Урок по алгебре на тему " Тождества. Преобразование тождественных выражений". Преобразование выражений. Тождественные преобразования 4 какие тождественные выражения вы знаете

Тождественные преобразования

1. Понятие тождества. Основные типы тождественных преобразований и этапы их изучения.

11чучение различных преобразований выражений и формул занимает нищ.шую часть учебного времени в курсе школьной математики. Простейшие ^"«образования, опирающиеся на свойства арифметических операций, произ- 1Ч-.Я уже в начальной школе. Но основную нагрузку по формированию уме­ний и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгеб­ры 1 >то связано:

с резким увеличением числа совершаемых преобразований, их разно- оПришсм;

с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости;

i) с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождествен­ного преобразования, равносильного преобразования, логического следования.

Линия тождественных преобразований получает следующее развитие в курсе алгебры основной школы:

,4 б классы - раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, выне- М(Чшо множителя за скобки;

7 класс - тождественные преобразования целых и дробных выражений;

Н класс - тождественные преобразования выражений, содержащих квад- с корни;

( > класс - тождественные преобразования тригонометрических выражений и ммрижсний, содержащих степень с рациональным показателем.

Линия тождественных преобразований является одной из важных идей­ны ч линий курса алгебры. Поэтому обучение математике в 5-6 классах строится niKiiM образом, чтобы учащиеся уже в этих классах приобрели навыки про­стейших тождественных преобразований (без употребления термина «тождест- неиные преобразования»). Эти навыки формируются при выполнении упражне­нии на приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок и заключение в скобки, вынесение множителя за скобки и т.д. Рассматриваются также про­стейшие преобразования числовых и буквенных выражений. На этом уровне обучения осваиваются преобразования, которые выполняются непосредственно на основе законов и свойств арифметических действий.

К основным видам задач в 5-6-х классах, при решении которых активно используются свойства и законы арифметических действий и через которые формируются навыки тождественных преобразований, относятся:

обоснование алгоритмов выполнения действий над числами изучае­мых числовых множеств;

вычисление значений числового выражения наиболее рациональным способом;

сравнение значений числовых выражений без выполнения указанных действий;

упрощение буквенных выражений;

доказательство равенства значений двух буквенных выражений и т.д.

Представьте число 153 в виде суммы разрядных слагаемых; в виде раз­ности двух чисел, в виде произведения двух чисел.

Представьте число 27 в виде произведений трех одинаковых множителей.

Эти упражнения на представление одного и того же числа в разных фор­мах записи содействуют усвоению понятия о тождественных преобразованиях. Вначале эти представления могут быть произвольными, в дальнейшем - целе­направленными. Например, представление в виде суммы разрядных слагаемых используется для объяснения правил сложения натуральных чисел «столби­ком», представление в виде суммы или разности «удобных» чисел - для выпол­нения быстрых вычислений различных произведений, представление в виде произведения множителей - для упрощения различных дробных выражений.

Найдите значение выражения 928 36 + 72 36.

Рациональный способ вычисления значения данного выражения основан на использовании распределительного закона умножения относительно сложе­ния: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36000.

В школьном курсе математики можно выделить следующие этапы освое­ния применений преобразований буквенно-числовых выражений и формул.

этап. Начала алгебры. На этом этапе используется нерасчлененная сис­тема преобразований; она представлена правилами выполнения действий над одной или обеими частями формулы.

Пример. Решить уравнения:

а) 5х - Ъх = 2; б) 5х = Зх + 2; в) 6 (2 - 4у) + 5у = 3 (1 - Зу).

Общая идея решения состоит в упрощении данных формул с помощью нескольких правил. В первом задании упрощение достигается при помощи применения тождества: 5х - Ъх = (5 - 3)х. Основанное на этом тождестве тождественное преобразование переводит данное уравнение в равносильное ему уршшомие 2х - 2.

Второе уравнение требует для своего решения не только тождественного, но н ринноеильного преобразования; в таком качестве здесь используется пра- ||н по переноса членов уравнения из одной части уравнения в другую с измене­нном шика. В решении уже такого простого задания, как б), используются оба пн in преобразований - и тождественное, и равносильное. Это положение со- чриниотся и для более громоздких заданий, таких, как третье.

Моль первого этапа - научить быстро решать простейшие уравнения, уп­рощать формулы, задающие функции, рационально проводить вычисления с опорой на свойства действий.

тит. Формирование навыков применения конкретных видов преобразова- II tilt 11онятия тождества и тождественного преобразования явно вводятся в курсе шн"сбры 7 класса. Так, например, в учебнике Ю. Н. Макарычева «Алгебра 7» ннп"шле вводится понятие тождественно равных выражений: «Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, шпыняются тождественно равными», затем понятие тождества: «Равенство, парное при любых значениях переменных, называется тождеством».

11риводятся примеры:

В учебнике А.Г. Мордковича «Алгебра 7» приводится сразу и уточ­ненное понятие тождества: «Тождество - это равенство, верное при любых до­пустимых значениях входящих в его состав переменных».

11ри введении понятия тождественного преобразования следует прежде всего покичать целесообразность изучения тождественных преобразований. Для этого можно рассмотреть различные упражнения на нахождение значения выражений.

liiiipiiMep, найти значение выражения 37,1х + 37,ly при х = 0,98, у = 0,02. Ис- пошлуя распределительное свойство умножения, выражение 37,1л + 37,1 у можно щмоиить выражением 37,1(х + у), тождественно равным ему. Ещё более впе- чи глист 1 решение следующего упражнения: найти значение выражения

()-(а-6)_ п р и. а) д = з > ^ = 2; б) а = 121, Ъ - 38; в) а = 2,52, Ъ= 1 -.

ab 9

11осле проведенных преобразований оказывается, что множество значений это- ю ныражения состоит из одного числа 4.

