Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства сферы. План-конспект занятия на тему: План занятия по геометрии. Тема: "Шар. Сечение шара плоскостью"

ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ

КРУГЛЫЕ ТЕЛА

II ШАР

Сечение шара плоскостью

125. Определение . Тело, происходящее от вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром , а поверхность, образуемая при этом полуокружностью, называется шаровой или сферической поверхностью. Можно также сказать, что эта поверхность есть геометрическое место точек, одинаково удалённых от одной и той же точки (называемой центром шара).

Отрезок, соединяющий центр с какой-нибудь точкой поверхности, называется радиусом , а отрезок, соединяющий две точки поверхности и проходящий через центр, называется диаметром шара. Все радиусы одного шара равны между собой; всякий диаметр равен двум радиусам.

Два шара одинакового радиуса равны, потому что при вложении они совмещаются.

126. Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг.

1) Предположим сначала, что (черт. 137) секущая плоскость АВ проходит через центр О шара. Все точки линии пересечения принадлежат шаровой поверхности и поэтому одинаково удалены от точки О, лежащей в секущей плоскости; следовательно, сечение есть круг с центром в точке О.

2) Положим теперь, что секущая плоскость СО не проходит через центр. Опустим на неё из центра перяендикуляр OK и возьмём на линии пересечения какую-нибудь точку М. Соединив её с О и А, получим прямоугольный треугольник МОК, из которого находим:

MK =√OM 2 - ОК 2 . (1)

Так как длины отрезков ОМ и ОК не изменяются при изменении положения точки М на линии пересечения, то расстояние МК есть величина постоянная для данного сечения; значит, линия пересечения есть окружность, центр которой есть точка К.

127. Следствие. Пусть R и r будут длины радиуса шара и радиуса круга сечения, а
d - расстояние секущей плоскости от центра, тогда равенство (1) примет вид:
r =√R 2 - d 2 .

Из этой формулы выводим:

1) Наибольший радиус сечения получается при d = 0, т. е. когда секущая плоскость проходит через центр шара . В этом случае r =R. Круг, получаемый в этом случае, называется большим кругом .

2) Наименьший радиус сечения получается при d = R. В этом случае r = 0, т. е. круг сечения обращается в точку.

3) Сечения, равноотстоящие от центра шара, равны.

4) Из двух сечений, неодинаково удалённых от центра шара, то, которое ближе к центру, имеет больший радиус.

128. Теорема. Всякая плоскость (Р, черт. 138), проходящая через центр шара, делит его поверхность на две симметричные и равные части.

Возьмём на поверхности шара какую-нибудь точку А; пусть АВ есть перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость Р. Продолжим АВ до пересечения с поверхностью шара в точке С. Проведя ВО, мы получим два равных прямоугольных треугольника
АОВ и ВОС (общий катет ВО, а гипотенузы равны, как радиусы шара); следовательно, АВ = ВС; таким образом, всякой точке А поверхности шара соответствует другая точка С этой поверхности, симметричная относительно плоскости Р с точкой А. Значит, плоскость Р делит поверхность шара на две симметричные части.

Эти части не только симметричны, но и равны, так как, разрезав шар по плоскости Р, мы можем вложить одну из двух частей в другую и совместить эти части.

129. Теорема. Через две точка шаровой поверхности, не лежащие на концах одного диаметра, можно провести окружность большого круга и только одну .

Пусть на шаровой поверхности (черт. 139), имеющей центр О, взяты какие-нибудь две точки, например С и N, не лежащие на одной прямой с точкой О. Тогда через точки С, О к N можно провести плоскость. Эта плоскость, проходя через центр О, даст в пересечении с шаровой поверхностью окружность большого круга.

Другой окружности большого круга через те же две точки С и N провести нельзя. Действительно, всякая окружность большого круга должна, по определению, лежать в плоскости, проходящей через центр шара; следовательно, если бы через С и N можно было провести ещё другую окружность большого круга, тогда выходило бы, что через три точки С, N и О, не лежащие на одной прямой, можно провести две различные плоскости, что невозможно.

