X. пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник и окръжност. тригонометрични функции на остър ъгъл. Допълнителни имоти

Нека първо разгледаме секущата AC, прекарана от външната за дадената окръжност точка A (фиг. 288). Начертайте допирателната AT от същата точка. Ще наречем отсечката между точка А и точката на пресичане, която е най-близо до нея с окръжността, външната част на секущата (отсечката AB на фиг. 288), докато отсечката AC до най-отдалечената от двете пресечни точки е просто секущата . Допирателната отсечка от А до точката на контакт също се нарича накратко допирателна. Тогава

Теорема. Произведението на секанса и неговата външна част е равно на квадрата на тангенса.

Доказателство. Нека свържем точката. Триъгълниците ACT и BT A са подобни, тъй като имат общ ъгъл при върха A, а ъглите ACT и са равни, тъй като и двата се измерват с половината от една и съща дъга TB. Следователно оттук получаваме необходимия резултат:

Тангенсът е равен на средното геометрично между секанса, прекаран от същата точка и нейната външна част.

Последица. За всеки секанс, прекаран през дадена точка А, произведението на неговата дължина и външната част е постоянно:

Помислете сега за хорди, пресичащи се във вътрешна точка. Правилно твърдение:

Ако две хорди се пресичат, тогава произведението на сегментите на едната хорда е равно на произведението на сегментите на другата (което означава сегментите, на които хордата е разделена от пресечната точка).

И така, на фиг. 289 хордите AB и CD се пресичат в точка M и имаме С други думи,

За дадена точка М произведението на отсечките, на които тя разделя всяка хорда, минаваща през нея, е константа.

За да докажем това, отбелязваме, че триъгълниците MBC и MAD са подобни: ъглите CMB и DMA са вертикални, ъглите MAD и MCB се основават на една и съща дъга. От тук намираме

Q.E.D.

Ако дадена точка M лежи на разстояние l от центъра, тогава, като начертаем диаметър през нея и я разглеждаме като една от хордите, откриваме, че произведението на сегменти от диаметъра, а следователно и от всяка друга хорда, е равно То също е равно на квадрата на минималната полухорда (перпендикулярна на определения диаметър), минаваща през M.

Теоремата за постоянството на произведението на сегменти от хорда и теоремата за постоянството на произведението на секуща от външната й част са два случая на едно и също твърдение, единствената разлика е дали секущите са изтеглени през външна или вътрешна точка на окръжността. Сега можете да посочите още една характеристика, която отличава вписаните четириъгълници:

Във всеки вписан четириъгълник граничните продукти, на които са разделени диагоналите от тяхната пресечна точка, са равни.

Необходимостта от условието е очевидна, тъй като диагоналите ще бъдат хордите на описаната окръжност. Може да се докаже, че това условие също е достатъчно.

Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия

10. Теореми за пропорционални прави

Доказателство. Необходимо е да се докажат следните три пропорции: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.

1) Триъгълниците ABD и ADC са подобни, защото

Авторско право © 2005-2013 Xenoid v2.0

Използването на материали на сайта е възможно при условие, че е посочена активна връзка

§ 11. Пропорционални отсечки в окръжност.

1. Мостовата ферма е ограничена от дъга от окръжност (фиг. 38); височина на фермата MK= ч= 3 m; радиус на дъгата AMB на участъка R = 8,5 м. Изчислете дължината AB на участъка на моста.

2. В полуцилиндрично сводесто мазе трябва да се поставят два стълба, всеки на еднакво разстояние от най-близката стена. Определете височината на стелажите, ако ширината на мазето по дъното е 4 m, а разстоянието между стелажите е 2 m.

3. 1) От точката на окръжността е прекаран перпендикуляр на диаметъра. Определете дължината му със следните дължини на отсечки с диаметър: 1) 12 cm и 3 cm; 2) 16 cm и 9 cm, 3) 2 m и 5 dm.

2) Прокарва се перпендикуляр от точката на диаметъра до пресечната точка с окръжността. Определете дължината на този перпендикуляр, ако диаметърът е 40 cm, а начертаният перпендикуляр е на 8 cm от единия край на диаметъра.