В учебнике Ю. Н. Макарычева «Алгебра 7» введение понятия тождест- игппого преобразования мотивируется рассмотрением примера: «Чтобы найти зна­чение выражения ху--да при х = 2,3; у = 0,8; z = 0,2, надо выполнить 3 действия: ху - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.

11собходимо отметить один тип преобразований, специфический для кур- ш алгебры и начал анализа. Это преобразования выражений, содержащих пре- переходы, и преобразования, основанные на правилах дифференциро- пниия и интегрирования. Основное отличие этих «аналитических» преобразо- ИНИИЙ от «алгебраических» преобразований состоит в характере множества, ко- трое пробегают переменные в тождествах. В алгебраических тождествах пе­ременные пробегают числовые области, а в аналитических этими множествами ■шляются определенные множества функций. Например, правило дифференци- роишшя суммы: (Z"+g)" здесь/и g- переменные, пробегающие множе-

I I но дифференцируемых функций с общей областью определения. Внешне эти преобразования сходны с преобразованиями алгебраического типа, поэтому иногда говорят «алгебра пределов», «алгебра дифференцирования».

Тождества, изучаемые в школьном курсе алгебры и алгебраическом ма­й-риале курса алгебры и начал анализа, можно разделить на два класса.

Первый состоит из тождеств сокращенного умножения, справедливых в

ав в.

iiioGom коммутативном кольце, и тождества -=-,а* 0, справедливого в лю-

Оом поле.

Второй класс образован тождествами, связывающими арифметические чнграции и основные элементарные функции, а также композиции элементар- Hhix функций. Большинство тождеств этого класса также имеет общую матема­тическую основу, состоящую в том, что степенная, показательная и логариф­мическая функции являются изоморфизмами различных числовых групп. На­пример, имеет место утверждение: существует единственное непрерывное изо­морфное отображение / аддитивной группы действительных чисел в мультип­ликативную группу положительных действительных чисел, при котором еди­ница о тображается в заданное число а> 0, а Ф 1; это отображение задается по- инательной функцией с основанием а: /(х) = а. Аналогичные утверждения имеются и для степенной и логарифмической функций.

Методика изучения тождеств обоих классов обладает многими общими чгртами. В целом тождественные преобразования, изучаемые в школьном курсе математики, включают:

преобразования выражений, содержащих радикалы и степени с дроб­им ми показателями;

преобразования выражений, содержащих предельные переходы, и пре­образования, основанные на правилах дифференцирования и интегрирования.

Этот результат можно получить выполнив лишь два действия,-если вос­пользоваться выражением х (у-z), тождественно равным выражению xy-xz: х (у-Z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.

Мы упростили вычисления, заменив выражение xy-xz тождественно рав­ным выражением х (у - z).

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражени­ем называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения».

Освоение различных видов преобразований на этом этапе начинается с вве­дения формул сокращенного умножения. Затем рассматриваются преобразования, связанные с операцией возведения в степень, с различными классами элементар­ных функций - показательных, степенных, логарифмических, тригонометриче­ских. Каждый из этих типов преобразований проходит этап изучения, на котором внимание сосредоточивается на усвоении их характерных особенностей.

По мере накопления материала появляется возможность выделить и на этой основе ввести понятия тождественного и равносильного преобразований.

Следует заметить, что понятие тождественного преобразования дается в школьном курсе алгебры не в полной общности, а только в применении к вы­ражениям. Преобразования разделяются на два класса: тождественные преоб­разования - это преобразования выражений, а равносильные - преобразования формул. В случае, когда возникает потребность в упрощении одной части фор­мулы, в этой формуле выделяется выражение, которое и служит аргументом применяемого тождественного преобразования. Например, уравнения 5х - Зх - 2 и 2х = 2 считаются не просто равносильными, а одинаковыми.

В учебниках алгебры Ш.А. Алимова и др. понятие тождества явно не вво­дится в 7-8-х классах и только в 9 классе в теме «Тригонометрические тождест­ва» при решении задачи 1: «Доказать, что при афкк, к < eZ , справедливо равен­ство 1 + ctg 2 а = -\-» вводится это понятие. Здесь учащимся поясняется, что sin а

указанное равенство «справедливо для всех допустимых значений а, т.е. таких, при которых его левая и правая части имеют смысл. Такие равенства называют тождествами, а задачи на доказательства таких равенств называют задачами на доказательство тождеств».

III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).

Основная цель этого этапа состоит в формировании гибкого и мощного ап­парата, пригодного для использования в решении разнообразных учебных заданий.

Развертывание второго этапа изучения преобразований происходит на протяжении всего курса алгебры основной школы. Переход к третьему этапу осуществляется при итоговом повторении курса в ходе осмысления уже извест­ного материала, усвоенного по частям, по отдельным типам преобразований.

В курсе алгебры и начал анализа целостная система преобразований, в основном уже сформированная, продолжает постепенно совершенствоваться. К ней также добавляются некоторые новые виды преобразований (например, от­носящиеся к тригонометрическим и логарифмическим функциям), однако они только обогащают её, расширяют её возможности, но не меняют её структуру.

Методика изучения этих новых преобразований практически не отличается от применяемой в курсе алгебры.

Необходимо отметить один тип преобразований, специфический для кур­ен алгебры и начал анализа. Это преобразования выражений, содержащих пре­дельные переходы, и преобразования, основанные на правилах дифференциро­вания и интегрирования. Основное отличие этих «аналитических» преобразо- 1иший от «алгебраических» преобразований состоит в характере множества, ко- горое пробегают переменные в тождествах. В алгебраических тождествах пе­ременные пробегают числовые области, а в аналитических этими множествами мияяются определенные множества функций. Например, правило дифференци- рования суммы: ( f + g )" = f + g "; здесь fug - переменные, пробегающие множе- ет но дифференцируемых функций с общей областью определения. Внешне эти преобразования сходны с преобразованиями алгебраического типа, поэтому иногда говорят «алгебра пределов», «алгебра дифференцирования».