130. Теорема. Окружности двух больших кругов при пересечении делятся пополам.

Центр О (черт. 139), находясь на плоскостях обоих больших кругов, лежит на прямой, по которой эти круги пересекаются; значит, эта прямая есть диаметр того и другого круга, а диаметр делит окружность пополам.

Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Доказательство. Пусть б -- секущая плоскость и О -- центр шара (рис. 453). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость б и обозначим через О" основание этого перпендикуляра.

Пусть X -- произвольная точка шара, принадлежащая плоскости б. По теореме Пифагора 0X2 = 00"2+О"Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то т. е. любая точка сечения шара плоскостью б находится от точки О" на расстоянии, не большем, следовательно, она принадлежит кругу с центром О" и радиусом.

Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью есть круг с центром в точке О". Теорема доказана.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис. 454), а сечение сферы -- большой окружностью.

Задачи

Задача 1 . Два сечения шара радиуса 10 см параллельными плоскостями имеют радиусы, равные 6 еж и 8 см. Найти расстояние между секущими плоскостями.

Решение. Находим расстояние каждой из параллельных плоскостей до центра шара:

в зависимости от того, лежит ли центр шара между плоскостями или нет, получаем два различных ответа к задаче:

Задача 2. Расстояние между центрами двух шаров равно d; радиусы их R1 и R2. Найти радиус окружности, по которой они пересекаются.

Решение. Искомый радиус служит высотой треугольника OMO1 (рис. 5). Площадь S треугольника ОМО2 находится по трем сторонам 001 = d, R1 R2 и искомый радиус равен r=2S/d. Прямая линия также может занимать по отношению к шару три существенно различных положения. Именно, она может пересечь поверхность шара в двух различных точках, не пересе­кать ее или иметь с ней одну общую точку. В последнем случае она будет называться касательной к шару

Задача 3 Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

В работе содержится план конспект занятия по теме:"Шар. Сечение шара плоскостью"(конспект достаточно схематичен). Для более полного представления об этом занятии рекомендую просмотреть, прилагающуюся к нему презентацию, опорный конспект, рефлексивные карты, а так же компьютерные тесты. Конспект соответствует новым ФГОС для СПО.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

В истории черпаем мы мудрость, в поэзии – остроумие, в математике – проницательность. Роджер Бэкон Решение трудной математической проблемы можно сравнить с взятием крепости. Наум Яковлевич Виленкин

Составьте по чертежу задачу и решите ее. S B O A 10 см? ?

Составьте по чертежу задачу и решите ее. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов. Образующая конуса равна 10см. Найдите диаметр конуса и его высоту. S B O A 10см

Решение задачи: Треугольник А S В – равносторонний. У равностороннего треугольника все стороны равны. В нашам случае образующая равна диаметру. Значит диаметр равен 10 см. Треугольник О S В – прямоугольный. По теореме Пифагора: S О= √ S В 2 - ОВ 2 = S B O A

Тема занятия Шар. Сечение шара плоскостью

Цель занятия: Дать определения понятиям шар, сфера и их элементов, выяснить какая фигура лежит в сечении шара плоскостью

ЗАДАЧИ: изучить основные понятия, связанные с шаром и сферой; в ыяснить какие могут получаться фигуры при сечении шара плоскостью, научиться выполнять чертеж шара на плоскости; развивать точность и ясность математической речи, учиться аргументировать выводы;

«Сфера и шар»

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного (радиус шара), от данной точки (центр шара). Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Точками сферы являются все точки шара, удалённые от центра на расстояние, равное радиусу. /

т.О – центр сферы; R – радиус сферы; АВ – диаметр сферы – отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр. А, В – диаметрально противоположные точки шара. А В О R

Шар – тело вращения полукруга вокруг его диаметра как оси /

Сфера – тело вращения полуокружности вокруг его диаметра как оси /

Применение сферы /

Сферическая геометрия нужна не только астрономам, штурманам морских кораблей, самолетов, космических кораблей, которые по звездам определяют свои координаты, но и строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, а также при геодезических съёмках больших территорий поверхности Земли, когда становится необходимым учитывать её шарообразность. /

ЗАРЯДКА ДЛЯ ГЛАЗ

Сечения шара плоскостью.

