Конспект урока "действительные числа". Действительные числа, определение, примеры

Урок №2.

Тема урока. Действительные числа.

Цель урока. Ввести понятие действительного числа. Действия с действительными числами.

Ход урока.

I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

II . Повторение пройденного материала.

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения знаний (самостоятельная работа).

1 вариант. 2 вариант.

1. Найдите значения выражений:

1) ; 2) ; 3) 1) 2) 3)

2. Вычислить:

1) 2) 1) 2)

3) 4) 3) ; 4)

III . Изучение нового материала.

1.Рациональных чисел недостаточно для решения задач измерения. Так диагональ квадрата с единичной стороной не может быть измерена, если использовать только рациональные числа(2,5т.л. до н.э.)

Для задач измерения можно выбрать стандартную величину - длину отрезка и задать числа геометрически – отрезками, а точнее их отношениями к выбранному единичному отрезку (единице масштаба). Если назвать числом отношение отрезка к единичному, то возникает задача записи числа. Удобна запись числа в виде десятичной дроби, отражающей некоторый процесс измерения.

Измеряя диагональ квадрата со стороной 1, мы сначала отложим целый

единичный отрезок и получим число 1. В остатке будем откладывать деся-

тую часть единичного отрезка. Она отложится 4 раза, и останется отрезок

длины, меньшей . Получим десятичную дробь 1,4. Затем делим

снова на 10 частей, откладываем новый отрезок в остатке и записываем

результат. Получим последовательность десятичных дробей с увеличива-

ющимся количеством знаков после запятой: 1; 1.4; 1,41; 1,414; 1,4142;… .

Эту последовательность удобно представить в виде одной беско-

нечной десятичной дроби 1,414213562373095…, которую и можно считать

числом. Итак, по определению действительное число – это бесконечная

непериодическая десятичная дробь.

2. Конечная десятичная дробь. Рациональное число, представленное

Дробью, в знаменателе которой стоят только двойки и пятерки, запишется

конечной десятичной дробью, так как на каком-то шаге десятичный процесс измерения закончится – некоторая доля единичного отрезка отложится в остатке целое число раз.

Например:

Если у некоторой несократимой дроби в знаменателе есть простые числа, отличные от 2 и 5, то процесс десятичного измерения станет периодическим, и цифры (одна или несколько) начнут периодически повторяться.

Например:

3. Иррациональные числа – это числа, не являющиеся рациональными. Они записываются бесконечными непериодическими десятичными дробями.

Например: .

Объединение множества рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел R . ( ).

4 . Зачем понадобились действительные числа, и хватает ли их для решения задач?

Добавление к рациональным числам иррациональных чисел было вызвано необходимостью измерения длины любых отрезков. С помощью так построенных действительных чисел можно измерять многие другие величины, которые были названы скалярными .

5 . Почему диагональ квадрата со стороной, равной единице, нельзя измерить рациональным числом?

6. Действия над действительными числами.

Бесконечная десятичная дробь – это последовательность приближений конечными десятичными дробями к данному действительному числу. Для выполнения арифметических операций над ними эти операции делаются с конечными десятичными дробями.

Например: . Получим:

Аналогично (с помощью калькулятора).

Действительные числа можно изобразить точками на числовой оси. Если два числа b изображены точками на числовой оси, то расстояние между А и В равно модулю разности чисел a u b : Свойства:

I v . Закрепление пройденного материала.

1. Ответить на вопросы.

1) Всякое ли целое число является рациональным? (Да)

2) Является ли число иррациональным? (Нет)

3) Всегда ли сумма рациональных чисел является рациональным числом? (Нет. Сумма периодических дробей.)

4) Может ли при сложении иррациональных чисел получиться рациональное число? (Нет)

5) Может ли частное от деления рационального числа на иррациональное быть рациональным числом? (Нет)

6) Всегда ли квадрат иррационального числа является рациональным числом? (Нет. ).

2. Решение примеров.

1) Приведите примеры рациональных и иррациональных чисел.

2) Укажите рациональные и иррациональные числа:

3) Верно ли, что: а) . б)

1. Понятие иррационального числа. Бесконечные десятичные непериодические дроби. Множество действительных чисел.