Тождества, изучаемые в школьном курсе алгебры и алгебраическом ма­териале курса алгебры и начал анализа, можно разделить на два класса.

Первый состоит из тождеств сокращенного умножения, справедливых в

любом коммутативном кольце, и тождества - =-,а*0, справедливого в лю-

ас с

Второй класс образован тождествами, связывающими арифметические операции и основные элементарные функции, а также композиции элементар­ных функций. Большинство тождеств этого класса также имеет общую матема- гическую основу, состоящую в том, что степенная, показательная и логариф­мическая функции являются изоморфизмами различных числовых групп. На­пример, имеет место утверждение: существует единственное непрерывное изо­морфное отображение / аддитивной группы действительных чисел в мультип­ликативную группу положительных действительных чисел, при котором еди­ница отображается в заданное число а> 0, а Ф 1; это отображение задается по­казательной функцией с основанием я: / (х) = а*. Аналогичные утверждения имеются и для степенной и логарифмической функций.

Методика изучения тождеств обоих классов обладает многими общими чертами. В целом тождественные преобразования, изучаемые в школьном курсе математики, включают:

преобразования алгебраических выражений;

преобразования выражений, содержащих радикалы и степени с дроб­ными показателями;

преобразования тригонометрических выражений;

преобразования выражений, содержащих степени и логарифмы;

преобразования выражений, содержащих предельные переходы, и пре­образования, основанные на правилах, дифференцирования и интегрирования.

2. Особенности организации системы заданий при изучении тождественных преобразований

Основной принцип организации любой системы заданий - предъявление их от простого к сложному с учетом необходимости преодоления учениками посильных трудностей и создания проблемных ситуаций. Этот основной прин- цип требует конкретизации применительно к особенностям данного учебного материала. Приведем пример системы упражнений по теме: «Квадрат суммы и

разности двух чисел».

I la этом основная система упражнений заканчивается. Такая система долж­на обеспечить усвоение базисного материала.

Следующие упражнения (17-19) позволяют акцентировать внимание уча­щихся на типичных ошибках и способствуют развитию интереса и их творческих 1 пособиостей.

В каждом конкретном случае число упражнений в системе может быть меньше или больше, но последовательность их выполнения должна быть такой же.

Для описания различных систем заданий в методике математики исполь- lyri oi ещё понятие цикла упражнений. Цикл упражнений характеризуется тем, по соединяются в последовательность упражнения нескольких аспектов изу­чении и приемов расположения материала. По отношению к тождественным преобразованиям представление о цикле можно дать следующим образом.

11икл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которого группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В " остан цикла наряду с исполнительными входят задания, требующиераспозна- < ii in ни применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тождество применяется для проведения вычислений на различных числовых областях.

Задания в каждом цикле разбиты на две группы. К первой относятся зада­ния, ш.шолняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Они выпол­няются на нескольких уроках, объединенных одной темой. Вторая группа уп­ражнений связывает изучаемое тождество с различными приложениями. Уп­ражнения из этой группы обычно разбросаны по различным темам.

Описанная структура цикла относится к этапу формирования навыков применения конкретных видов преобразований. На заключительном этапе - (Тане синтеза, циклы видоизменяются. Во-первых, объединяются обе группы шдапий, образующие «развернутый» цикл , причем из первой группы исклю­чаются наиболее простые по формулировкам или по сложности выполнения за­пиши. Оставшиеся типы заданий усложняются. Во-вторых, происходит слия­ние циклов, относящихся к различным тождествам, в силу этого повышается роль действий по распознаванию применимости того или иного тождества.

11рннсдем конкретный пример цикла.

Пример. Цикл заданий для тождества х -у 2 = (х-у)(х +у).

Выполнение первой группы заданий этого цикла происходит в следую-

щих условиях. Ученики только что ознакомились с формулировкой тождества (вернее, с двумя формулировками: «Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы и разности данных выражений» и «Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений»), его записью в виде формулы, доказательством. После этого приведено несколько образцов использования преобразования, основанного на этом тождестве. На­конец, ученики приступают к самостоятельному выполнению упражнений.

Первая группа заданий

Вторая группа заданий

(Задания каждой группы можно представить студентам с помощью муль­тимедийного проектора)

Проведем методический анализ этой системы типов заданий.

Задание а0 имеет целью фиксировать структуру изучаемого тождества. Это достигается заменой букв (х и у) в записи тождества другими буквами. За­дания этого типа позволяют уточнить связь между словесным выражением и символической формой тождества.

Задание а 2) ориентировано на установление связи данного тождества с числовой системой. Преобразуемое выражение является здесь не чисто буквен­ным, а буквенно-числовым. Для описания производимых действий необходимо использовать понятие замещения буквы числом в тождестве. Развитие навыков

применения операции замещения и углубление представления о ней осуществ- ш I гм при выполнении заданий типа г 2).

Следующий шаг в освоении тождества иллюстрируется заданием аз). В ном задании предложенное для преобразования выражение не имеет вида раз- пип н квадратов; преобразование становится возможным лишь тогда, когда. ч(чп1к заметит, что число 121 можно представить в виде квадрата числа. Таким иПриюм, выполнение этого задания производится не в один шаг, а в два: на пер- iiiiu происходит распознавание возможности приведения данного выражения к мпду разности квадратов, на втором производится преобразование, исполь­зующее тождество.

11а первых порах освоения тождества производится запись каждого шага:

I " I /с 2 = 11 2 - & 2 = (11 - £)(11 + к), в дальнейшем некоторые операции по рас­познаванию выполняются учениками устно.