4. Диаметърът е разделен на сегменти: AC \u003d 8 dm и CB \u003d 5 m, а от точка C към него се изтегля перпендикуляр CD с дадена дължина. Посочете положението на точка D спрямо окръжността, когато CD е равно на: 1) 15 dm; 2) 2 m; 3) 23 dm.

5. DIA-полукръг; CD - перпендикуляр на диаметъра AB. Задължително:

1) определете DB, ако AD = 25 и CD =10;

2) определете AB, ако AD: DB= 4: 9 и CD=30;

3) дефинирайте AD, ако CD=3AD и радиусът е r;

4) определете AD, ако AB=50 и CD=15.

6. 1) Перпендикулярът, спуснат от точката на окръжността до радиус 34 cm, я разделя в отношение 8:9 (започвайки от центъра). Определете дължината на перпендикуляра.

2) Хордата BDC е перпендикулярна на радиуса ODA. Определете BC, ако OA = 25 cm и AD = 10 cm.

3) Ширината на пръстена, образуван от две концентрични окръжности, е 8 dm; хордата на по-голямата окръжност, допирателна към по-малката, е 4 м. Определете радиусите на окръжностите.

7. Сравнявайки отсечките, докажете, че средноаритметичното на две неравни числа е по-голямо от средното им геометрично.

8. Построете отсечка, средната пропорционална между отсечките 3 cm и 5 cm.

9. Построете отсечка, равна на: √15; √10; √6; √3.

10. ADB-диаметър; AC-акорд; CD е перпендикулярна на диаметъра. Определете AC хордата: 1) ако AB = 2 m и AD = 0,5 m; 2) ако AD = 4 cm и DB = 5 cm; 3) ако AB=20m и DB=15m.

11. АВ диаметър; AC-акорд; AD е неговата проекция върху диаметъра AB. Задължително:

1) определете AD, ако AB=18 cm и AC=12 cm;

2) определете радиуса, ако AC=12 m и AD=4 m;

3) определете DB, ако AC=24 cm и DB = 7/9 AD.

12. AB диаметър; AC-акорд; AD е неговата проекция върху диаметъра AB. Задължително:

1) определете AC, ако AB = 35 cm и AC=5AD;

2) определете AC, ако радиусът е равен на rи AC=DB.

13. Две хорди се пресичат в кръг. Отсечките на една хорда са 24 см и 14 см; една от отсечките на другата хорда е 28 см. Определете нейната втора отсечка.

14. Мостовата ферма е ограничена от дъга от окръжност (фиг. 38); дължина на моста AB = 6 м, височина A = 1,2 м. Определете радиуса на дъгата (OM = R).

15. Две отсечки AB и CD се пресичат в точка M, така че MA \u003d 7 cm, MB \u003d 21 cm,
MC = 3 см и MD = 16 см. Точки A, B, C и D лежат ли на една и съща окръжност?

16. Дължина на махалото MA = л= 1 m (фиг. 39), височината му на повдигане, когато се отклони под ъгъл α, CA = ч\u003d 10 см. Намерете разстоянието BC на точка B от MA (BC \u003d х).

17. Да се ​​преведе ширината на железопътния коловоз b\u003d 1,524 m на място AB (фиг. 40) се прави закръгляване; докато се оказа, ; че BC= а= 42,4 м. Определете радиуса на кривината OA = R.

18. Хордата AMB се завърта близо до точка M, така че отсечката MA се е увеличила 2 1/2 пъти. Как се промени сегментът MB?

19. 1) От двете пресичащи се хорди едната е разделена на части от 48 cm и 3 cm, а другата на две. Определете дължината на втория акорд.

2) От двете пресичащи се хорди едната беше разделена на части от 12 m и 18 m, а другата в съотношение 3:8. Определете дължината на втория акорд.

20. От двете пресичащи се тетиви първата е 32 см, а отсечките на другата тетива са
12 см и 16 см. Определете отсечките на първия хорд.

21. Секансът ABC е завъртян близо до външната точка A, така че външният му сегмент AB е намалял три пъти. Как се промени дължината на секущата?

22. Нека ADB и AEC са две прави, пресичащи окръжността: първата е в точки D и B, втората е в точки E и C. Задължително:

1) определете AE, ако AD = 5 cm, DB = 15 cm и AC = 25 cm;

2) определете BD, ако AB = 24 m, AC = 16 m и EC = 10 m;

3) определете AB и AC, ако AB+AC=50 m, a AD: AE = 3:7.