2. Арифметические действия над действительными числами. Законы сложения и умножения.

3. Расширение действительных положительных чисел до множества действительных чисел. Свойства множества действительных чисел.

4. Приближенные числа.Правила округления действительных чисел и действия с приближенными числами. Вычисления с помощью микрокалькулятора.

5. Основные выводы

Действительные числа

Одним из источников появления десятичных дробей является деле­ние натуральных чисел, другим - измерение величин. Выясним, на­пример, как могут получиться десятичные дроби при измерении дли­ны отрезка.

Пусть х - отрезок, длину которого надо измерить, е - единичный отрезок. Длину отрезка х обозначим буквой X , а длину отрезка е - буквой Е . Пусть отрезок х состоит из n отрезков, равных е ₁ и отрезка х ₁, который короче отрезка е (рис. 130), т.е. n ∙Е < X < (n + 1) ∙Е . Числа n и n + 1 есть приближенные значения длины от­резка х при единице длины Е с недос­татком и с избытком с точностью до 1.

Чтобы получить ответ с большей точностью, возьмем отрезок е ₁ - деся­тую часть отрезка е и будем уклады­вать его в отрезке х ₁. При этом возможны два случая.

1) Отрезок е₁ уложился в отрезке х ₁ точно n раз. Тогда длина n от­резка х выражается конечной десятичной дробью: X = (n + n ₁\10) ∙Е= n, n ₁∙Е. Например, X = 3,4∙Е.

2) Отрезок х ₁ оказывается состоящим из n отрезков, равных е ₁, и отрезка х ₂, который короче отрезка е ₁. Тогда n , n ₁∙Е < X < n , n ₁ n ₁′∙Е , где n , n ₁ и n , n ₁ n ₁′ - приближенные значения длины отрезка х с не­достатком и с избытком с точностью до 0,1.

Ясно, что во втором случае процесс измерения длины отрезка х можно продолжать, взяв новый единичный отрезок е ₂ - сотую часть отрезка е .

На практике этот процесс измерения длины отрезка на каком-то этапе закончится. И тогда результатом измерения длины отрезка бу­дет либо натуральное число, либо конечная десятичная дробь. Если же представить этот процесс измерения длины отрезка в идеале (как и делают в математике), то возможны два исхода:

1)На k-том шагу процесс измерения окончится. Тогда длина от­резках выразится конечной десятичной дробью вида n , n ₁… n k.

2) Описанный процесс измерения длины отрезка х продолжается бесконечно. Тогда отчет о нем можно представить символом n , n ₁… n k..., который называют бесконечной десятичной дробью.

Как убедиться в возможности второго исхода? Для этого доста­точно произвести измерение длины такого отрезка, для которого известно, что его длина выражена, например, рациональным числом 5 . Если бы оказалось, что в результате измерения длины такого отрезка получается конечная десятичная дробь, то это означало бы, что число 5 можно представить в виде конечной десятичной дро­би, что невозможно: 5 = 5,666....

Итак, при измерении длин отрезков могут получаться бесконеч­ные десятичные дроби. Но всегда ли эти дроби периодические? От­вет на этот вопрос отрицателен: существуют отрезки, длины кото­рых нельзя выразить бесконечной периодической дробью (т.е. по­ложительным рациональным числом) при выбранной единице дли­ны. Это было важнейшим открытием в математике, из которого следовало, что рациональных чисел недостаточно для измерения длин отрезков.

Теорема . Если единицей длины является длина стороны квадра­та, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена по­ложительным рациональным числом.

Доказательство . Пусть длина стороны квадрата выражается числом 1. Предположим противное тому, что надо доказать, т.е., что длина диагонали АС квадрата АВСВ выражается несократимой дро­бью . Тогда по теореме Пифагора, выполнялось бы равенство

1²+ 1² = . Из него следует, что m² = 2n². Значит, m² - четное число, тогда и число m - четно (квадрат нечетного числа не может быть чет­ным). Итак, m = 2р. Заменив в равенстве m² = 2n² число m на 2р, получаем, что 4р² = 2n², т.е. 2р² = n². Отсюда следует, что n² четно, сле­довательно, n - четное число. Таким образом, числа m и n четны, значит, дробь можно сократить на 2, что противоречит предположению о ее несократимости. Установленное противоречие доказывает, что если единицей длины является длина стороны квадрата, то длину диагонали этого квадрата нельзя выразить рациональным числом.