В примере дг) требуется установить связи данного тождества и других, от­носящихся к действиям с одночленами; в д 3) следует применить тождество для разности квадратов дважды; в ж) ученикам придется преодолеть определенный психологический барьер, осуществляя выход в область иррациональных чисел.

Задания типа б) направлены на формирование навыков замены произведе­нии (,v - у)(х + у) на разность х 2 - у 2 . Аналогичную роль играют задания типа в). В примерах типа г) требуется выбрать одно из направлений преобразований.

В целом задания первой группы ориентированы на усвоение структуры шждества, операции замещения в простейших наиболее важных случаях и представления об обратимости преобразований, осуществляемых тождеством,

Основные особенности и цели, раскрытые нами при рассмотрении первой | руины заданий цикла, относятся к любому циклу упражнений, формирующему штыки использования тождества. Для любого вновь вводимого тождества пер- иим группа заданий в цикле должна сохранять описанные здесь особенности; различия могут быть только в количестве заданий.

1 Вторая группа заданий в цикле, в отличие от первой, направлена на воз­можно более полное использование и учет специфики именно данного тожде- t i пи. Задания этой группы предполагают уже сформированными навыки ис­пользования тождества для разности квадратов (в наиболее простых случаях); цпи, заданий этой группы - углубить понимание тождества за счет рассмотре­нии разнообразных приложений его в различных ситуациях, в сочетании с ис­пользованием материала, относящегося к другим темам курса математики.

Рассмотрим решение задания л):

х 3 - 4х= 15 о х 3 - 9х = 15 - 5х о х(х~3)(х + 3) = 5(3 -х) ох = 3, или \{\ 1-3) = -5. Уравнение х(х + 3) = -5 действительных корней не имеет, поэтому \ 3 - единственный корень уравнения.

Мы видим, что использование тождества для разности квадратов составляет ч п и I ь часть в решении примера, являясь ведущей идеей проведения преобразований.

Циклы заданий, связанных с тождествами для элементарных функций, имеют свои особенности, которые обусловлены тем, что, во-пеувых . соответст- иутощие тождества изучаются в связи с изучением функционального материала и, /и>-«тоуых, они появляются позже тождеств первой группы и изучаются с

использованием уже сформированных навыков проведения тождественных преобразований. Значительная часть использования тождественных преобразо­ваний, связанных с элементарными функциями, приходится на решение ирра­циональных и трансцендентных уравнений. В циклы, относящиеся к усвоению тождеств, входят только наиболее простые уравнения, но уже здесь целесооб­разно проводить работу по усвоению приема решения таких уравнений: сведе­ние его путем замены неизвестного к алгебраическому уравнению.

Последовательность шагов при этом способе решения такова:

а) найти функцию <р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;

б) произвести подстановку у = ср(х) и решить уравнение F(y) = 0;

в) решить каждое из уравнений <р(х) = где {у к } - множество корней уравнения F(y) = 0.

Новым вопросом, который необходимо учитывать при изучении тождеств с элементарными функциями, является рассмотрение области определения. Приведем примеры трех заданий:

а) Построить график функции у = 4 log 2 x .

б) Решить уравнение lg х + lg (х - 3) = 1.

в) На каком множестве формула lg (х - 5) + lg (х + 5) = lg (х 2 - 25) являет­ся тождеством?

Типичная ошибка, которую совершают ученики в решении задания а) со­стоит в использовании равенства а 1ое й без учета условия Ъ > 0. В данном слу­чае в итоге искомый график оказывается имеющим вид параболы вместо вер­ного ответа - правой ветви параболы. В задании б) показан один из источников получения сложных систем уравнений и неравенств, когда необходимо учиты­вать области определения функций, а в задании в) - упражнение, которое мо­жет служить подготовительным.

Идея, которой объединены эти задания - необходимость изучения облас­ти определения функции, может выявиться только при сопоставлении таких, разнородных по внешней форме заданий. Значение этой идеи для математики очень велико. Она может служить основой нескольких циклов упражнений - по каждому из классов элементарных функций.

В заключение заметим, что изучение тождественных преобразований в школе имеет большое воспитательное значение. Умение делать какие-то вы­кладки, проводить расчеты, в течение длительного времени с неослабным вни­манием следить за некоторым объектом необходимо людям самых разнообраз­ных профессий, независимо от того, работают ли они в сфере умственного или физического труда. Специфика раздела «Тождественные преобразования выра­жений» такова, что он открывает широкие возможности для выработки у уча­щихся этих важных профессионально-значимых умений.

«Тождества. Тождественное преобразование выражений».

Цели урока

Образовательные:

ознакомить и первично закрепить понятия «тождественно равные выражения», «тождество», «тождественные преобразования»;

рассмотреть способы доказательства тождеств, способствовать выработке навыков доказательства тождеств;

проверить усвоение учащимися пройденного материала, сформировывать умения применения изученного для восприятия нового.

Развивающая : развивать мышление, речь учащихся.

Воспитательная : воспитывать трудолюбие, аккуратность, правильность записи решения упражнений.

Тип урока: изучение нового материала

Оборудование : Мультимедийная доска, доска, учебник, рабочая тетрадь.

П лан урока

Организационный момент (нацелить учащихся на урок)

Проверка домашнего задания (коррекция ошибок)

Устные упражнения

Изучение нового материала (Ознакомление и первичное закрепление понятий «тождество», «тождественные преобразования»).

Тренировочные упражнения (Формирование понятий «тождество», «тождественные преобразования»).

Подведение итогов урока (Обобщить теоретические сведения, полученные на уроке).

Сообщение домашнего задания (Разъяснить содержание домашнего задания)

Ход урока

I. Организационный момент.

Проверка домашнего задания.

Вопросы по домашнему заданию.

Разбор решения у доски.

Математика нужна
Без нее никак нельзя
Учим, учим мы, друзья,
Что же помним мы с утра?