23. Радиусът на окръжността е 7 см. От точка, отдалечена на 9 см от центъра, се начертава секанс, така че да се раздели наполовина от окръжността. Определете дължината на този секанс.

24. MAB и MCD са две секущи към една окръжност. Задължително:

1) определете CD, ако MV = 1 m, MD = 15 dm и CD = MA;

2) определете MD, ако MA =18 cm, AB=12 cm и MC:CD = 5:7;

3) определете AB, ако AB=MC, MA=20 и CD=11.

25. Две хорди са удължени до взаимно пресичане. Определете дължината на получените удължения, ако хордите са равни аи b, а техните разширения са свързани като t:p.

26. От една точка към окръжността са прекарани секуща и допирателна. Определете дължината на допирателната, ако външната и вътрешната отсечка на секущата се изразяват съответно със следните числа: 1) 4 и 5; 2) 2,25 и 1,75; 3) 1 и 2.

27. Тангентата е 20 см, а най-големият секанс, прекаран от същата точка, е 50 см. Определете радиуса на окръжността.

28. Секансът е 2 1/4 пъти по-голям от външния си сегмент. Колко пъти е по-голямо от допирателната, прекарана от същата точка?

29. Продължава се общата хорда на две пресичащи се окръжности и към тях се провеждат допирателни от точка, взета на продължението. Докажете, че са равни.

30. От едната страна на ъгъл A се полагат сегменти един след друг: AB \u003d 6 cm и BC \u003d 8 cm; а от другата страна е отложена отсечка AD = 10 см. През точки B, C и D е начертана окръжност. Разберете дали правата AD докосва тази окръжност и ако не, тогава дали точката D ще бъде първата (броейки от A) или втората пресечна точка.

31. Нека са: AB-тангенс и ACD-секанс на една и съща окръжност. Задължително:

1) определете CD, ако AB = 2 cm и AD = 4 cm;

2) определете AD, ако AC:CD = 4:5 и AB=12 cm;

3) определете AB, ако AB = CD и AC = а.

32. 1) Колко далеч можете да видите от балон (фиг. 41), който се е издигнал на височина 4 km над земята (радиусът на земята е = 6370 km)?

2) Връх Елбрус (в Кавказ) се издига на 5600 метра над морското равнище. Колко далеч можете да видите от върха на тази планина?

3) M - наблюдателен пункт с височина A метра над терена (фиг. 42); земен радиус R, МТ= де най-голямото видимо разстояние. Докажи това д= √2R ч+ ч 2

Коментирайте.защото ч 2 поради неговата малка площ в сравнение с 2R чпочти не влияе на резултата, тогава можете да използвате приблизителната формула д≈ √2R ч .

33. 1) Тангенса и секанс, излизащи от една точка, са съответно равни на 20 cm и 40 cm; секансът е отдалечен от центъра на 8 см. Определете радиуса на окръжността.

2) Определете разстоянието от центъра до точката, от която излизат допирателната и секанса, ако те са съответно 4 см и 8 см, а секансът се отдалечава от центъра с
12 см

34. 1) От обща точка към окръжността са прекарани допирателна и секуща. Определете дължината на допирателната, ако тя е с 5 cm по-дълга от външната отсечка на секущата и със същото количество по-малка от вътрешната отсечка.

2) От една точка към окръжността са прекарани секуща и допирателна. Секансът е а, а вътрешният му сегмент е по-дълъг от външния с дължината на допирателната. Определете допирателната.

36. От една точка са прекарани допирателна и секуща към една окръжност. Допирателната е по-голяма от вътрешната и външната отсечка на секущата съответно с 2 см и 4 см. Определете дължината на секущата.

36. От една точка към окръжността са прекарани допирателна и секуща. Определете дължината им, ако допирателната е с 20 cm по-малка от вътрешната отсечка на секанса и с 8 cm повече от външната отсечка.

37. 1) От една точка към окръжността са прекарани секанс и допирателна. Сборът им е 30 см, а вътрешната отсечка на секанса е с 2 см по-малка от тангентата. Определете секанс и тангенс.