/ http://www.etudes.ru/ru/sketches/

Теорема 1 Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. ОО" – перпендикуляр. О" - центр круга – основание перпендикуляра.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы - большой окружностью. Сечение шара

Решение задачи 29, с.337:

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/reshenie-zadach-po-teme-sfera-shar?seconds=0&chapter_id=219

Сказка о возникновении шара. Однажды, оставшись один дома, красавец Полукруг долго принаряживался и жеманился перед небольшим в оловянных рамках зеркалом и не мог налюбоваться собою. «Что людям вздумалось расславлять, будто я хорош?- говорил он. – Лгут люди, я совсем не хорош. Почему девушки провозгласили, что лучшего парня и не было еще никогда и не будет никогда на селе Хатанга?». Полукруг знал и слышал все, что про него говорили, и был капризным, как красавец. Он мог целый день любоваться собой перед зеркалом, рассматривая себя со всех сторон. И вдруг случилось чудо, когда Полукруг повернулся перед зеркалом вокруг себя, он увидел в зеркале собственное отражение в форме Шара.

ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ Шаром принято называть тело, ограниченное сферой, т.е. шар и сфера – это разные геометрические тела. Однако оба слова « шар» и « сфера» происходят от одного и того же греческого слова « сфайра » - мяч. При этом слово « шар» образовалось от перехода согласных сф в ш. В XI книге «Начал» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы. Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники.

ЗАДАЧИ: изучить основные понятия, связанные с шаром и сферой; формировать навыки решения задач; в ыяснить какие могут получаться фигуры при сечении шара плоскостью; развивать точность и ясность математической речи, учиться аргументировать сделанные выводы; научиться изображать шар на плоскости;

СПАСИБО ЗА УРОК

Предварительный просмотр:

Опорный конспект учебного занятия по теме:

«ШАР. СЕЧЕНИЕ ШАРА ПЛОСКОСТЬЮ»

Тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки называется________________________________.

Эта точка называется____________________________шара.

Данное расстояние это _________________________шара.

Граница шара называется _____________________________________________, или________________________.

Отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности- это ___________________________.

Это отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и, проходящий через центр шара.

Концы любого диаметра называются________________________________________________ точками шара.

Шар является телом вращения. Он получается вращением полукруга вокруг его диметра как оси.

Выполни чертеж шара. Обозначь на нем его центр, проведи и обозначь радиус и диаметр, назови диаметрально противоположные точки шара.

ТЕОРЕМА. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Диаметральная плоскость –это плоскость, проходящая через__________________________шара.

Большой круг- это сечение шара______________________________________.

Большая окружность- это сечение ________________________ диаметральной плоскостью.

Рефлексивная карта студент__________________

1. Оцени решение поставленных учебных задач

2. Оценка личностных приращений.

3. Самооценка.

А) Поставь себе оценку, которую ты по своему мнению заслуживаешь за работу на уроке.

Б) Сделай личные выводы

Предварительный просмотр:

Конспект занятия по геометрии в группе 1Д.

Тема занятия: "Шар. Сечение шара плоскостью".

Продолжительность занятия: 45 минут.

Учебник: «Геометрия, 10-11 класс», Погорелов А.В.

На занятии применяются элементы следующих современных образовательных технологий:

• Групповые технологии
• Здоровьесберегающие технологии
• Информационные компьютерные технологии

Концептуальная цель преподавания геометрии: развитие логического и абстрактного мышления, пространственного воображения и исследовательских способностей.

Цель занятия: ввести понятия шара и сферы и их элементов, выяснить какая фигура лежит в сечении шара плоскостью;

Задачи:

Изучить основные понятия, связанные с шаром и сферой; виды взаимного расположения шара и плоскости (сечения шара плоскостью);
- формировать навыки решения задач;

Развивать способности к самостоятельному планированию и организации работы, к самоанализу и способности коррекции собственной деятельности;

Развивать точность и ясность математической речи

Воспитывать познавательный интерес к математике;
- воспитывать информационную культуру и культуру общения;
- воспитывать наблюдательность, самостоятельность, способность к коллективной работе.

