Местен максимум. Определяне на локални екстремуми на функция на няколко променливи

ЛОКАЛЕН МАКСИМУМ

(местен максимум)Стойността на функция, която е по-голяма от всяка съседна стойност на нейния аргумент или набор от аргументи, dy/dx= 0 е необходимо условие за постигане на локален максимум y=f(x);Ако това условие е изпълнено, достатъчно условие за постигане на локален максимум е d2y/dx2 0. Локалният максимум може да бъде и абсолютен максимум, ако не съществува стойност Х,при което приПовече ▼. Това обаче не винаги може да е така. Помислете за функцията y = x3–3x.dy/dx = 0 когато x2= 1; И d2y/dx2=6x. приима максимум при x =– 1, но това е само локален, а не абсолютен максимум, тъй като приможе да стане безкрайно голямо, когато се даде достатъчно голяма положителна стойност х. Вижте също: цифра за артикул максимум (максимум).

Икономика. Речник. - М.: "ИНФРА-М", Издателство "Вес Мир". Дж. Блек. Главен редактор: д.ик.н Осадчая И.М.. 2000 .

Икономически речник. 2000 .

Вижте какво е "МЕСТЕН МАКСИМУМ" в други речници:

локален максимум- - [A.S. Goldberg. Англо-руски енергиен речник. 2006] Енергийни теми като цяло EN локален максимум ... Ръководство за технически преводач

локален максимум- lokalusis maximumas statusas T sritis automatika atitikmenys: англ. локален максимален vok. Локалмаксимум, рус. локален максимум, m pranc. максимално местно, m … Automatikos terminų žodynas

локален максимум- vietinė smailė statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. локален максимум; местен връх вок. локален максимум, n рус. локален максимум, m pranc. максимално местно, m; pic local, m … Fizikos terminų žodynas

Локален максимум, локален минимум- (локален максимум, локален минимум) вижте екстремума на функцията... Икономически и математически речник

- (максимум) Най-високата стойност на функцията, която приема за всяка стойност на своите аргументи. Максимумът може да бъде локален или абсолютен. Например функцията y=1–x2 има абсолютен максимум y=1 при x=0; няма друга стойност на x, която... ... Икономически речник

- (локален минимум) Стойността на функция, която е по-малка от всяка съседна стойност на нейния аргумент или набор от аргументи, dy/dx = 0 е необходимо условие за постигане на локален минимум y=f(x); при условие, че това условие е достатъчно... ... Икономически речник

Екстремум (лат. extremum extreme) в математиката е максималната или минималната стойност на функция върху дадено множество. Точката, в която се достига екстремума, се нарича точка на екстремума. Съответно, ако се достигне минималната екстремна точка... ... Wikipedia

Алгоритмите за локално търсене са група от алгоритми, при които търсенето се извършва само въз основа на текущото състояние, а предишните състояния не се вземат предвид и не се запомнят. Основната цел на търсенето не е да се намери оптималният път до... ... Wikipedia

- (глобален максимум) Функционална стойност, която е равна или по-висока от нейните стойности, приети за всякакви други стойности на аргументи. Достатъчно условие за максимума на функция от един аргумент, състоящо се в това, че нейната първа производна в... ... Икономически речник

- (английска тенденция посока, тенденция) посока, тенденция на развитие на политическия процес, явление. Има математически израз. Най-популярната дефиниция за тенденция е тази от теорията на Dow. Възходящ тренд...... Политология. Речник.

Функцията се увеличава до нарастването на аргумента, което клони към нула. За да го намерите, използвайте таблицата с производни. Например, производната на функцията y = x3 ще бъде равна на y’ = x2.

Приравнете тази производна на нула (in в такъв случай x2=0).

Намерете стойността на дадената променлива. Това ще бъдат стойностите, при които дадената производна ще бъде равна на 0. За да направите това, заместете произволни числа в израза вместо x, при което целият израз ще стане нула. Например:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Нанесете получените стойности върху координатната линия и изчислете знака на производната за всяка от получените стойности. На координатната права се отбелязват точки, които се приемат за начало. За да изчислите стойността в интервалите, заменете произволни стойности, които отговарят на критериите. Например, за предишната функция преди интервала -1, можете да изберете стойност -2. За стойности от -1 до 1 можете да изберете 0, а за стойности, по-големи от 1, изберете 2. Заменете тези числа в производната и разберете знака на производната. В този случай производната с x = -2 ще бъде равна на -0,24, т.е. отрицателен и ще има знак минус на този интервал. Ако x=0, тогава стойността ще бъде равна на 2 и върху този интервал се поставя знак. Ако x=1, тогава производната също ще бъде равна на -0,24 и се поставя минус.