II . Устные упражнения.

Сделаем разминку.

Результат сложения. (Сумма)

Сколько цифр вы знаете? (Десять)

Сотая часть числа. (Процент)

Результат деления? (Частное)

Наименьшее натуральное число? (1)

Можно ли при делении натуральных чисел получить ноль? (нет)

Чему равна сумма чисел от -200 до 200? (0)

Назовите наибольшее целое отрицательное число. (-1)

На какое число нельзя делить? (0)

Результат умножения? (Произведение)

Наибольшее двузначное число? (99)

Чему равно произведение от -200 до 200? (0)

Результат вычитания. (Разность)

Сколько граммов в килограмме? (1000)

Переместительное свойство сложения. (От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется)

Переместительное свойство умножения. (От перестановки мест множителей произведение не изменяется)

Сочетательное свойство сложения. (Чтобы к сумме двух чисел прибавить какое-нибудь число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего)

Сочетательное свойство умножения. (чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего)

Распределительное свойство. (Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое и сложить полученные результаты)

III . Изучение нового материала .

Учитель. Найдем значение выражений при х=5 и у=4

3(х+у)=3(5+4)=3*9=27

3х+3у=3*5+3*4=27

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х+у) и 3х+3у равны.

Рассмотрим теперь выражения 2х+у и 2ху. При х=1 и у=2 они принимают равные значения:

2х+у=2*1+2=4

2ху=2*1*2=4

Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х=3, у=4, то

2х+у=2*3+4=10

2ху=2*3*4=24

Определение: Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.

Выражения 3(х+у) и 3х+3у являются тождественно равными, а выражения 2х+у и 2ху не являются тождественно равными.

Равенство 3(х+у) и 3х+3у верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами.

Определение: Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.

Тождествами считают и верные числовые равенства. С тождествами мы уже встречались. Тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами (Учащиеся комментируют каждое свойство, проговаривая его).

a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Можно привести и другие примеры тождеств (Учащиеся комментируют каждое свойство, проговаривая его).

а + 0 = а

а * 1 = а

а + (-а) = 0

а * (- b ) = - ab

a - b = a + (- b )

(- a ) * (- b ) = ab

Определение: Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Учитель:

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Некоторые тождественные преобразования вам уде приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила этих преобразований:

Учащиеся:

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;

Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки;

Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Учитель:

Пример 1. Приведем подобные слагаемые

5х +2х-3х=х(5+2-3)=4х

Каким правилом мы воспользовались?

Ученик:

Мы воспользовались правилом приведения подобных слагаемых. Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

Учитель:

Пример 2. Раскроем скобки в выражении 2а + (b -3 c ) = 2 a + b – 3 c

Применили правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс».

Ученик:

Проведенное преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.

Учитель:

Пример 3. Раскроем скобки в выражении а – (4 b – с) = a – 4 b + c

Воспользовались правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус».

На каком свойстве основано данное преобразование?

Ученик:

Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения.

IV . Тренировочные упражнения

(Перед началом проводим физкультминутку

Быстро встали, улыбнулись.

Выше-выше потянулись.

Ну-ка, плечи распрямите,

Поднимите, опустите.

Вправо, влево повернитесь,

Сели, встали. Сели, встали.

И на месте побежали.

(Молодцы, присаживайтесь).

Проведем мини самостоятельную работу – соответствия, А те кто считает, что тема хорошо усвоена – решает онлайн – тестирование.

1)5(3х -2) –(4х+9) А) 5-10:х

2)5х-4(2х-5)+5 Б) 11х -19

3)(5х-10):х В) 3х+25

4)11х-4(х - 3)+5х Г) -3х+25

Д) 12х +12

V . Подведение итогов урока .

Учитель задает вопросы, а учащиеся отвечают на них по желанию.

Какие два выражения называются тождественно равными? Приведите примеры.

Какое равенство называется тождеством? Привести примером.

Какие тождественные преобразования вам известны?

VI . Домашнее задание . п.5, найти старинные тождественные выражения, пользуясь сетью интернета

Пусть даны два алгебраических выражения:

Составим таблицу значений каждого из этих выражений при различных числовых значениях буквы х.

Мы видим, что при всех тех значениях, которые давались букве х, значения обоих выражений оказывались равными. То же будет и при всяком другом значении х.

Чтобы убедиться в этом, преобразуем первое выражение. На основании распределительного закона запишем:

Произведя над числами указанные действия, получим:

Итак, первое выражение после его упрощения оказалось совершенно таким же, как и второе выражение.

Теперь ясно, что при любом значении х значения обоих выражений равны.

Выражения, значения которых равны при любых значениях входящих в них букв, называются тождественно равными или тождественными.

Значит, - тождественные выражения.

Сделаем одно важное замечание. Возьмём выражения:

Составив таблицу, подобную предыдущей, убедимся, что оба выражения при любом значении х, кроме имеют равные числовые значения. Только при второе выражение равно 6, а первое теряет смысл, так как в знаменателе получается нуль. (Вспомним, что на нуль делить нельзя.) Можно ли сказать, что эти выражения тождественны?

Мы раньше условились, что каждое выражение будем рассматривать только при допустимых значениях букв, то есть при тех значениях, при которых выражение не теряет смысла. Значит, и здесь, сравнивая два выражения, принимаем во внимание только те значения букв, которые допустимы для обоих выражений. Поэтому значение мы должны исключить. А так как при всех остальных значениях х оба выражения имеют одно и то же числовое значение, то мы вправе считать их тождественными.

На основании сказанного дадим такое определение тождественных выражений:

1. Выражения называются тождественными, если они имеют одинаковые числовые значения при всех допустимых значениях входящих в них букв.

Если два тождественных выражения соединим знаком равенства, то получим тождество. Значит:

2. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него букв.