Из доказанной теоремы следует, что существуют отрезки, длины которых нельзя выразить положительным числом (при выбранной едини­це длины), или, другими словами, записать в виде бесконечной периодической дроби. И значит, получаемые при измерении длин отрезков бесконечные десятичные дроби могут быть непериодическими.

Считают, что бесконечные непериодические десятичные дроби являются записью новых чисел - положительных иррациональных чисел. Так как часто понятия числа и его записи отождествляют, то говорят, что бесконечные непериодические десятичные дроби - это и есть положительные иррациональные числа.

Мы пришли к понятию положительного иррационального числа че­рез процесс измерения длин отрезков. Но иррациональные числа можно получить и при извлечении корней из некоторых рациональных чисел. Так √2 , √7, √24 - это иррациональное числа. Иррациональными являются также lg 5, sin 31, числа π =3,14..., е = 2,7828... и другие.

Множество положительных иррациональных чисел обозначают символом J+.

Объединение двух множеств чисел: положительных рациональных и положительных иррациональных называют множеством положительных действительных чисел и обозначают символом R+. Таким обра­зом, Q+ ∪ J + = R+. При помощи кругов Эйлера эти множества изображены на рисунке 131.

Любое положительное действительное чис­ло может быть представлено бесконечной деся­тичной дробью - периодической (если оно является рациональным), либо непериодической (если оно является иррациональным).

Действия над положительными действительными числами сво­дятся к действиям над положительными рациональными числами.

Сложение и умножение положительных действительных чисел обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, а умно­жения дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

С помощью положительных действительных чисел можно выра­зить результат измерения любой скалярной величины: длины, пло­щади, массы и т.д. Но на практике часто нужно выразить числом не результат измерения величины, а ее изменение. Причем ее изменение может происходить различно - она может увеличиваться, умень­шаться или оставаться неизменной. Поэтому, чтобы выразить изме­нение величины, кроме положительных действительных чисел нуж­ны иные числа, а для этого необходимо расширить множество R+, присоединив к нему число 0 (нуль) и отрицательные числа.

Объединение множества положительных действительных чисел с множеством отрицательных действительных чисел и нулем есть множество R всех действительных чисел.

Сравнение действительных чисел и действия над ними выполняют­ся по правилам, известным нам из школьного курса математики.

Упражнения

1. Опишите процесс измерения длины отрезка, если отчет о нем представляется дробью:

а) 3,46; б) 3,(7); в) 3,2(6).

2. Седьмая часть единичного отрезка укладывается в отрезке а 13 раз. Конечной или бесконечной дробью будет представлена длина этого отрезка? Периодической или непериодической?

3. Дано множество: {7; 8 ; √8; 35,91; -12,5; -√37; 0; 0,123; 4136}.

Можно ли разбить его на два класса: рациональные и иррациональные?

4. Известно, что любое число можно изобразить точкой на коорди­натной прямой. Исчерпывают ли точки с рациональными координатами всю координатную прямую? А точки с действительными координатами?

99. Основные выводы § 19

При изучении материала данного параграфа мы уточнили многие известные из школьного курса математики понятия, связав их с изме­рением длины отрезка. Это такие понятия, как:

дробь (правильная и неправильная);

равные дроби;

несократимая дробь;

положительное рациональное число;

равенство положительных рациональных чисел;

смешанная дробь;

бесконечная периодическая десятичная дробь;

бесконечная непериодическая десятичная дробь;

иррациональное число;

действительное число.

Мы выяснили, что отношение равенства дробей есть отношение эквивалентности и воспользовались этим, определяя понятие положи­тельного рационального числа. Выяснили также, как связано с изме­рением длин отрезков сложение и умножение положительных рацио­нальных чисел и получили формулы для нахождения их суммы и произведения.