Ако при преминаване през точка на координатната линия производната промени знака си от минус на плюс, тогава това е минимална точка, а ако от плюс на минус, това е максимална точка.

Видео по темата

Полезен съвет

За да намерите производната, има онлайн услуги, които изчисляват необходимите стойности и показват резултата. На такива сайтове можете да намерите производни до 5-ти ред.

източници:

Една от услугите за изчисляване на деривати
максимална точка на функцията

Максималните точки на функция, заедно с минималните точки, се наричат точки на екстремум. В тези точки функцията променя поведението си. Екстремумите се определят на ограничени числови интервали и винаги са локални.

Инструкции

Процесът на намиране на локални екстремуми се нарича функция и се извършва чрез анализ на първата и втората производни на функцията. Преди да започнете проучването, уверете се, че зададеният диапазон от стойности на аргументи принадлежи към валидните стойности. Например за функцията F=1/x аргументът x=0 не е валиден. Или за функцията Y=tg(x) аргументът не може да има стойност x=90°.

Уверете се, че функцията Y е диференцируема в целия даден интервал. Намерете първата производна на Y." Очевидно, преди да достигне локалната максимална точка, функцията нараства, а когато премине през максимума, функцията става намаляваща. Първата производна, във физическото си значение, характеризира скоростта на промяна на функцията Докато функцията нараства, скоростта на този процес е положителна стойност.По време на прехода през локален максимум функцията започва да намалява и скоростта на промяна на функцията става отрицателна.Преходът на скоростта на промяна на функция през нула възниква в точката на локалния максимум.

Например функцията Y=-x²+x+1 на отсечката от -1 до 1 има непрекъсната производна Y"=-2x+1. При x=1/2 производната е равна на нула, а при преминаване през тази точка производната променя знака от " +" на "-". Втората производна на функцията Y" = -2. Начертайте графика точка по точка на функцията Y=-x²+x+1 и проверете дали точката с абсцисата x=1/2 е локален максимум на даден сегмент от числовата ос.

Казва се, че функцията има във вътрешната точка
регион д локален максимум(минимум), ако има такава близост на точката
, за всяка точка
която поддържа неравенството

Ако една функция има в точка
локален максимум или локален минимум, тогава казваме, че има в тази точка локален екстремум(или просто крайност).

Теорема (необходимо условие за съществуването на екстремум). Ако диференцируемата функция достигне екстремум в точката
, след това всяка частична производна от първи ред на функцията в този момент става нула.

Наричат се точките, в които всички частни производни от първи ред изчезват стационарни точки на функцията
. Координатите на тези точки могат да бъдат намерени чрез решаване на системата от уравнения

Необходимото условие за съществуването на екстремум в случай на диференцируема функция може да се формулира накратко по следния начин:

Има случаи, когато в отделни точки някои частични производни имат безкрайни стойности или не съществуват (докато останалите са равни на нула). Такива точки се наричат критични точки на функцията.Тези точки също трябва да се считат за „подозрителни“ за екстремум, точно както стационарните.

В случай на функция на две променливи необходимото условие за екстремума, а именно равенството на нула на частните производни (диференциала) в точката на екстремума, има геометрична интерпретация: допирателна равнина към повърхността
в крайната точка трябва да е успоредна на равнината
.

20. Достатъчни условия за съществуване на екстремум

Изпълнението на необходимото условие за съществуване на екстремум в даден момент изобщо не гарантира наличието на екстремум там. Като пример можем да вземем диференцируемата навсякъде функция
. И двете нейни частни производни, и самата функция изчезват в точката
. Въпреки това във всеки квартал на тази точка има и двете положителни (големи
) и отрицателни (по-малки
) стойности на тази функция. Следователно в този момент по дефиниция не се наблюдава екстремум. Следователно е необходимо да се знаят достатъчни условия, при които точка, за която се подозира, че е екстремум, е екстремна точка на изследваната функция.