Мы уже раньше встречались с тождествами. Так, например, тождествами являются все равенства, которыми мы выражали основные законы сложения и умножения.

Например, равенства, выражающие переместительный закон сложения

и сочетательный закон умножения

справедливы для любых значений букв. Значит, эти равенства являются тождествами.

Тождествами считаются также все верные арифметические равенства, например:

В алгебре часто приходится какое-либо выражение заменять другим, ему тождественным. Пусть, например, требуется найти значение выражения

Мы значительно облегчим вычисления, если данное выражение заменим выражением, ему тождественным. На основании распределительного закона можем записать:

Но числа в скобках дают в сумме 100. Значит, имеем тождество:

Подставив в правую часть его 6,53 вместо а, сразу (в уме) найдём числовую величину (653) данного выражения.

Замена одного выражения другим, тождественным ему, называется тождественным преобразованием этого выражения.

Напомним, что всякое алгебраическое выражение при любых допустимых значениях букв является некоторым

числом. Отсюда следует, что к алгебраическим выражениям применимы все законы и свойства арифметических действий, которые были приведены в предыдущей главе. Итак, применение законов и свойств арифметических действий преобразует данное алгебраическое выражение в тождественное ему выражение.

Тождественные преобразования представляют собой работу, которую мы проводим с числовыми и буквенными выражениями, а также с выражениями, которые содержат переменные. Все эти преобразования мы проводим для того, чтобы привести исходное выражение к такому виду, который будет удобен для решения задачи. Основные виды тождественных преобразований мы рассмотрим в этой теме.

Тождественное преобразование выражения. Что это такое?

Впервые встречаемся с понятием тождественных преобразованный мы на уроках алгебры в 7 классе. Тогда же мы впервые знакомимся с понятием тождественно равных выражений. Давайте разберемся с понятиями и определениями, чтобы облегчить усвоение темы.

Определение 1

Тождественное преобразование выражения – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Часто это определение используется в сокращенном виде, в котором опускается слово «тождественное». Предполагается, что мы в любом случае проводим преобразование выражения таким образом, чтобы получить выражение, тождественное исходному, и это не требуется отдельно подчеркивать.

Проиллюстрируем данное определение примерами.

Пример 1

Если мы заменим выражение x + 3 − 2 на тождественно равное ему выражение x + 1 , то мы проведем при этом тождественное преобразование выражения x + 3 − 2 .

Пример 2

Замена выражения 2 · a 6 на выражение a 3 – это тождественное преобразование, тогда как замена выражения x на выражение x 2 не является тождественным преобразованием, так как выражения x и x 2 не являются тождественно равными.

Обращаем ваше внимание на форму записи выражений при проведении тождественных преобразований. Обычно мы записываем исходное и полученное в ходе преобразования выражения в виде равенства. Так, запись x + 1 + 2 = x + 3 означает, что выражение x + 1 + 2 было приведено к виду x + 3 .

Последовательное выполнение действий приводит нас к цепочке равенств, которая представляет собой несколько расположенных подряд тождественных преобразований. Так, запись x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x мы понимаем как последовательное проведение двух преобразований: сначала выражение x + 1 + 2 привели к виду x + 3 , а его – к виду 3 + x .

Тождественные преобразования и ОДЗ

Ряд выражений, которые мы начинаем изучать в 8 классе, имеют смысл не при любых значениях переменных. Проведение тождественных преобразований в этих случаях требует от нас внимания к области допустимых значений переменных (ОДЗ). Выполнение тождественных преобразований может оставлять ОДЗ неизменной или же сужать ее.

Пример 3

При выполнении перехода от выражения a + (− b) к выражению a − b область допустимых значений переменных a и b остается прежней.

Пример 4

Переход от выражения x к выражению x 2 x приводит к сужению области допустимых значений переменной x от множества всех действительных чисел до множества всех действительных чисел, из которого был исключен ноль.

Пример 5

Тождественное преобразование выражения x 2 x выражением х приводит к расширению области допустимых значений переменной x от множества всех действительных чисел за исключением нуля до множества всех действительных чисел.

Сужение или расширение области допустимых значений переменных при проведении тождественных преобразований имеет значение при решении задач, так как может повлиять на точность проведения вычислений и привести к появлению ошибок.

Основные тождественные преобразования

Давайте теперь посмотрим, какими бывают тождественные преобразования и как они выполняются. Выделим те виды тождественных преобразований, с которыми нам приходится иметь дело чаще всего, в группу основных.

Помимо основных тождественных преобразований существует ряд преобразований, которые относятся к выражениям конкретного вида. Для дробей это приемы сокращения и приведения к новому знаменателю. Для выражений с корнями и степенями все действия, которые выполняются на базе свойств корней и степеней. Для логарифмических выражений действия, которые проводятся на основе свойств логарифмов. Для тригонометрических выражений все действия с использованием тригонометрических формул. Все эти частные преобразования подробно разбираются в отдельных темах, которые можно найти на нашем ресурсе. В связи с этим в этой стстье мы на них останавливаться не будем.

Перейдем к рассмотрению основных тождественных преобразований.

Перестановка местами слагаемых, множителей

Начнем с перестановки слагаемых местами. С этим тождественным преобразованием мы имеем дело чаще всего. И основным правилом здесь можно считать следующее утверждение: в любой сумме перестановка слагаемых местами не отражается на результате.

Основано это правило на переместительном и сочетательном свойствах сложения. Эти свойства позволяют нам переставлять слагаемые местами и получать при этом выражения, которые тождественно равны исходным. Именно поэтому перестановка слагаемых местами в сумме является тождественным преобразованием.

Пример 6

У нас есть сумма трех слагаемых 3 + 5 + 7 . Если мы поменяем местами слагаемые 3 и 5 , то выражение примет вид 5 + 3 + 7 . Вариантов перестановки местами слагаемых в данном случае несколько. Все они приводят к получению выражений, тождественно равных исходному.

