Локальный максимум. Определение точек локальных экстремумов функции многих переменных

ЛОКАЛЬНЫЙ МАКСИМУМ

ЛОКАЛЬНЫЙ МАКСИМУМ

(local maximum) Значение функции, которое больше какого-либо соседнего значения ее аргумента или набора аргументов, dy/dx= 0 является необходимым условием для достижения локального максимума y=f(x); при соблюдении этого условия достаточным условием для достижения локального максимума является d2y/dx2< 0. Локальный максимум может также быть абсолютным максимумом, если не существует значения х, при котором у больше. Однако так может быть не всегда. Рассмотрим функцию у = х3–3х.dy/dx = 0, когда х2= 1; и d2y/dx2=6х. у имеет максимум при х =– 1, но это всего лишь локальный, а не абсолютный максимум, поскольку у может стать бесконечно большой величиной при придании достаточно большого положительного значения х . См. также: рисунок к статье максимум (maximum).


Экономика. Толковый словарь. - М.: "ИНФРА-М", Издательство "Весь Мир". Дж. Блэк. Общая редакция: д.э.н. Осадчая И.М. . 2000 .


Экономический словарь . 2000 .

Смотреть что такое "ЛОКАЛЬНЫЙ МАКСИМУМ" в других словарях:

    локальный максимум - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN local maximum … Справочник технического переводчика

    локальный максимум - lokalusis maksimumas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. local maximum vok. Lokalmaximum, n rus. локальный максимум, m pranc. maximum local, m … Automatikos terminų žodynas

    локальный максимум - vietinė smailė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. local maximum; local peak vok. lokales Maximum, n rus. локальный максимум, m pranc. maximum local, m; pic local, m … Fizikos terminų žodynas

    Локальный максимум, локальный минимум - (local maxi­mum, local minimum) см. Экстремум функции … Экономико-математический словарь

    - (maximum) Наивысшее значение функции, которое она принимает при любом значении ее аргументов. Максимум может быть локальным или абсолютным. Например, функция у=1–х2 имеет абсолютный максимум у=1 при х=0; не существует другого значения х, которое… … Экономический словарь

    - (local minimum) Значение функции, которое меньше какого либо соседнего значения ее аргумента или набора аргументов, dy/dx = 0 является необходимым условием для достижения локального минимума у=f(x); при соблюдении этого условия достаточным… … Экономический словарь

    Экстремум (лат. extremum крайний) в математике максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум точка экстремума… … Википедия

    Алгоритмы локального поиска группа алгоритмов, в которых поиск ведется только на основании текущего состояния, а ранее пройденные состояния не учитываются и не запоминаются. Основной целью поиска является не нахождение оптимального пути к… … Википедия

    - (global maximum) Значение функции, равное или более высокое по сравнению с ее значениями, принимаемыми при любых других значениях аргументов. Достаточное условие максимума функции от одного аргумента, состоящее в том, что ее первая производная в… … Экономический словарь

    - (англ. trend направление, тенденция) направление, тенденция развития политического процесса, явления. Имеет математическое выражение. Наиболее популярным определением тренда (trend) является определение из теории Доу. Восходящим трендом… … Политология. Словарь.

Приращения функции к приращению аргумента, который стремится к нулю. Для ее нахождения воспользуйтесь таблицей производных. Например, производная функции y = x3 будет равна y’ = x2.

Приравняйте данную производную к нулю (в данном случае x2=0).

Найдите значение переменной данного . Это будут те значения, при данная производная будет равна 0. Для этого подставьте в выражение произвольные цифры вместо x, при которых все выражение станет нулевым. Например:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Полученные значения нанесите на координатную прямую и высчитайте знак производной для каждого из полученных . На координатной прямой отмечаются точки, которые принимаются за начало отсчета. Чтобы высчитать значение на промежутках подставьте произвольные значения, подходящие по критериям. Например, для предыдущей функции до промежутка -1 можно выбрать значение -2. На от -1 до 1 можно выбрать 0, а для значений больше 1 выберите 2. Подставьте данные цифры в производную и выясните знак производной. В данном случае производная с x = -2 будет равна -0,24, т.е. отрицательно и на данном промежутке будет знак минус. Если x=0, то значение будет равно 2, а на данном промежутке ставится знак. Если x=1, то производная также будет равна -0,24 и ставится минус.