Нека разгледаме случая на функция на две променливи. Да приемем, че функцията
дефиниран, непрекъснат и има непрекъснати частни производни до втори ред включително в околността на някаква точка
, която е стационарната точка на функцията
, тоест отговаря на условията

,
.

Нека въведем следната нотация:

Теорема (достатъчни условия за съществуване на екстремум). Нека функцията
удовлетворява горните условия, а именно: тя е диференцируема в някаква околност на неподвижна точка
и е два пъти диференцируема в самата точка
. Тогава ако

Ако
след това функцията
в точката
достига

локален максимумпри
И

местен минимумпри
.

Като цяло за функцията
достатъчно условие за съществуване в точката
местенминимум(максимум) е положителен(отрицателен) сигурност на втория диференциал.

С други думи, следното твърдение е вярно.

Теорема . Ако в точката
за функция

за всички, които не са равни на нула едновременно
, тогава в този момент функцията има минимум(подобен на максимум, Ако
).

Пример 18.Намерете локални точки на екстремум на функция

Решение. Нека намерим частните производни на функцията и ги приравним към нула:

Решавайки тази система, намираме две възможни екстремни точки:

Нека намерим частичните производни от втори ред за тази функция:

Следователно в първата неподвижна точка и
Следователно на този етап са необходими допълнителни изследвания. Функционална стойност
в този момент е нула:
Освен това,

при

А

при

Следователно във всеки квартал на точката
функция
приема стойности като големи
, и по-малки
, и, следователно, в точката
функция
, по дефиниция, няма локален екстремум.

Във втората стационарна точка

следователно, следователно, тъй като
след това в точката
функцията има локален максимум.

За функция f(x) от много променливи точка x е вектор, f'(x) е вектор на първи производни (градиент) на функция f(x), f ′ ′(x) е симетрична матрица на втора частни производни (Hessian matrix - Hessian) функции f(x).
За функция на много променливи условията за оптималност се формулират по следния начин.
Необходимо условие за локална оптималност. Нека f(x) е диференцируема в точката x * R n . Ако x * е локална точка на екстремум, тогава f’(x *) = 0.
Както и преди, точките, които са решения на система от уравнения, се наричат стационарни. Естеството на стационарната точка x * е свързано с определения знак на матрицата на Хесиан f′ ′(x).
Знакът на матрица A зависи от знаците на квадратната форма Q(α)=< α A, α >за всички ненулеви α∈R n .
Тук и по-нататък означава скаларното произведение на векторите x и y. A-приори,

Матрица A е положително (неотрицателна) определена, ако Q(α)>0 (Q(α)≥0) за всички ненулеви α∈R n ; отрицателна (неположителна) определена, ако Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 за някои ненулеви α∈R n и Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Достатъчно условие за локална оптималност. Нека f(x) е два пъти диференцируема в точката x * R n и f’(x *)=0, т.е. x * − неподвижна точка. Тогава, ако матрицата f′′(x *) е положително (отрицателно) определена, тогава x * е локална минимална (максимална) точка; ако матрицата f′′(x *) е недефинирана, тогава x * е седлова точка.
Ако матрицата f′′(x *) е неотрицателно (неположително) определена, тогава за определяне на природата на стационарната точка x * е необходимо изследване на производни от по-висок ред.
За проверка на знака на матрицата, като правило, се използва критерият на Силвестър. Съгласно този критерий една симетрична матрица A е положително определена тогава и само тогава, когато всички нейни ъглови минори са положителни. В този случай ъгловият минор на матрица A е детерминанта на матрица, конструирана от елементи на матрица A, разположени в пресечната точка на редове и колони с еднакви (и първи) числа. За да проверите симетричната матрица A за отрицателна определеност, трябва да проверите матрицата (−A) за положителна определеност.
И така, алгоритъмът за определяне на локални екстремни точки на функция на много променливи е както следва.
1. Намерете f′(x).
2. Системата се решава