Определение отношения «меньше» на множестве Q+ позволило назвать его основные свойства: оно упорядоченное, плотное, в нем нет наименьшего и наибольшего числа.

Мы доказали, что множество Q+ положительных рациональных чисел удовлетворяет всем тем условиям, которые позволяют его считать расширением множества N натуральных чисел.

Введя десятичные дроби, мы доказали, что любое положительное рациональное число представимо бесконечной периодической десятичной дробью.

Бесконечные непериодические дроби считают записями иррациональных чисел.

Если объединить множества положительных рациональных и иррациональных чисел, то получаем множество положительных действительных чисел: Q+ ∪ J + = R+.

Если к положительным действительным числам присоединить отрицательные действительные числа и нуль, то получаем множество R всех действительных чисел.

Пусть некоторое число х Î R + сначала изменили на а, а потом на в, причем число х настолько велико, что оба эти изменения не выводят из множестваR + . Назовем суммой чисел а и в действительное число, выражающее результирующее изменение. Например, если сначала сделать изменение на 4, а потом на 7, число 12 перейдет сначала в 16, а потом 16 перейдет в 23. Но чтобы 12 перешло в 23, надо изменить его на 11, значит, 4 + 7 = 11, как и должно быть. Если же сначала сделать изменение на –4, а потом на –7, то 12 перейдет сначала в 8; а потом в 1. Но чтобы из 12 получить 1, надо изменить 12 на –11. Отсюда следует, что (–4) + (–7) = –11.

Вообще, если а и в – положительные действительные числа и
х > а + в, то при изменении на –в число х – а переходит в (x – а) – в, т.е. в х –(а + в ). Но чтобы получить х – (а + в ),надо изменить х на
–(а + в ). Это показывает, что (–а ) + (–в ) = – (а + в ).

Рассмотрим теперь сложение чисел противоположных знаков. Начнем со случая, когда слагаемые – противоположные числа. Очевидно, что если изменить число х сначала на а , а потом на –а, то получим снова х. Иными словами, х + (а + (–а )) = х. Так как, с другой стороны, и х + 0 = х, то надо положить а + (–а ) = 0. Итак, сумма противоположных чисел равна нулю.

Теперь найдем сумму а + (–в ) в общем случае (мы считаем, что а и в – положительные числа, а потому –в отрицательно). Если а > в, то
а = (а – в ) + в, и потому а + (–в ) = (а – в )+ в + (–в ). Но последовательные изменения числа х на а – в, в и –в можно заменить изменением на а – в (изменения на в и –в взаимно уничтожаются). Поэтому положим а + (–в ) = а – в, если а > в. Очевидно, что при а > в и (–в ) + а = а – в.

Пусть теперь а < в. В этом случае мы имеем –в = (–а )+ (–(в – а )), и потому а + (–в ) = а + (–а ) + (–(в – а )) = – (в – а ). Значит, при a < в надо положить а + (–в ) = – (в – а ). Тот же результат получится при сложении –в и а : (–в ) + а = –(в – а ).

Полученные правила сложения действительных чисел можно сформулировать в виде следующего определения.

Определение. При сложении двух действительных чисел одного и того же знака получится число того же знака, модуль которого равен сумме модулей слагаемых. При сложении чисел различного знака получается число, знак которого совпадает со знаком слагаемого, имеющего больший модуль, а модуль равен разности большего и меньшего модулей слагаемых. Сумма противоположных чисел равна нулю, а сложение с нулем не меняет числа.

Легко проверить, что сложение в R обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и сократимости. Из данного выше определения видно, что нуль – нейтральный элемент относительно сложения, т.е.

а + 0= а.

Вычитание в множестве R определяется как операция, обратная сложению. Поскольку каждое число в в R имеет противоположное ему число –в, такое, что в + (–в ) = 0, то вычитание числа в равносильно сложению с числом –в: а – в = а + (–в ).

В самом деле, для любых а и в имеем:

(а + (–в )) + в = а + ((–в ) + в ) = а, а это и означает, что а – в = а + (–в ).