В качестве слагаемых в сумме могут выступать не только числа, но и выражения. Их точно так же, как и числа, можно переставлять местами, не влияя на конечный результат вычислений.

Пример 7

В сумме трех слагаемых 1 a + b , a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 и - 12 · a вида 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 + (- 12) · a слагаемые можно переставить, например, так (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 . В свою очередь можно переставить местами слагаемые в знаменателе дроби 1 a + b , при этом дробь примет вид 1 b + a . А выражение под знаком корня a 2 + 2 · a + 5 тоже является суммой, в которой можно поменять местами слагаемые.

Точно так же, как и слагаемые, в исходных выражениях можно менять местами множители и получать тождественно верные уравнения. Проведение этого действия регулируется следующим правилом:

Определение 2

В произведении перестановка множителей местами не влияет на результат вычислений.

Основано это правило на переместительном и сочетательном свойствах умножения, которые подтверждают верность тождественного преобразования.

Пример 8

Произведение 3 · 5 · 7 перестановкой множителей можно представить в одном из следующих видов: 5 · 3 · 7 , 5 · 7 · 3 , 7 · 3 · 5 , 7 · 5 · 3 или 3 · 7 · 5 .

Пример 9

Перестановка множителей в произведении x + 1 · x 2 - x + 1 x даст x 2 - x + 1 x · x + 1

Раскрытие скобок

Скобки могут содержать записи числовых выражений и выражений с переменными. Эти выражения могут быть преобразованы в тождественно равные выражения, в которых скобок не будет вообще или их будет меньше, чем в исходных выражениях. Этот способ преобразования выражений называют раскрытием скобок.

Пример 10

Проведем действия со скобками в выражении вида 3 + x − 1 x для того, чтобы получить тождественно верное выражение 3 + x − 1 x .

Выражение 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x можно преобразовать в тождественно равное выражение без скобок 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Правила преобразования выражений со скобками мы подробно разобрали в теме «Раскрытие скобок», которая размещена на нашем ресурсе.

Группировка слагаемых, множителей

В случаях, когда мы имеем дело с тремя и большим количеством слагаемых, мы можем прибегнуть к такому виду тождественных преобразований как группировка слагаемых. Под этим способом преобразований подразумевают объединение нескольких слагаемых в группу путем их перестановки и заключения в скобки.

При проведении группировки слагаемые меняются местами таким образом, чтобы группируемые слагаемые оказались в записи выражения рядом. После этого их можно заключить в скобки.

Пример 11

Возьмем выражение 5 + 7 + 1 . Если мы сгруппируем первое слагаемое с третьим, то получим (5 + 1) + 7 .

Группировка множителей проводится аналогично группировке слагаемых.

Пример 12

В произведении 2 · 3 · 4 · 5 можно сгруппировать первый множитель с третьим, а второй – с четвертым, при этом придем к выражению (2 · 4) · (3 · 5) . А если бы мы сгруппировали первый, второй и четвертый множители, то получили бы выражение (2 · 3 · 5) · 4 .

Слагаемые и множители, которые группируются, могут быть представлены как простыми числами, так и выражениями. Правила группировки были подробно разобраны в теме «Группировка слагаемых и множителей».

Замена разностей суммами, частных произведениями и обратно

Замена разностей суммами стала возможна благодаря нашему знакомству с противоположными числами. Теперь вычитание из числа a числа b можно рассматривать как прибавление к числу a числа − b . Равенство a − b = a + (− b) можно считать справедливым и на его основе проводить замену разностей суммами.

Пример 13

Возьмем выражение 4 + 3 − 2 , в котором разность чисел 3 − 2 мы можем записать как сумму 3 + (− 2) . Получим 4 + 3 + (− 2) .

Пример 14

Все разности в выражении 5 + 2 · x − x 2 − 3 · x 3 − 0 , 2 можно заменить суммами как 5 + 2 · x + (− x 2) + (− 3 · x 3) + (− 0 , 2) .

Мы можем переходить к суммам от любых разностей. Аналогично мы можем произвести обратную замену.

Замена деления на умножение на число, обратное делителю, становится возможным благодаря понятию взаимно обратных чисел. Это преобразование можно записать равенством a: b = a · (b − 1) .

Это правило было положено в основу правила деления обыкновенных дробей.

Пример 15

Частное 1 2: 3 5 можно заменить произведением вида 1 2 · 5 3 .

Точно также по аналогии деление может быть заменено умножением.

Пример 16

В случае с выражением 1 + 5: x: (x + 3) заменить деление на x можно на умножение на 1 x . Деление на x + 3 мы можем заменить умножением на 1 x + 3 . Преобразование позволяет нам получить выражение, тождественное исходному: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3 .

Замена умножения делением поводится по схеме a · b = a: (b − 1) .

Пример 17

В выражении 5 · x x 2 + 1 - 3 умножение можно заменить делением как 5: x 2 + 1 x - 3 .

Выполнение действий с числами

Выполнение действий с числами подчиняется правилу порядка выполнения действий. Сначала проводятся действия со степенями чисел и корнями из чисел. После этого мы заменяем логарифмы, тригонометрические и прочие функции на их значения. Затем выполняются действия в скобках. И затем уже можно проводить все остальные действия слева направо. Важно помнить, что умножение и деление проводят до сложения и вычитания.

Действия с числами позволяют преобразовать исходное выражение в тождественное равное ему.

Пример 18

Преобразуем выражение 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x ,выполнив все возможные действия с числами.

Решение

Первым делом обратим внимание на степень 2 3 и корень 4 и вычислим их значения: 2 3 = 8 и 4 = 2 2 = 2 .