Если при прохождении через точку на координатной прямой производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, а если с плюса на минус, то это точка максимума.

Видео по теме

Полезный совет

Для нахождения производной существуют онлайн-сервисы, которые подсчитывают нужные значения и выводят результат. На таких сайтах можно найти производную до 5 порядка.

Источники:

  • Один из сервисов вычисления производных
  • точку максимума функции

Точки максимума функции наряду с точками минимума называются точками экстремума. В этих точках функция меняет характер поведения. Экстремумы определяются на ограниченных числовых интервалах и всегда являются локальными.

Инструкция

Процесс нахождения локальных экстремумов называется функции и выполняется путем анализа первой и второй производной функции. Перед началом исследования убедитесь, что заданный интервал значений аргумента принадлежит к допустимым значениям. Например, для функции F=1/x значение аргумента х=0 недопустимо. Или для функции Y=tg(x) аргумент не может иметь значение х=90°.

Убедитесь, что функция Y дифференцируема на всем заданном отрезке. Найдите первую производную Y". Очевидно, что до достижения точки локального максимума функция возрастает, а при переходе через максимум функция становится убывающей. Первая производная по своему физическому смыслу характеризует скорость изменения функции. Пока функция возрастает, скорость этого процесса является величиной положительной. При переходе через локальный максимум функция начинает убывать, и скорость процесса изменения функции становится отрицательной. Переход скорости изменения функции через ноль происходит в точке локального максимума.

Например, функция Y=-x²+x+1 на отрезке от -1 до 1 имеет непрерывную производную Y"=-2x+1. При х=1/2 производная равна нулю, причем при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-». Вторая производная функции Y"=-2. Постройте по точкам график функции Y=-x²+x+1 и проверьте, является ли точка с абсциссой х=1/2 локальным максимумом на заданном отрезке числовой оси.

Говорят, что функция имеет вовнутреннейточке
областиD локальный максимум (минимум ), если существует такая окрестностьточки
, для каждой точки
которой выполняется неравенство

Если функция имеет в точке
локальный максимум или локальный минимум, то говорят, что она имеет в этой точкелокальный экстремум (или просто экстремум ).

Теорема (необходимое условие существования экстремума ). Если дифференцируемая функциядостигает экстремума в точке
, то каждая частная производная первого порядка от функциив этой точке обращается в нуль.

Точки, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль, называются стационарными точками функции
. Координаты этих точек можно найти, решив систему изуравнений

.

Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции коротко можно сформулировать и так:

Встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или не существуют (в то время как остальные равны нулю). Такие точки называются критическими точками функции. Эти точки тоже нужно рассматривать в качестве «подозрительных» на экстремум, как и стационарные.

В случае функции двух переменных необходимое условие экстремума, а именно равенство нулю частных производных (дифференциала) в точке экстремума, имеет геометрическую интерпретацию: касательная плоскость к поверхности
в точке экстремума должна быть параллельна плоскости
.

20. Достаточные условия существования экстремума

Выполнение в некоторой точке необходимого условия существования экстремума вовсе не гарантирует наличия там экстремума. В качестве примера можно взять дифференцируемую всюду функцию
. Обе ее частные производные и сама функция обращаются в нуль в точке
. Однако в любой окрестности этой точки есть как положительные (большие
), так и отрицательные (меньшие
) значения этой функции. Следовательно, в этой точке, по определению, экстремума не наблюдается. Поэтому необходимо знать достаточные условия, при которых точка, подозрительная на экстремум, является точкой экстремума исследуемой функции.