Материально-дидактическое оснащение: компьютер, проекционный экран, проектор.

Формы работы: групповая работа, самостоятельная работа.

Тип урока: урок получения новых знаний.

Ход урока

I. Мотивация к началу занятия - 1 мин:

Приветствие.

В истории черпаем мы мудрость,

в поэзии – остроумие,

в математике – проницательность.
Роджер Бэкон

Решение трудной математической проблемы

Можно сравнить с взятием крепости.

Наум Яковлевич Виленкин

Обращаю внимание на раздаточный материал и как с ним работать (Слайд 1)

II. Актуализация знаний учащихся - 7мин.:

а) Выполнение компьютерного теста (9-10 чел. )

б) С обучающимися не занятыми компьютерным тестированием составление и решение задачи по готовому чертежу (оставшаяся часть группы) (Слайд 2-4)

в) обобщение результатов работы и предварительные оценки за урок(тест и решение задачи)

III. Самоопределение к деятельности.

В этом году мы с Вами начали изучать раздел геометрии, который называется стереометрия. Что изучает стереометрия?

• Посмотрите на стол и назовите какие тела Вы видите?
• Покажите призмы
• Покажите цилиндры; конусы
• Кто знает как называется тело оставшееся на столе?
• Как Вы думаете какова тема нашего сегодняшнего занятия?
• Попробуйте сформулировать основную цель нашего занятия.( ввести понятия шара и сферы и их элементов, выяснить какая фигура лежит в сечении шара плоскостью )
• Какие задачи для достижения этой цели мы себе поставим?

(Слайд 4-6 тема, цель, задачи)

Изучение нового материала – 10 мин:

А)Тема сформулирована, цель и задачи ясны – вперед к новым знаниям.

Давайте вспомним, что в школе называли кругом?

Кто попробует по аналогии дать определение шара, учитывая что это тело пространства? Дают определение шара, радиуса шара, диаметра шара.(по аналогии идет работа со сферой; одновременно студенты заполняют опорный конспект)

Учимся изображать шар и его элементы на плоскости, показывать на чертеже эти элементы, находить предметы шарообразной формы в окружающей обстановке Слайд 7-9

Физминутка для снятия усталости с глаз и стресса

Б)Одной из целей занятия у нас стоит: выяснить какие фигуры могут получаться при сечении шара плоскостью. Сначала вспомним какие сечения могут быть у конуса (демонстрация математического этюда через Интернет)

Подумайте, включите свое пространственное воображение и сделайте предположение о том какие сечения могут быть у шара.

Великий российский математик Лобачевский говорил: « У математики нет авторитетов. Единственный аргумент истинности- довод».

Сформулирует и докажет теорему о сечении шара плоскостью(.....) (10 мин)

Повторение этапов доказательства.

В) история понятий шар и сфера (......)

IV. Закрепление изученного материала - 5мин

Решение задачи.

Работа в парах и проверка при помощи интернет

V Итог занятия. Рефлексия.

Вопросы для закрепления :

• Что такое шар?
• Что такое шаровая поверхность или сфера?
• Что такое радиус, диаметр, хорда шара?
• Какие точки называются диаметрально противоположными?
• Что является сечением шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстояние, меньшее радиуса шара?
• Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара?
• Что такое большой круг, большая окружность?

Заполнение рефлексивной карты, выяснение все ли задачи урока достигнуты.

VI. Домашнее задание 1 мин:

п. 58, 59, № 30, 31

Инструкции по выполнению домашнего задания.

