére, és a · b · 0 = 0 is, mivel bármely szám 0-val való szorzata 0-t eredményez. Az x 4 és x kifejezések azonosak lesznek a [0, + ∞) intervallum bármely x-ére.
De az egyik kifejezésben szereplő érvényes érték hatóköre eltérhet egy másik kifejezés hatókörétől.
5. példa
Vegyünk például két kifejezést: x − 1 és x - 1 · x x . Az elsőnél az elfogadható x értékek tartománya a valós számok teljes halmaza, a másodiknál pedig az összes valós szám halmaza, kivéve a nullát, mert akkor 0-t kapunk a nevezőben, és ilyen felosztás nincs meghatározva. Ennek a két kifejezésnek van egy közös tartománya, amelyet két különálló tartomány metszéspontja alkot. Megállapítható, hogy az x - 1 · x x és az x - 1 kifejezések értelmet kapnak a változók bármely valós értékére, kivéve a 0-t.
A tört alapvető tulajdonsága arra is enged következtetni, hogy x-1 x x és x-1 minden olyan x esetén egyenlő lesz, amely nem 0. Ez azt jelenti, hogy ezek a kifejezések a megengedett értékek általános tartományában azonosak lesznek egymással, és bármely valós x esetében lehetetlen azonos egyenlőségről beszélni.
Ha egy kifejezést egy másik kifejezéssel helyettesítünk, amely azonos vele, akkor ezt a folyamatot identitástranszformációnak nevezzük. Ez a koncepció nagyon fontos, erről egy külön cikkben fogunk beszélni.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