Рассмотрим случай функции двух переменных. Предположим, что функция
определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в окрестности некоторой точки
, которая является стационарной точкой функции
, то есть удовлетворяет условиям

,
.

Введем обозначения:

Теорема (достаточные условия существования экстремума ). Пусть функция
удовлетворяет вышеприведенным условиям, а именно: дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки
и дважды дифференцируема в самой точке
. Тогда, если


В случае если
то функция
в точке
достигает

локального максимума при
и

локального минимума при
.

В общем случае, для функции
достаточным условием существования в точке
локального минимума (максимума ) являетсяположительная (отрицательная ) определённость второго дифференциала.

Иными словами, справедливо следующее утверждение.

Теорема . Если в точке
для функции

для любых не равных одновременно нулю
, то в этой точке функция имеетминимум (аналогичномаксимум , если
).

Пример 18. Найти точки локального экстремума функции

Решение . Найдем частные производные функции и приравниваем их к нулю:

Решая эту систему, находим две точки возможного экстремума:

Найдем частные производные второго порядка для данной функции:

В первой стационарной точке , следовательно, и
Поэтому для этой точки требуется дополнительное исследование. Значение функции
в этой точке равно нулю:
Далее,

при

а

при

Следовательно, в любой окрестности точки
функция
принимает значения как большие
, так и меньшие
, и, значит, в точке
функция
, по определению, не имеет локального экстремума.

Во второй стационарной точке



следовательно,Поэтому, так как
то в точке
функция имеет локальный максимум.

Для функции f(x) многих переменных точка x представляет собой вектор, f’(x) − вектор первых производных(градиент) функции f(x), f ′ ′(x) − симметричную матрицу вторых частных производных(матрицу Гессе − гессиан) функции f(x).
Для функции многих переменных условия оптимальности формулируются следующим образом.
Необходимое условие локальной оптимальности. Пусть f(x) дифференцируема в точке x * R n . Если x * − точка локального экстремума, то f’(x *) = 0.
Как и ранее, точки, являющиеся решениями системы уравнений, называются стационарными. Характер стационарной точки x * связан со знакоопределенностью матрицы Гессе f′ ′(x).
Знакоопределенность матрицы А зависит от знаков квадратичной формы Q(α)=< α A, α > при всех ненулевых α∈R n .
Здесь и далее через обозначается скалярное произведение векторов x и y. По определению,

Матрица A является положительно(неотрицательно) определенной, если Q(α)>0 (Q(α)≥0) при всех ненулевых α∈R n ; отрицательно (неположительно) определенной, если Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 для некоторых ненулевых α∈R n и Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Достаточное условие локальной оптимальности. Пусть f(x) дважды дифференцируема в точке x * R n , причем f’(x *)=0 , т.е. x * − стационарная точка. Тогда, если матрица f′′(x *) является положительно (отрицательно) определенной, то x * − точка локального минимума (максимума); если матрица f′′(x *) является неопределенной, то x * − седловая точка.
Если матрица f′′(x *) является неотрицательно (неположительно) определенной, то для определения характера стационарной точки x * требуется исследование производных более высокого порядка.
Для проверки знакоопределенности матрицы, как правило, используется критерий Сильвестра. Согласно этому критерию, симметричная матрица А является положительно определенной в том и только том случае, если все ее угловые миноры положительны. При этом угловым минором матрицы А называется определитель матрицы, построенной из элементов матрицы А, стоящих на пересечении строк и столбцов с одинаковыми (причем первыми) номерами. Чтобы проверить симметричную матрицу А на отрицательную определенность, надо проверить матрицу (−А) на положительную определенность.
Итак, алгоритм определения точек локальных экстремумов функции многих переменных заключается в следующем.
1. Находится f′(x).
2. Решается система