Или сферой . Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, называется радиусом . Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром . Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара. Всякое сечение шара плоскостью есть круг . Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра на секущую плоскость. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью . Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом , а сечение сферы - большой окружностью . Любая диаметральная плоскость шара являются его плоскостью симметрии . Центр шара является его центром симметрии . Плоскость, проходящая через точку шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной плоскостью . Данная точка называется точкой касания . Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания. Прямая, проходящая через заданную точку шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной . Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причем все они лежат в касательной плоскости шара. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Шаровым слоем называется часть шара, расположенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар. Шаровой сектор получается из шарового сегмента и конуса. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется. Основные формулы Шар (R = ОВ - радиус): S б = 4πR 2 ; V = 4πR 3 / 3. Шаровой сегмент (R = ОВ - радиус шара, h = СК - высота сегмента, r = КВ - радиус основания сегмента): V сегм = πh 2 (R - h / 3) или V сегм = πh(h 2 + 3r 2) / 6 ; S сегм = 2πRh . Шаровой сектор (R = ОВ - радиус шара, h = СК - высота сегмента): V = V сегм ± V кон, «+» - если сегмент меньше,«-» - если сегмент больше полусферы. или V = V сегм + V кон = πh 2 (R - h / 3) + πr 2 (R - h) / 3 . Шаровой слой (R 1 и R 2 - радиусы оснований шарового слоя; h = СК - высота шарового слоя или расстояние между основаниями): V ш/сл = πh 3 / 6 + πh(R 1 2 + R 2 2 ) / 2 ; S ш/сл = 2πRh . Пример 1. Объем шара равен 288π см 3 . Найти диаметр шара. Решение V = πd 3 / 6 288π = πd 3 / 6 πd 3 = 1728π d 3 = 1728 d = 12 см. Ответ: 12. Пример 2. Три равных сферы радиусом r касаются друг друга и некоторой плоскости. Определить радиус четвертой сферы, касающейся трех данных и данной плоскости. Решение Пусть О 1 , О 2 , О 3 - центры данных сфер и О - центр четвертой сферы, касающейся трех данных и данной плоскости. Пусть А, В, С, Т - точки касания сфер с данной плоскостью. Точки касания двух сфер лежат на линии центров этих сфер, поэтому О 1 О 2 = О 2 О 3 = О 3 О 1 = 2r . Точки равноудалены от плоскости АВС , поэтому АВО 2 О 1 , АВО 2 О 3 , АВО 3 О 1 - равные прямоугольники, следовательно, ∆АВС - равносторонний со стороной 2r . Пусть х - искомый радиус четвертой сферы. Тогда ОТ = х . Следовательно, Аналогично Значит, Т - центр равностороннего треугольника. Поэтому Отсюда Ответ: r / 3 . Сфера, вписанная в пирамиду В каждую правильную пирамиду можно вписать сферу. Центр сферы лежит на высоте пирамиды в точке ее пересечения с биссектрисой линейного угла при ребре основания пирамиды. Замечание. Если в пирамиду, необязательно правильную, можно вписать сферу, то радиус r этой сферы можно вычислить по формуле r = 3V / S пп , где V - объем пирамиды, S пп - площадь ее полной поверхности. Пример 3. Коническая воронка, радиус основания которой R , а высота H , наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар. Каким должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытесненный из воронки погруженной частью шара, был максимальным? Решение Проведем сечение через центр конуса. Данное сечение образует равнобедренный треугольник. Если в воронке находится шар, то максимальный размер его радиуса будет равен радиусу вписанной в получившийся равнобедренный треугольник окружности. Радиус вписанной в треугольник окружности равен: r = S / p , где S - площадь треугольника, p - его полупериметр. Площадь равнобедренного треугольника равна половине высоты (H = SO ), умноженной на основание. Но поскольку основание - удвоенный радиус конуса, то S = RH . Полупериметр равен p = 1/2 (2R + 2m) = R + m . m - длина каждой из равных сторон равнобедренного треугольника; R - радиус окружности, составляющей основание конуса. Найдем m по теореме Пифагора: , откуда Кратко это выглядит следующим образом: Ответ: Пример 4. В правильной треугольной пирамиде с двугранным углом при основании, равным α , расположены два шара. Первый шар касается всех граней пирамиды, а второй шар касается всех боковых граней пирамиды и первого шара. Найти отношение радиуса первого шара к радиусу второго шара, если tgα = 24/7 . Решение
