Определение прямой перпендикулярной плоскости признак перпендикулярности. Перпендикулярность прямой и плоскости. Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости
ГПОУ «Усинский политехнический техникум»
Открытый урок по геометрии
Тема «Перпендикулярность прямой и плоскости».
Выполнил: преподаватель математики Мельникова Е.А.
Усинск, 2016 г.
Тип урока: Урок-семинар
Цели урока :
Обобщить, закрепить и систематизировать знания обучающихся по данной теме, умения применять эти знания при решении задач; показать практическую значимость изучаемого материала; изучить связь между отношениями параллельности и перпендикулярности в пространстве; показать межпредметную связь.
Воспитывать культуру устной и письменной речи, способствовать воспитанию эстетического вкуса, прививать интерес к предмету математики.
Развивать пространственное и логическое мышление.
Оборудование к уроку: карточки с названиями Теоретики, Практики, Исследователи, задания группам, ПК, проектор.
План урока.
I. Организация учащихся.
Обучающимся предлагаются карточки с названиями Теоретики, Практики, Исследователи и производится деление на 3 группы.
II. Постановка целей и задач урока.
Говорят, что математика- наука неинтересная, что математика - сухая наука, что о ней можно говорить только в кабинете математики, на уроке. Нет, жизнь доказывает обратное: математика повсюду вокруг нас. Послушайте, что пишет об этом Роман Бухараев в стихотворении “Геометрия трав”.
Математик несбывшийся, странник,
Оглянись, удивляясь стократ:
В травах - срез волчеца - пятигранник,
А в сеченьи душицы - квадрат.
Все на свете покажется внове
Под гольцом, чья вершина в снегу:
Водосбор - треуголен в основе
На цветущем альпийском лугу!
Где же круг?
Возле иглистой розы.
Там, где луг поднебесный скалист,
Вижу, с ветром играет березы
Треугольно-ромбический лист.
Но я соглашусь с тем, что математика наука точная, требующая четкости определений и доказательства фактов. И поэтому сейчас предлагаю от лирики перейти к практике.
Вы изучили очень важную тему геометрии “Перпендикулярность прямой и плоскости”. В результате изучения этой темы вы должны:
знать определения перпендикулярных прямых и прямой, перпендикулярной к плоскости.
уметьформировать и доказывать теоремы (прямую и обратную) о параллельных прямых, прямых, перпендикулярных к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости.
Решать задачи типа 119, 121, 126, 128, 131 (уч. “Геометрия 10-11”, автор Атанасян Л.С.)
Преподаватель знакомит с целями урока.
III. Закрепление знаний и умений.
На уроке будут работать 3 группы «Теоретики», «Практики», «Исследователи».
Преподаватель дает задание группам, приготовленное на листах. Указывает на порядок оценивания.
Перед началом работы групп фронтальная проверка готовности.
Каково может быть взаимное расположение 2-х прямых в пространстве? (Прямые могут пересекаться, скрещиваться и быть параллельными.)
Какие две прямые называют параллельными? (Параллельные прямые называются прямые , которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются.)
Какие две прямые называют скрещивающимися? (Прямые называются скрещивающимися, если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту плоскость пересекает в точке не принадлежащей первой прямой.)
Если угол между двумя прямыми 900 , как их называют? (Перпендикулярные прямые)
Какую прямую называют перпендикулярной к плоскости? (Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Верно ли утверждение:
a) Любая прямая перпендикулярная к плоскости, пересекает эту плоскость? (верно)
b) Любая прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна к этой плоскости? (неверно)
c) Если прямая не перпендикулярна к данной плоскости, то она не пересекает эту плоскость? (неверно)
Прямая а параллельна прямой в и не пересекает плоскость?. Может ли прямая в быть перпендикулярной к плоскости? Ответ обоснуйте. (не может быть, т.к если прямая в будет перпендикулярной плоскости, то и прямая а тоже перпендикулярна плоскости, что невозможно, т.к по условию прямая а не пересекает плоскость, следовательно она параллельна плоскости)
1. Задания для группы «Теоретики».
Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.