В результате вычисляются стационарные точки x i .
3. Находится f′′(x), полагается i=1.
4. Находится f′′(x i)
5. Вычисляются угловые миноры матрицы f′′(x i). Если не все угловые миноры ненулевые, то для определения характера стационарной точки x i требуется исследование производных более высокого порядка. При этом осуществляется переход к п.8.
В противном случае осуществляется переход к п.6.
6. Анализируются знаки угловых миноров f′′(x i). Если f′′(x i) является положительно определенной, то x i является точкой локального минимума. При этом осуществляется переход к п.8.
В противном случае осуществляется переход к п.7.
7. Вычисляются угловые миноры матрицы -f′′(x i) и анализируются их знаки.
Если -f′′(x i) − является положительно определенной, то f′′(x i) является отрицательно определенной и x i является точкой локального максимума.
В противном случае f′′(x i) является неопределенной и x i является седловой точкой.
8. Проверяется условие определения характера всех стационарных точек i=N.
Если оно выполняется, то вычисления завершаются.
Если условие не выполняется, то полагается i=i+1 и осуществляется переход к п.4.

Пример №1 . Определить точки локальных экстремумов функции f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2









Поскольку все угловые миноры ненулевые, то характер x 2 определяется с помощью f′′(x).
Поскольку матрица f′′(x 2) является положительно определенной, то x 2 является точкой локального минимума.
Ответ: функция f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 имеет в точке x = (5/3; 8/3) локальный минимум.

$E \subset \mathbb{R}^{n}$. Говорят, что $f$ имеет локальный максимум в точке $x_{0} \in E$, если существует такая окрестность $U$ точки $x_{0}$, что для всех $x \in U$ выполняется неравенство $f\left(x\right) \leqslant f\left(x_{0}\right)$.

Локальный максимум называется строгим, если окрестность $U$ можно выбрать так, чтобы для всех $x \in U$, отличных от $x_{0}$, было $f\left(x\right) < f\left(x_{0}\right)$.

Определение
Пусть $f$ – действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$. Говорят, что $f$ имеет локальный минимум в точке $x_{0} \in E$, если существует такая окрестность $U$ точки $x_{0}$, что для всех $x \in U$ выполняется неравенство $f\left(x\right) \geqslant f\left(x_{0}\right)$.

Локальный минимум называется строгим, если окрестность $U$ можно выбрать так, чтобы для всех $x \in U$, отличных от $x_{0}$, было $f\left(x\right) > f\left(x_{0}\right)$.

Локальный экстремум объединяет понятия локального минимума и локального максимума.

Теорема (необходимое условие экстремума дифференцируемой функции)
Пусть $f$ – действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$. Если в точке $x_{0} \in E$ функция $f$ имеет локальный экстремум и в этой точке,то $$\text{d}f\left(x_{0}\right)=0.$$ Равенство нулю дифференциала равносильно тому, что все равны нулю, т.е. $$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left(x_{0}\right)=0.$$

В одномерном случае это – . Обозначим $\phi \left(t\right) = f \left(x_{0}+th\right)$, где $h$ – произвольный вектор. Функция $\phi$ определена при достаточно малых по модулю значениях $t$. Кроме того, по , она дифференцируема, и ${\phi}’ \left(t\right) = \text{d}f \left(x_{0}+th\right)h$.
Пусть $f$ имеет локальный максимум в точкеx $0$. Значит, функция $\phi$ при $t = 0$ имеет локальный максимум и, по теореме Ферма, ${\phi}’ \left(0\right)=0$.
Итак, мы получили, что $df \left(x_{0}\right) = 0$, т.е. функции $f$ в точке $x_{0}$ равен нулю на любом векторе $h$.

Определение
Точки, в которых дифференциал равен нулю, т.е. такие, в которых все частные производные равны нулю, называются стационарными . Критическими точками функции $f$ называются такие точки, в которых $f$ не дифференцируема, либо ее равен нулю. Если точка стационарная, то из этого еще не следует, что в этой точке функция имеет экстремум.