Пусть РАВС - правильная пирамида и точка Н - центр ее основания АВС . Пусть М - середина ребра ВС . Тогда - линейный угол двугранного угла , который по условию равен α , причем α < 90° . Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой . Пусть НН 1 - диаметр первого шара и плоскость, проходящая через точку Н 1 перпендикулярно прямой РН , пересекает боковые ребра РА, РВ, РС соответственно в точках А 1 , В 1 , С 1 . Тогда Н 1 будет центром правильного ∆А 1 В 1 С 1 , а пирамида РА 1 В 1 С 1 будет подобна пирамиде РАВС с коэффициентом подобия k = РН 1 / РН . Заметим, что второй шар, с центром в точке О 1 , является вписанным в пирамиду РА 1 В 1 С 1 и поэтому отношение радиусов вписанных шаров равно коэффициенту подобия: ОН / ОН 1 = РН / РН 1 . Из равенства tgα = 24/7 находим: Пусть АВ = х . Тогда Отсюда искомое отношение ОН / О 1 Н 1 = 16/9. Ответ: 16/9. Сфера, вписанная в призму Диаметр D сферы, вписанной в призму, равен высоте Н призмы: D = 2R = H . Радиус R сферы, вписанной в призму, равен радиусу окружности, вписанной в перпендикулярное сечение призмы. Если в прямую призму вписана сфера, то в основание этой призмы можно вписать окружность. Радиус R сферы, вписанной в прямую призму, равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы. Теорема 1 Пусть в основание прямой призмы можно вписать окружность, и высота Н призмы равна диаметру D этой окружности. Тогда в эту призму можно вписать сферу диаметром D . Центр этой вписанной сферы совпадает с серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, вписанных в основания призмы. Доказательство Пусть АВС…А 1 В 1 С 1 … - прямая призма и О - центр окружности, вписанной в ее основание АВС . Тогда точка О равноудалена от всех сторон основания АВС . Пусть О 1 - ортогональная проекция точки О на основание А 1 В 1 С 1 . Тогда О 1 равноудалена от всех сторон основания А 1 В 1 С 1 , и ОО 1 || АА 1 . Отсюда следует, что прямая ОО 1 параллельна каждой плоскости боковой грани призмы, а длина отрезка ОО 1 равна высоте призмы и, по условию, диаметру окружности, вписанной в основание призмы. Значит, точки отрезка ОО 1 равноудалены от боковых граней призмы, а середина F отрезка ОО 1 , равноудаленная от плоскостей оснований призмы, будет равноудалена от всех граней призмы. То есть F - центр сферы, вписанной в призму, и диаметр этой сферы равен диаметру окружности, вписанной в основание призмы. Теорема доказана. Теорема 2 Пусть в перпендикулярное сечение наклонной призмы можно вписать окружность, и высота призмы равна диаметру этой окружности. Тогда в эту наклонную призму можно вписать сферу. Центр этой сферы делит высоту, проходящую через центр окружности, вписанной в перпендикулярное сечение, пополам. Доказательство
Пусть АВС…А 1 В 1 С 1 … - наклонная призма и F - центр окружности радиусом FK , вписанной в ее перпендикулярное сечение. Поскольку перпендикулярное сечение призмы перпендикулярно каждой плоскости ее боковой грани, то радиусы окружности, вписанной в перпендикулярное сечение, проведенные к сторонам этого сечения, являются перпендикулярами к боковым граням призмы. Следовательно, точка F равноудалена от всех боковых граней. Проведем через точку F прямую ОО 1 , перпендикулярную плоскости оснований призмы, пересекающую эти основания в точках О и О 1 . Тогда ОО 1 - высота призмы. Поскольку по условию ОО 1 = 2FK , то F - середина отрезка ОО 1 : FK = ОО 1 / 2 = FО = FО 1 , т.е. точка F равноудалена от плоскостей всех без исключения граней призмы. Значит, в данную призму можно вписать сферу, центр которой совпадает с точкой F - центром окружности, вписанной в то перпендикулярное сечение призмы, которое делит высоту призмы, проходящую через точку F , пополам. Теорема доказана. Пример 5. В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса 1. Найдите объем параллелепипеда. Решение Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. Вы увидите одно и то же - круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом, а параллелепипед будет кубом. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара. АВ = 2 , а следовательно, объем куба равен 8. Ответ: 8. Пример 6. В правильной треугольной призме со стороной основания, равной , расположены два шара. Первый шар вписан в призму, а второй шар касается одного основания призмы, двух ее боковых граней и первого шара. Найти радиус второго шара. Решение
Пусть АВСА 1 В 1 С 1 - правильная призма и точки Р и Р 1 - центры ее оснований. Тогда центр шара О , вписанного в эту призму, является серединой отрезка РР 1 . Рассмотрим плоскость РВВ 1 . Поскольку призма правильная, то РВ лежит на отрезке BN , который является биссектрисой и высотой ΔАВС . Следовательно, плоскость и является биссекторной плоскостью двугранного угла при боковом ребре ВВ 1 . Поэтому любая точка этой плоскости равноудалена от боковых граней АА 1 ВВ 1 и СС 1 В 1 В . В частности, перпендикуляр ОК , опущенный из точки О на грань АСС 1 А 1 , лежит в плоскости РВВ 1 и равен отрезку ОР . Заметим, что KNPO - квадрат, сторона которого равна радиусу шара, вписанного в данную призму. Пусть О 1 - центр шара, касающегося вписанного шара с центром О и боковых граней АА 1 ВВ 1 и СС 1 В 1 В призмы. Тогда точка О 1 лежит плоскости РВВ 1 , а ее проекция Р 2 на плоскость АВС лежит на отрезке РВ . По условию сторона основания равна