Лемма . Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Дано:a ‖ b, a ⊥ c
Доказать: b ⊥ c
Доказательство:
Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠ АМС=90о.
По условию, b ‖ a, а по построению а ‖ МА, поэтому b ‖ МА.
Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90о, т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90о
Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90о, то есть b ⊥ с. Лемма доказана.
Доказать теоремы (прямую и обратную) о параллельных прямых, прямых, перпендикулярных к плоскости.
Теорема: (прямая) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Запись на доске и в тетрадях:
Дано: а ‖ а1, а ⊥ α
Доказать, что а1 ⊥ α
Доказательство:
Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.
По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 ⊥ x.
Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а1 ⊥ α. Теорема доказана.
Теорема: (обратная) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Дано: а ⊥ α, b ⊥ α
Доказать, что а ‖ b
Доказательство:
Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а.
М ∊ b, M ∊ b1, b1 ‖ a. По предыдущей теореме b1 ⊥ α.
Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что а ‖ b. Допустим, что прямые b1 и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а ‖ b, т.е. b ∊ β, b1 ∊β, α β=c (невозможно)→ а ‖ b.
Сформировать и провести анализ доказательства признака перпендикулярности прямой и плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости
По окончании группы «Теоретики» преподаватель предоставляет слово обучащемуся с исторической справкой «Провешивание прямой».
Для проведения длинных отрезков прямых (при прокладывании трассы шоссейной или железной дороги, линий электропередач и т.д.) применяется способ, называемый провешиванием прямой, который заключается в использовании всех - шестов, имеющих длину около 2 м., заостренных с одного конца для того, чтобы их можно было воткнуть в землю. Если нужно провести прямую линию между двумя точками А и В, положение которых дано, то сначала в этих точках ставятся вехи; затем между ними устанавливается промежуточная веха С так, чтобы веха А и С закрывали веху В. Необходимо, чтобы все вехи стояли вертикально. Правильность вертикального направления проверяется с помощью отвеса. Отвес - это шнур, на конце которого укреплен небольшой груз. Казалось бы, в этой простой процедуре провешивания прямой все ясно. Но и здесь есть много вопросов, о которых следует подумать, а ответы на них дают изучение нашего курса и других дисциплин. Во-первых, почему все отвесы мира смотрят в центр Земли, а с точки зрения геометрии- определяют прямую, перпендикулярную ее поверхности? Во-вторых, веха должна быть параллельна отвесу, и тогда она также будет перпендикулярна поверхности Земли. Таким образом, все вехи перпендикулярны поверхности Земли и, значит, параллельны между собой.
Такой способ получил название провешивание прямой на местности. Слово "провешивание" - производное от слова "веха".
2. Задания для группы «Практики» .
Показать применение теории при решении задач № 126, 127, 128,131 (стр. 42 уч. “Геометрия 10-11 автор Атанасян Л.С.)
3. Задания для группы «Исследователи».
Изучить связь между отношениями параллельности и перпендикулярности в пространстве. Проверку осуществить с помощью таблицы.
Даны прямая а, перпендикулярная к плоскости α, и прямая b. Укажите взаимное расположение прямых а и b:
Если b параллельна , то……
Если b перпендикулярна , то ……
Если b параллельна или принадлежит , то…..
Если b перпендикулярна , то……
Даны прямая а, перпендикулярная к плоскости α, и плоскость .
Если параллельна , то……
Если перпендикулярна , то ……
Если параллельна а или а принадлежит , то…..
Если перпендикулярна , то……
Приведите примеры окружающей нас обстановки, иллюстрирующие перпендикулярность прямой и плоскости.
По окончании работы групп учащиеся приводят примеры расположения прямых в задачах по физике (межпредметная связь)
Вспомните о силе давления. Как она направлена? (Перпенд. плоскости поверхности).
Тело на горизонтальной поверхности. Как на любое тело на него действует сила тяжести mg? Каково ее направление?
Тело опущено в жидкость. На него оказывает действие выталкивающая сила. Каково ее направление?
IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
V . Домашнее задание.
П.15 - 16, вопросы 1, 2 (стр. 57), №116, 118.
Определение . Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.