В резултат на това се изчисляват стационарни точки x i.
3. Намерете f′′(x), задайте i=1.
4. Намерете f′′(x i)
5. Изчисляват се ъгловите минори на матрицата f′′(x i). Ако не всички ъглови минори са различни от нула, тогава определянето на природата на стационарната точка x i изисква изследване на производни от по-висок порядък. В този случай се извършва преход към стъпка 8.
В противен случай преминете към стъпка 6.
6. Анализират се знаците на ъгловите минори f′′(x i). Ако f′′(x i) е положително определена, тогава x i е локална минимална точка. В този случай се извършва преход към стъпка 8.
В противен случай преминете към стъпка 7.
7. Изчисляват се ъгловите минори на матрицата -f′′(x i) и се анализират техните знаци.
Ако -f′′(x i) − е положително определен, тогава f′′(x i) е отрицателно определен и x i е локална максимална точка.
В противен случай f′′(x i) е недефиниран и x i е седлова точка.
8. Проверява се условието за определяне характера на всички стационарни точки i=N.
Ако е изпълнено, тогава изчисленията са завършени.
Ако условието не е изпълнено, тогава се приема i=i+1 и се преминава към стъпка 4.

Пример №1. Определете точките на локалните екстремуми на функцията f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2

Тъй като всички ъглови минори са различни от нула, характерът на x 2 се определя с помощта на f′′(x).
Тъй като матрицата f′′(x 2) е положително определена, x 2 е локална минимална точка.
Отговор: функцията f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 има локален минимум в точката x = (5/3; 8/3).

$E \подмножество \mathbb(R)^(n)$. Казват, че $f$ има локален максимумв точката $x_(0) \in E$, ако има околност $U$ на точката $x_(0)$ такава, че за всички $x \in U$ неравенството $f\left(x\right ) \leqslant f е изпълнено \left(x_(0)\right)$.

Локалният максимум се нарича строг , ако околността $U$ може да бъде избрана така, че за всички $x \in U$, различни от $x_(0)$, да има $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Определение
Нека $f$ е реална функция в отвореното множество $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Казват, че $f$ има местен минимумв точката $x_(0) \in E$, ако има околност $U$ на точката $x_(0)$ такава, че за всички $x \in U$ неравенството $f\left(x\right ) \geqslant f е изпълнено \left(x_(0)\right)$.

Локален минимум се нарича строг, ако квартал $U$ може да бъде избран така, че за всички $x \in U$, различни от $x_(0)$, да има $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\вдясно)$.

Локалният екстремум съчетава понятията локален минимум и локален максимум.

Теорема (необходимо условие за екстремума на диференцируема функция)
Нека $f$ е реална функция в отвореното множество $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ако в точката $x_(0) \in E$ функцията $f$ има локален екстремум в тази точка, тогава $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Равен на нула диференциал е еквивалентен на факта, че всички са равни на нула, т.е. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

В едномерния случай това е – . Нека обозначим $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, където $h$ е произволен вектор. Функцията $\phi$ е дефинирана за стойности на $t$, които са достатъчно малки по абсолютна стойност. В допълнение, той е диференцируем по отношение на и $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Нека $f$ има локален максимум в точка x $0$. Това означава, че функцията $\phi$ при $t = 0$ има локален максимум и според теоремата на Ферма $(\phi)' \left(0\right)=0$.
И така, получихме, че $df \left(x_(0)\right) = 0$, т.е. функция $f$ в точка $x_(0)$ е равна на нула върху всеки вектор $h$.

Определение
Точки, в които диференциалът е нула, т.е. тези, при които всички частни производни са равни на нула, се наричат стационарни. Критични точкифункции $f$ са тези точки, в които $f$ не е диференцируемо или е равно на нула. Ако точката е неподвижна, тогава от това не следва, че функцията има екстремум в тази точка.

Пример 1.
Нека $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Тогава $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, така че $\left(0,0\right)$ е стационарна точка, но функцията няма екстремум в тази точка. Наистина, $f \left(0,0\right) = 0$, но е лесно да се види, че във всяка околност на точката $\left(0,0\right)$ функцията приема както положителни, така и отрицателни стойности.

Пример 2.
Функцията $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ има стационарна точка в началото си, но е ясно, че в тази точка няма екстремум.

Теорема (достатъчно условие за екстремум).
Нека функцията $f$ е два пъти непрекъснато диференцируема върху отвореното множество $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Нека $x_(0) \in E$ е неподвижна точка и $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Тогава

ако $Q_(x_(0))$ – , тогава функцията $f$ в точката $x_(0)$ има локален екстремум, а именно минимум, ако формата е положително определена, и максимум, ако формата е отрицателно определено;
ако квадратичната форма $Q_(x_(0))$ е недефинирана, тогава функцията $f$ в точката $x_(0)$ няма екстремум.