Пример 1.
Пусть $f \left(x,y\right)=x^{3}+y^{3}$. Тогда $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 3 \cdot x^{2}$,$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = 3 \cdot y^{2}$, так что $\left(0,0\right)$ – стационарная точка, но в этой точке у функции нет экстремума. Действительно, $f \left(0,0\right) = 0$, но легко видеть, что в любой окрестности точки $\left(0,0\right)$ функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Пример 2.
У функции $f \left(x,y\right) = x^{2} − y^{2}$ начало координат – стационарная точка, но ясно, что экстремума в этой точке нет.

Теорема (достаточное условие экстремума).
Пусть функция $f$ дважды непрерывно-дифференцируема на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$. Пусть $x_{0} \in E$ – стационарная точка и $$\displaystyle Q_{x_{0}} \left(h\right) \equiv \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)h^{i}h^{j}.$$ Тогда

  1. если $Q_{x_{0}}$ – , то функция $f$ в точке $x_{0}$ имеет локальный экстремум, а именно, минимум, если форма положительноопределенная, и максимум, если форма отрицательноопределенная;
  2. если квадратичная форма $Q_{x_{0}}$ неопределенная, то функция $f$ в точке $x_{0}$ не имеет экстремума.

Воспользуемся разложением по формуле Тейлора (12.7 стр. 292) . Учитывая, что частные производные первого порядка в точке $x_{0}$ равны нулю, получим $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)h^{i}h^{j},$$ где $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, а $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$, то правая часть будет положительной при любом векторе $h$ достаточно малой длины.
Итак, мы пришли к тому, что в некоторой окрестности точки $x_{0}$ выполнено неравенство $f \left(x\right) >f \left(x_{0}\right)$, если только $x \neq x_{0}$ (мы положили $x=x_{0}+h$\right). Это означает, что в точке $x_{0}$ функция имеет строгий локальный минимум, и тем самым доказана первая часть нашей теоремы.
Предположим теперь, что $Q_{x_{0}}$ – неопределенная форма. Тогда найдутся векторы $h_{1}$, $h_{2}$, такие, что $Q_{x_{0}} \left(h_{1}\right)=\lambda_{1}>0$, $Q_{x_{0}} \left(h_{2}\right)= \lambda_{2}<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Тогда получим $$f \left(x_{0}+th_{1}\right)−f \left(x_{0}\right) = \frac{1}{2} \left[ t^{2} \lambda_{1} + t^{2} |h_{1}|^{2} \epsilon \left(th_{1}\right) \right] = \frac{1}{2} t^{2} \left[ \lambda_{1} + |h_{1}|^{2} \epsilon \left(th_{1}\right) \right].$$ При достаточно малых $t>0$ правая часть положительна. Это означает, что в любой окрестности точки $x_{0}$ функция $f$ принимает значения $f \left(x\right)$, большие, чем $f \left(x_{0}\right)$.
Аналогично получим, что в любой окрестности точки $x_{0}$ функция $f$ принимает значения, меньшие, чем $f \left(x_{0}\right)$. Это, вместе с предыдущим, означает, что в точке $x_{0}$ функция $f$ не имеет экстремума.

Рассмотрим частный случай этой теоремы для функции $f \left(x,y\right)$ двух переменных, определенной в некоторой окрестности точки $\left(x_{0},y_{0}\right)$ и имеющей в этой окрестности непрерывные частные производные первого и второго порядков. Предположим, что $\left(x_{0},y_{0}\right)$ – стационарная точка, и обозначим $$\displaystyle a_{11}= \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(x_{0} ,y_{0}\right), a_{12}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(x_{0}, y_{0}\right), a_{22}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(x_{0}, y_{0}\right).$$ Тогда предыдущая теорема примет следующий вид.