Приведем без доказательства известные в школьном курсе стереометрии теоремы, необходимые для решения последующих метрических задач.
1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
2. Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
3. Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.
Для построения прямой t " Е, перпендикулярной плоскости Σ, необходимо, на основании признака перпендикулярности, провести в плоскости две пересекающиеся прямые h и f, а затем построить прямую t по условиям: t ^ h, t ^ f (рис. 7.3). В общем случае прямые t и h, t и f – пары скрещивающихся прямых.
Задача. Даны плоскость Σ(ΔАВС) и точка Е.
Построить прямую t по условиям: t " E, t ^ Σ (рис. 7.4).
Решение задачи может быть следующим:
1) строятся линии уровня h и f в плоскости Σ, где h 2 // х, f 1 // x;
2) строятся проекции t 1 и t 2 искомой прямой t, где t 2 " Е 2 , t 2 ^ f 2 ; t 1 " E 1 , t 1 ^ h 1 . В итоге t 1 , t 2 – решение задачи. Прямая t скрещивается с f и h.
Выбор линий уровня h и f в качестве пересекающихся прямых в плоскости Σ продиктован приведенными выше условиями теоремы о проецировании прямого угла и простотой построений на КЧ. Если точка Е находится в плоскости Σ, то последовательность построений остается прежней.
Задача. Даны прямая t и точка Е. Построить плоскость, проходящую через точку Е и перпендикулярную прямой t (рис. 7.5).
Решение задачи основывается на построении двух линий уровня h(h 1 ,h 2) и f(f 1 ,f 2), проходящих через точку Е: h 2 " E 2 , h 2 // х, h 1 " E 1 , h 1 ^ t 1 ; f 1 " E 1 , f 1 // х, f 2 " E 2 , f 2 ^ t 2 . Плоскость (h , f) – решение задачи.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
1. Перпендикулярные прямые в пространстве.
Определение.
Две прямые в пространстве
называются перпендикулярными
(взаимно перпендикулярными), если угол между прямыми равен 90°.
Обозначение перпендикулярности прямых а и b: a⊥b
Перпендикулярные прямые могут пересекаться, а могут быть скрещивающимися.
Лемма перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Обратите внимание,
что следующее утверждение планиметрии в стереометрии не действует:
Если две прямые перпендикулярны к третьей, то они параллельны.
На рисунке видно, что две прямые a и b перпендикулярны прямой с , но не параллельны .
2.Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.
Определение.
Прямая называется перпендикулярной к плоскости
, если она перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости.
Обозначение перпендикулярности прямой и плоскости: a⊥ γ.
На рисунке прямая а перпендикулярна плоскости γ. Из определения следует, что прямая a перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.
Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Теорема.
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
3. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости (рис. 6.3).
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Из множества этих прямых при построении перпендикуляров к плоскости выбирают горизонталь и фронталь плоскости. В этом случае, пользуясь свойством проецирования прямого угла на комплексном чертеже, фронтальную проекцию перпендикуляра проводим под углом 90 0 к фронтальной проекции фронтали, а горизонтальную проекцию перпендикуляра – под углом 90° к горизонтальной проекции горизонтали.
Рассмотрим алгоритм построения перпендикуляра n к плоскости Р(D АВС) (табл. 6.6).
Таблица 6.6
Алгоритм построения перпендикуляра к плоскости
2. Строим фронталь в плоскости Р(D АВС) – f (f 1 f 2) | |
3. Строим перпендикуляр n к плоскости Р(D АВС). Для этого через точку D 2 проводим n 2 , перпендикулярно f 2 , а через D 1 проводим n 1 , перпендикулярно h 1 . n (n 1 n 2) ^Р (DАВС), так как n 1 ^h 1 ; h 1 P 1 (DА 1 В 1 С 1) n 2 ^f 2 ; f 2 P 2 (DА 2 В 2 С 2) |
§ 6. Перпендикулярность двух плоскостей
Две плоскости будут перпендикулярны друг к другу, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости (рис. 6.4).
АВ b , то есть АВ принадлежит плоскости b и АВ ^ плоскости a . Плоскость b ^ плоскости a .