Подставим полученные значения в исходное выражение и получим: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Теперь проведем действия в скобках: 8 − 1 = 7 . И перейдем к выражению 3 · 7 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Нам осталось выполнить умножение чисел 3 и 7 . Получаем: 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Ответ: 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x = 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x)

Действиям с числами могут предшествовать другие виды тождественных преобразований, таких, например, как группировка чисел или раскрытие скобок.

Пример 19

Возьмем выражение 3 + 2 · (6: 3) · x · (y 3 · 4) − 2 + 11 .

Решение

Первым делом проведем замену частного в скобках 6: 3 на его значение 2 . Получим: 3 + 2 · 2 · x · (y 3 · 4) − 2 + 11 .

Раскроем скобки: 3 + 2 · 2 · x · (y 3 · 4) − 2 + 11 = 3 + 2 · 2 · x · y 3 · 4 − 2 + 11 .

Сгруппируем числовые множители в произведении, а также слагаемые, являющиеся числами: (3 − 2 + 11) + (2 · 2 · 4) · x · y 3 .

Выполним действия в скобках: (3 − 2 + 11) + (2 · 2 · 4) · x · y 3 = 12 + 16 · x · y 3

Ответ: 3 + 2 · (6: 3) · x · (y 3 · 4) − 2 + 11 = 12 + 16 · x · y 3

Если мы работаем с числовыми выражениями, то целью нашей работы будет нахождение значения выражения. Если же мы преобразуем выражения с переменными, то целью наших действий будет упрощение выражения.

Вынесение за скобки общего множителя

В тех случаях, когда слагаемые в выражении имеют одинаковый множитель, то мы можем вынести этот общий множитель за скобки. Для этого нам сначала необходимо представить исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, которое состоит из исходных слагаемых без общего множителя.

Пример 20

В числовом выражении 2 · 7 + 2 · 3 мы можем вынести общий множитель 2 за скобки и получить тождественно верное выражение вида 2 · (7 + 3) .

Освежить в памяти правил вынесения общего множителя за скобки вы можете в соответствующем разделе нашего ресурса. В материале подробно рассмотрены правила вынесения общего множителя за скобки и приведены многочисленные примеры.

Приведение подобных слагаемых

Теперь перейдем к суммам, которые содержат подобные слагаемые. Тут возможно два варианта: суммы, содержащие одинаковые слагаемые, и суммы, слагаемые которых отличаются числовым коэффициентом. Действия с суммами, содержащими подобные слагаемые, носит название приведения подобных слагаемых. Проводится оно следующим образом: мы выносим общую буквенную часть за скобки и проводим вычисление суммы числовых коэффициентов в скобках.

Пример 21

Рассмотрим выражение 1 + 4 · x − 2 · x . Мы можем вынести буквенную часть x за скобки и получить выражение 1 + x · (4 − 2) . Проведем вычисление значения выражения в скобках и получим сумму вида 1 + x · 2 .

Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями

Числа и выражения, из которых составлено исходное выражение, можно заменять тождественно равными им выражениями. Такое преобразование исходного выражения приводит к тождественно равному ему выражению.

Пример 22 Пример 23

Рассмотрим выражение 1 + a 5 , в котором степень a 5 мы можем заменить тождественно равным ей произведением, например, вида a · a 4 . Это нам даст выражение 1 + a · a 4 .

Выполненное преобразование искусственное. Оно имеет смысл лишь при подготовке к проведению других преобразований.

Пример 24

Рассмотрим преобразование суммы 4 · x 3 + 2 · x 2 . Здесь слагаемое 4 · x 3 мы можем представить как произведение 2 · x 2 · 2 · x . В результате исходное выражение принимает вид 2 · x 2 · 2 · x + 2 · x 2 . Теперь мы можем выделить общий множитель 2 · x 2 и вынести его за скобки: 2 · x 2 · (2 · x + 1) .

Прибавление и вычитание одного и того же числа

Прибавление и одновременное вычитание одного и того же числа или выражения являетс искусственным приемом преобразования выражений.

Пример 25

Рассмотрим выражение x 2 + 2 · x . Мы можем прибавить или отнять от него единицу, что позволит нам в последующем провести еще одно тождественное преобразование - выделить квадрат двучлена: x 2 + 2 · x = x 2 + 2 · x + 1 − 1 = (x + 1) 2 − 1 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Обе части которого являются тождественно равными выражениями. Тождества делятся на буквенные и числовые.

Тождественные выражения

Два алгебраических выражения называются тождественными (или тождественно равными ), если при любых численных значениях букв они имеют одинаковую численную величину. Таковы, например, выражения:

x (5 + x ) и 5x + x 2

Оба представленных выражения, при любом значении x будут равны друг другу, поэтому их можно назвать тождественными или тождественно равными.

Так же тождественными можно назвать и числовые выражения, равные между собой. Например:

20 - 8 и 10 + 2

Буквенные и числовые тождества

Буквенное тождество - это равенство, которое справедливо при любых значениях входящих в него букв. Другими словами, такое равенство, у которого обе части являются тождественно равными выражениями, например:

(a + b )m = am + bm
(a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Числовое тождество - это равенство, содержащее только числа, выраженные цифрами, у которого обе части имеют одинаковую численную величину. Например:

4 + 5 + 2 = 3 + 8
5 · (4 + 6) = 50

Тождественные преобразования выражений

Все алгебраические действия представляют собой преобразование одного алгебраического выражения в другое, тождественное первому.

При вычислении значения выражения, раскрытии скобок, вынесении общего множителя за скобки и в ряде других случаев одни выражения заменяются другими, тождественно равными им. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения . Все преобразования выражений выполняются на основе свойств действий над числами.

Рассмотрим тождественное преобразование выражения на примере вынесения общего множителя за скобки:

10x - 7x + 3x = (10 - 7 + 3)x = 6x