Теорема
Пусть $\Delta=a_{11} \cdot a_{22} − a_{12}^2$. Тогда:

  1. если $\Delta>0$, то функция $f$ имеет в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ локальный экстремум, а именно, минимум, если $a_{11}>0$, и максимум, если $a_{11}<0$;
  2. если $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Примеры решения задач

Алгоритм нахождения экстремума функции многих переменных:

  1. Находим стационарные точки;
  2. Находим дифференциал 2-ого порядка во всех стационарных точках
  3. Пользуясь достаточным условием экстремума функции многих переменных, рассматриваем дифференциал 2-ого порядка в каждой стационарной точке
  1. Исследовать функцию на экстремум $f \left(x,y\right) = x^{3} + 8 \cdot y^{3} + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
    Решение

    Найдем частные производные 1-го порядка: $$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3 \cdot x^{2} — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=24 \cdot y^{2} — 6 \cdot x.$$ Составим и решим систему: $$\displaystyle \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}= 0\\\frac{\partial f}{\partial y}= 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}3 \cdot x^{2} — 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^{2} — 6 \cdot x = 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x^{2} — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^{2} — x = 0\end{cases}$$ Из 2-го уравнения выразим $x=4 \cdot y^{2}$ — подставим в 1-ое уравнение: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^{2}\right)^{2}-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^{4} — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^{4} — y = 0$$ $$y \left(8 \cdot y^{3} -1\right)=0$$ В результате получены 2 стационарные точки:
    1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_{1} = \left(0, 0\right)$;
    2) $\displaystyle 8 \cdot y^{3} -1=0 \Rightarrow y^{3}=\frac{1}{8} \Rightarrow y = \frac{1}{2} \Rightarrow x=1, M_{2} = \left(\frac{1}{2}, 1\right)$
    Проверим выполнение достаточного условия экстремума:
    $$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6 \cdot x; \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=-6; \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=48 \cdot y$$
    1) Для точки $M_{1}= \left(0,0\right)$:
    $$\displaystyle A_{1}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(0,0\right)=0; B_{1}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(0,0\right)=-6; C_{1}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(0,0\right)=0;$$
    $A_{1} \cdot B_{1} — C_{1}^{2} = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
    2) Для точки $M_{2}$:
    $$\displaystyle A_{2}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(1,\frac{1}{2}\right)=6; B_{2}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(1,\frac{1}{2}\right)=-6; C_{2}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(1,\frac{1}{2}\right)=24;$$
    $A_{2} \cdot B_{2} — C_{2}^{2} = 108>0$, значит, в точке $M_{2}$ существует экстремум, и поскольку $A_{2}>0$, то это минимум.
    Ответ: Точка $\displaystyle M_{2} \left(1,\frac{1}{2}\right)$ является точкой минимума функции $f$.

  2. Исследовать функцию на экстремум $f=y^{2} + 2 \cdot x \cdot y — 4 \cdot x — 2 \cdot y — 3$.
    Решение

    Найдём стационарные точки: $$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2 \cdot y — 4;$$ $$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
    Составим и решим систему: $$\displaystyle \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}= 0\\\frac{\partial f}{\partial y}= 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}2 \cdot y — 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x — 2 = 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 2\\y + x = 1\end{cases} \Rightarrow x = -1$$
    $M_{0} \left(-1, 2\right)$ – стационарная точка.
    Проверим выполнение достаточного условия экстремума: $$\displaystyle A=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(-1,2\right)=0; B=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(-1,2\right)=2; C=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(-1,2\right)=2;$$
    $A \cdot B — C^{2} = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
    Ответ: экстремумы отсутствуют.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Информация

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Локальные экстремумы функций многих переменных».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0 )

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

    Задание 1 из 4

    1 .
    Количество баллов: 1

    Исследовать функцию $f$ на экстремумы: $f=e^{x+y}(x^{2}-2 \cdot y^{2})$

    Правильно

    Неправильно

  1. Задание 2 из 4

    2 .
    Количество баллов: 1

    Существует ли экстремум у функции $f = 4 + \sqrt{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

Похожие публикации