Рассмотрим это положение на комплексном чертеже (табл. 6.7), где будет показано построение плоскости Р, проходящей через прямую l и перпендикулярной плоскости, заданной треугольником Q(D АВС) (табл. 6.7).
Таблица 6.7
Алгоритм построения плоскости, перпендикулярной данной
Вербальная форма |
Графическая форма |
1. Известно, что для построения прямой, перпендикулярной плоскости, необходимо построить горизонталь и фронталь в плоскости. а) Заметим, что построение перпендикуляра упрощается, так как стороны плоскости Q(D АВС) являются прямыми уровня: АВ (А 1 В 1 ; А 2 В 2) – фронталь АС (А 1 С 1 ; А 2 С 2) – горизонталь. б) Возьмем на прямой l произвольную точку К | |
2. Через точку К, которая принадлежит прямой l, проводим прямую n ^ Q, т.е. n 1 ^ A 1 C 1 и n 2 ^ A 2 В 2 . Искомая плоскость будет определяться двумя пересекающимися прямыми, одна из которых задана – l , а другая – n является перпендикулярной к заданной плоскости: P(l n)^ Q (D ABC) |
Выводы
а) не иметь общих точек;
б) иметь хотя бы одну общую точку;
в) иметь множество общих точек.
В зависимости от этого прямая может принадлежать плоскости, быть ей параллельна, пересекаться с данной плоскостью и, как частный случай, быть ей перпендикулярна.
2. Две плоскости в пространстве могут быть параллельны друг другу, пересекаться между собой и, как частный случай, быть взаимно перпендикулярны.
3. Две пересекающиеся плоскости имеют одну общую прямую – линию пересечения.
5. Для построения перпендикуляра к плоскости необходимо использовать свойства проецирования прямого угла.
Видеоурок 2:
Теорема о трех перпендикулярах. Теория
Видеоурок 3:
Теорема о трех перпендикулярах. Задача
Лекция: Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах
Перпендикулярность прямой и плоскостиДавайте вспомним, что такое вообще перпендикулярность прямых. Перпендикулярны те прямые, которые пересекаются под углом, равным 90 градусов. При этом угол между ними может быть, как в случае пересечения в некоторой точке, так и в случае скрещивания. Если некоторые прямые скрещиваются под прямым углом, то их тоже можно назвать перпендикулярными прямыми в том случае, если благодаря параллельному переносу прямая переносится в точку на второй прямой.
Определение: Если же прямая перпендикулярная любой прямой, которая принадлежит плоскости, то её можно считать перпендикулярной к этой плоскости.
Признак: Если на некоторой плоскости имеются две перпендикулярные прямые и некоторая третья прямая перпендикулярна каждой из них, то эта третья прямая перпендикулярна плоскости.
Свойства:
- Если некоторые прямые перпендикулярны одной плоскости, то они взаимно параллельны друг другу.
- Если имеются две параллельных плоскости, а так же некоторая прямая, которая перпендикулярна одной из плоскостей, то она перпендикулярна и второй.
- Так же можно и высказать обратное утверждение: если некоторая прямая перпендикулярна двум различным плоскостям, то такие плоскости обязательно параллельны.
Наклонная
Если некоторая прямая соединяет произвольную точку, которая не лежит на плоскости с любой точкой плоскости, то такая прямая будет называется наклонной .
Обратите внимание, наклонная она только в том случае, если угол между ней и плоскостью не 90 градусов.
На рисунке АВ – это наклонная к плоскости α. При этом точка В называется основанием наклонной.
Если же провести отрезок из точки А к плоскости, который будет составлять угол 90 градусов с плоскостью, то этот отрезок будет называться перпендикуляром. Перпендикуляром еще называют наименьшее расстояние до плоскости.
АС – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α. При этом точка С называется основанием перпендикуляра.
Если же на данном чертеже провести отрезок, который будет соединять основание перпендикуляра (С) с основанием наклонной (В), то полученный отрезок будет называться проекцией .
В результате несложных построений мы получили прямоугольный треугольник. В данном треугольнике угол АВС называется углом между наклонной и проекцией.
Теорема о трёх перпендикулярах