Cтраница 1

Сечение шара плоскостью, проходящей через центр, называется большим кругом. Радиус большого круга равен радиусу шара.  

Сечение шара плоскостью всегда представляет собой круг. На рис. 153 показан шар, пересеченный горизонтальной плоскостью R и фронтально-проектирующей плоскостью Q, заданных следами Rv и Qv. Он проектируется на плоскость Н также в виде круга, имеющего общий центр с очерком горизонтальной проекции шара. Для определения крайних точек t и t большой ог. Промежуточные точки эллипса, например / i и / 2, могут быть получены приемом, описанным при решении аналогичной задачи при построении точек, лежащих на поверхности шара.  

Сечение шара любой вертикальной плоскостью, проходящей через центр, дает большой круг, называемый меридианом.  

Сечение шара плоскостью, расположенной от центра шара на расстоянии, меньшем радиуса, есть круг.  

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Плоскость, проходящая через центр шара, пересекает его по кругу, диаметр которого равен диаметру шара. Для построения изображения усеченного шара строят проекции осей эллипса, а также точек эллипса, лежащих на очерковых образующих шара.  

Сечение шара плоскостью, перпендикулярной его радиусу, делит радиус пополам.  

Сечение шара, проходящее через ось конуса - большой круг шара, в который вписан ДЛВ5 (рис. 185), где [ ЛВ ] - диаметр основания конуса.  

Сечение шара плоскостью, проходящей через основание пирамиды, есть круг, в который вписан ДЛВС. Так как С 90, то центр этого круга О лежит на середине гипотенузы.  

Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом. Кйсательной плоскостью к сфере (шару) называется плоскость имеющая со сферой единственную общую точку. Эту точку называют точкой касания сферы и плоскости. Для того чтобы плоскость была касательной к сфере, необходимо и достаточно, чтобы эта плоскость была перпендикулярна к радиусу сферы и проходила через его конец.  

Поэтому сечение шара, проходящее через его центр и касающееся основания пирамиды, будет являться кругом, вписанным в треугольник SEF, где SE и SF - апофемы боковых граней, a EF - высота ромба.  

Рассмотрим сечение шара, проходящее через ось усеченного конуса. В сечении мы получим круг, в который вписана трапеция ABCD.  

Каждое сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, дает большой круг.  

О Сечение шара, проходящее через ось конуса - это большой круг шара, в который вписан Д ABS (рис. 339), где [ АВ ] - диаметр основания конуса.