Для положительных чисел а и в , таких, что а > в, их разность
а – в была изменением, при котором в переходит в а. По аналогии с этим назовем для любых действительных чисел а и в число а – в изменением, переводящим в в а . Оно переводит точку 0 в точку а – в. Как и для положительных действительных чисел это изменение геометрически изображается направленным отрезком, идущим из точки в в точку а. Его длина равна расстоянию от начала отсчета до точки
а – в, т.е. модулю числа а – в. Мы доказали следующее важное утверждение:

Длина отрезка, идущего из точки в в точку а, равна |а – в |.

Введем в множество R отношение порядка. Будем считать, что
а > в в том и только в том случае, когда разность а – в положительна. Легко доказать, что это отношение антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением строгого порядка. При этом для любых а и в из R справедливо одно и только одно из отношений: а = в , а < в, в < а, т.е. отношение порядка в R линейно. Поскольку а – 0 = а, то а > 0, если a Î R + , и а < 0, еслиа Î R – .

Нетрудно доказать, что если а > в, то для любого с Î R имеем
а + с > в + с.

В данной статье собраны основные сведения про действительные числа . Сначала дано определение действительных чисел и приведем примеры. Дальше показано положение действительных чисел на координатной прямой. А в заключение разобрано, как действительные числа задаются в виде числовых выражений.

Навигация по странице.

Определение и примеры действительных чисел

Действительные числа в виде выражений

Из определения действительных чисел понятно, что действительными числами являются:

• любое натуральное число ;
• любое целое число ;
• любая обыкновенная дробь (как положительная, так и отрицательная);
• любое смешанное число;
• любая десятичная дробь (положительная, отрицательная, конечная, бесконечная периодическая, бесконечная непериодическая).

Но очень часто действительные числа можно видеть в виде , и т.п. Более того, сумма, разность, произведение и частное действительных чисел также представляют собой действительные числа (смотрите действия с действительными числами ). К примеру, - это действительные числа.

А если пойти дальше, то из действительных чисел с помощью арифметических знаков, знаков корня, степеней, логарифмических, тригонометрических функций и т.п. можно составлять всевозможные числовые выражения, значения которых также будут действительными числами. Например, значения выражений и есть действительные числа.

В заключение этой статьи заметим, что следующим этапом расширения понятия числа является переход от действительных чисел к комплексным числам .

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Определение

Множество действительных чисел является объединением множеств рациональных и иррациональных чисел. Буква R является обозначением рассматриваемого множества. Множество R представляется промежутком вида (- ∞ ; + ∞).

Замечание

Стоит заметить, что любое рациональное число всегда может принимать вид бесконечной десятичной периодической дроби, любое иррациональное число бесконечной десятичной непериодической дроби, исходя из вышесказанного следует вывод, что множество, включающее в себя конечные и бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби принадлежит множеству R .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Геометрическая модель действительных чисел

Координатная прямая непосредственно представляет собой геометрическую модель множества R . Следовательно, каждой точке на координатной прямой всегда можно поставить в соответствие некоторое действительное число.

Сравнение действительных чисел

Сравнение действительных чисел можно производить воспользовавшись либо геометрической моделью, либо их можно сравнивать аналитически. Рассмотрим оба способа сравнения. На координатной прямой расположено в произвольном порядке два числа. Определить, какое из них больше достаточно просто. Большее число всегда находится правее другого.

Аналитически определись какое число является большим или меньшим какого либо числа тоже возможно, для этого достаточно найти разность этих чисел и затем сравнить ее с нулем. Если полученная разность будет иметь положительный знак, то первое число (уменьшаемое разности) будет больше чем второе число (вычитаемое разности); если же разность будет иметь отрицательный знак, то первое число (уменьшаемое разности) будет меньше, чем второе число (вычитаемое разности).

Ниже рассмотрим примеры, демонстрирующие оба способа сравнения:

Пример 1

Сравнить числа f r a c 185 и 4 .