2) От една точка към окръжността са прекарани секуща и допирателна. Сборът им е 15 cm, а външната отсечка на секущата е с 2 cm по-малка от тангентата. Определете секанс и тангенс.

38. Отсечката AB е удължена с разстоянието BC. Върху AB и AC, както и върху диаметри, са построени окръжности. Перпендикуляр BD е начертан на отсечката AC в точка B, докато се пресече с по-голяма окръжност. От точка C се провежда допирателна SC към по-малката окръжност. Докажете, че CD = CK.

39. Към дадена окръжност са прекарани две успоредни допирателни и трета допирателна, които ги пресичат. Радиусът е средната пропорционална стойност между сегментите на третата допирателна. Докажи.

40. Дадени са две успоредни прави на разстояние 15 dm една от друга; Между тях е дадена точка M на разстояние 3 dm от една от тях. През точка М е начертана окръжност, допирателна към двата успоредника. Определете разстоянието между проекциите на центъра и точка M върху един от тези паралели.

41. В кръг с радиус rВписан е равнобедрен триъгълник, в който сборът от височината и основата е равен на диаметъра на окръжността. Определете височината.

42. Определете радиуса на окръжност, описана около равнобедрен триъгълник: 1) ако основата е 16 cm и височината е 4 cm; 2) ако страната е 12 dm, а височината е 9 dm; 3) ако страната е 15 m, а основата е 18 m.

43. В равнобедрен триъгълник основата е 48 дм, а страната е 30 дм. Определете радиусите на описаните и вписаните окръжности и разстоянието между центровете им.

44. Радиусът е r, хордата на тази дъга е равна на а. Определете хордата на удвоената дъга.

45. Радиусът на окръжността е 8 dm; хорда AB е 12 dm. През точка A е прекарана допирателна, а от точка B е хорда BC, успоредна на допирателната. Определете разстоянието между допирателната и хордата BC.

46. ​​​​Точка А се отстранява от правата MN на разстояние с. даден радиус rОписана е окръжност, която минава през точка A и се допира до права MN. Определете разстоянието между получената точка на контакт и дадената точка A.

Имот 1 . Ако хордите AB и CD на окръжността се пресичат в точка S, тогава AS BS = CS DS, т.е. DS/BS = AS/CS.

Доказателство. Нека първо докажем, че триъгълниците ASD и CSB са подобни.

Вписаните ъгли DCB и DAB са равни, тъй като се основават на една и съща дъга.

Ъглите ASD и BSC са равни като вертикални.

От равенството на посочените ъгли следва, че триъгълниците ASD и CSB са подобни. От сходството на триъгълниците следва пропорцията

DS/BS = AS/CS, или AS BS = CS DS,

Q.E.D.

Свойство 2. Ако от точка P към окръжността се прекарат две секущи, пресичащи окръжността съответно в точки A, B и C, D, то АР/СР = DP/BP.

Доказателство. Нека A и C са точките на пресичане на секущите с окръжността, най-близка до точката P. Триъгълниците PAD и RSV са подобни. Те имат общ ъгъл във върха P, а ъглите B и D са равни като вписани, основани на една и съща дъга. От подобието на триъгълниците следва пропорцията АР/СР = DP/BP, която трябваше да се докаже.

Свойство на ъглополовяща на ъгъл на триъгълник

Ъглополовящата на триъгълник разделя противоположната страна на сегменти, пропорционални на другите две страни.

Доказателство.Нека CD е ъглополовяща на триъгълник ABC. Ако триъгълникът ABC е равнобедрен с основа AB, то определеното свойство на ъглополовящата е очевидно, тъй като в този случай ъглополовящата е и медиана. Разгледайте общия случай, когато AC не е равно на BC. Нека спуснем перпендикуляри AF и BE от върховете A и B към правата CD. Правоъгълните триъгълници ACF и ALL са подобни, тъй като имат равни остри ъгли във върха C.

От сходството на триъгълниците следва пропорционалността на страните: AC / BC \u003d AF / BE. Правоъгълните триъгълници ADF и BDE също са подобни. Ъглите им при върха D са равни като вертикални. От подобието следва: AF/BE = AD/BD. Сравнявайки това равенство с предишното, получаваме: AC / BC \u003d AD / BD или AC / AD \u003d BC / BD, тоест AD и BD са пропорционални на страните AC и BC.