Нека използваме разширението по формулата на Тейлър (12.7 стр. 292). Като се има предвид, че частичните производни от първи ред в точката $x_(0)$ са равни на нула, получаваме $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ дясно) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ където $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ и $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ за $h \rightarrow 0$, тогава дясната страна ще бъде положителна за всеки вектор $h$ с достатъчно малка дължина.
И така, стигнахме до заключението, че в определена околност на точката $x_(0)$ неравенството $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ е в сила, ако само $ x \neq x_ (0)$ (поставяме $x=x_(0)+h$\right). Това означава, че в точката $x_(0)$ функцията има строг локален минимум и по този начин първата част от нашата теорема е доказана.
Нека сега приемем, че $Q_(x_(0))$ е неопределена форма. Тогава има вектори $h_(1)$, $h_(2)$, така че $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Тогава получаваме $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ За достатъчно малък $t>0$, дясната страна е положителна. Това означава, че във всяка близост на точката $x_(0)$ функцията $f$ приема стойности $f \left(x\right)$, по-големи от $f \left(x_(0)\right)$.
По същия начин откриваме, че във всяка околност на точката $x_(0)$ функцията $f$ приема стойности, по-малки от $f \left(x_(0)\right)$. Това заедно с предходното означава, че в точката $x_(0)$ функцията $f$ няма екстремум.

Нека разгледаме специален случай на тази теорема за функцията $f \left(x,y\right)$ на две променливи, дефинирани в някаква околност на точката $\left(x_(0),y_(0)\right )$ и имащи непрекъснати частични производни от първи и втори ред. Да приемем, че $\left(x_(0),y_(0)\right)$ е стационарна точка и обозначаваме $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Тогава предишната теорема приема следната форма.

Теорема
Нека $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Тогава:

ако $\Delta>0$, тогава функцията $f$ има локален екстремум в точката $\left(x_(0),y_(0)\right)$, а именно минимум, ако $a_(11)> 0$ и максимум, ако $a_(11)<0$;
ако $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Примери за решаване на проблеми

Алгоритъм за намиране на екстремума на функция на много променливи:

Намиране на стационарни точки;
Намерете диференциала от 2-ри ред във всички неподвижни точки
Използвайки достатъчното условие за екстремума на функция от много променливи, ние разглеждаме диференциала от 2-ри ред във всяка стационарна точка

Изследвайте функцията за екстремум $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
Решение
Нека намерим частичните производни от първи ред: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Нека съставим и решим системата: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ От второто уравнение изразяваме $x=4 \cdot y^(2)$ - заместваме го в първото уравнение: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ В резултат се получават 2 стационарни точки:
1) $y=0 \Дясна стрелка x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
Нека проверим дали е изпълнено достатъчното условие за екстремум:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
1) За точката $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) За точка $M_(2)$:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, което означава, че в точка $M_(2)$ има екстремум и тъй като $A_(2)> 0$, тогава това е минимумът.
Отговор: Точката $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ е минималната точка на функцията $f$.
Изследвайте функцията за екстремума $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
Решение
Нека намерим неподвижни точки: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
Нека съставим и решим системата: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ е неподвижна точка.
Нека проверим дали е изпълнено достатъчното условие за екстремума: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Отговор: няма крайности.

Времево ограничение: 0

Навигация (само номера на задания)

0 от 4 изпълнени задачи

Информация

Направете този тест, за да проверите знанията си по темата, която току-що прочетохте: Локални екстремуми на функции на множество променливи.

Вече сте правили теста преди. Не можете да го започнете отново.

Тестът се зарежда...

Трябва да влезете или да се регистрирате, за да започнете теста.

Трябва да завършите следните тестове, за да започнете този:

резултати

Верни отговори: 0 от 4

Твоето време:

Времето изтече

Постигнахте 0 от 0 точки (0)

Вашият резултат е записан в класацията

С отговор
С маркировка за гледане

Задача 1 от 4

1 .

Брой точки: 1

Изследвайте функцията $f$ за екстремуми: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

вярно

погрешно

Задача 2 от 4

2 .
Брой точки: 1
Функцията $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ има ли екстремум