Решение

Для сравнения данных чисел найдем разность этих чисел.

f r a c 185 - 4 = f r a c 185 - f r a c 205 = - f r a c 25 чтобы вычислить данную разность, надо привести данные числа к общему знаменателю, воспользовавшись правилом приведения к общему знаменателю. Проделав данную операцию, видим, что знаменатель в данном примере равен 5. После этого опираясь на правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем, вычтем из числителя первой дроби числитель второй дроби, а знаменатель оставим прежним. Обратим внимание, что разность приведенных чисел является отрицательной, значит первое число (уменьшаемое) меньше второго (вычитаемого), т. е. f r a c 185 < 4 .

Пример 2

Сравнить числа f r a c 185 и 4 с помощью координатной прямой.

Решение

Чтобы сравнить данные числа, следует определить геометрическое место точек этих чисел на координатной прямой. Т.е. сравниваемые действительные числа будут соответствовать определенным координатам на координатной прямой, а именно числам f r a c 185 и 4 . Для начала преобразуем неправильную дробь frac185 в смешанное число т.е. выделим целую часть, следовательно, получим 3 f r a c 35 .

Далее на координатной прямой отметим точки, координаты которых будут равны 3 f r a c 35 и 4 . f r a c 185 содержит в себе 3 целых, значит данное число расположено левее 4. Как уже известно, меньшее число лежит левее, исходя из этого напрашивается вывод, что f r a c 185 < 4 .

Можно сделать вывод, что вне зависимости от внешнего вида сравнения действительных чисел можно реализовать все арифметические операции, а именно сложение, вычитание, умножение и деление. Однако перед выполнением действий с действительными числами следует учитывать исходные знаки данных чисел т.е. определить является каждое число положительными или отрицательными.

Сложение действительных чисел

Чтобы сложить два действительных числа с одинаковыми знаками следует сначала сложить их модули и затем перед суммой поставить их общий знак. Например:

(+ 8) + (+ 2) = + 10 ; (- 5) + (- 4) = - 9 .

Чтобы сложить два действительных числа с разными знаками следует для начала обратить внимание на знак числа, если знак одного из чисел отрицательный, тогда это число следует вычитать из другого, если положительный – сложить с другим. Далее нужно сложить либо вычесть данные числа и поставить знак большего модуля. Например

(+ 2) + (- 7) = - 5 ; (+ 10) + (- 4) = + 6 .

Вычитание действительных чисел

Вычитание действительных чисел можно представить в виде сложения: a - b = a + (- b) , то есть, чтобы вычесть из числа а число b, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Например: (+ 5) - (- 7) = (+ 3) + (+ 7) = 12 ; (+ 6) - (+ 4) = (+ 6) + (- 4) = + 2 .

Умножение действительных чисел

Чтобы умножить (разделить) два действительных числа необходимо умножить (разделить) их модули. И затем перед результатом поставить знак по приведенному в таблице правилу знаков ниже.

При умножении и делении действительных чисел желательно помнить пословицу: «Друг моего друга - мой друг, враг моего врага - мой друг, друг моего врага - мой враг, враг моего друга - мой враг».

Например:

(+ 2) (+ 7) = + 14 ; (- 2) (+ 6) = - 12 ; (- 2) (- 8) = 16 ;

Свойства арифметических действий над действительными числами (основные законы алгебры)

В алгебре существуют так называемые основные законы алгебры. Они практически всегда принимаются за истину (случаи ложности данных законов не рассматриваем) и сформулированы в виде следующих свойств-тождеств:

1. a + b = b + a ;
2. (a + b) + c = a + (b + c) ;
3. a + 0 = a ;
4. a + (- a) = 0 ;
5. a b = b a ;
6. (a b) c = a (b c) ;
7. a (b + c) = a b + a c ;
8. a · 1 = a ;
9. a · 0 = 0 ;
10. a · 1 a = 1 , (a ≠ 0) .

Свойства 1 и 5 выражают переместительный закон (коммутативность) сложения и умножения соответственно;

Cвойства 2 и 6 выражают сочетательный закон (ассоциативность);

Cвойство 7 - распределительный закон (дистрибутивность) умножения относительно сложения;

Cвойства 3 и 8 указывают на наличие нейтрального элемента для сложения и умножения соответственно;

Cвойства 4 и 10 – на наличие нейтрализующего элемента соответственно.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter