Числа. Целые числа. Свойства целых чисел. Наибольшее общее кратное и наименьший общий делитель. Признаки делимости и методы группировки (2019)

§ 77. О долях единицы.

Мы изучили свойства целых чисел и действия над ними. Кроме целых чисел, существуют числа дробные, с которыми мы сейчас ознакомимся. Когда ученик говорит, что ему от дома до школы полчаса ходьбы, то он выражает время не в целых часах, а в частях часа. Когда врач рекомендует больному растворить порошок в четверти стакана горячей воды, то здесь вода измеряется не целыми стаканами, а частями стакана. Если один арбуз нужно разделить поровну между тремя мальчиками, то каждый из них может получить только треть арбуза, или третью его часть.

Во всех случаях мы говорили не о целых единицах, а о частях, или долях единицы. Доли могут быть самые разнообразные, например грамм есть тысячная доля килограмма, миллиметр - миллионная доля километра. Сначала мы будем говорить о наиболее простых долях (половина, треть, четверть и т. д.).

Для большей наглядности будем изображать эти доли отрезками прямой линии.

Если отрезок АВ примем за единицу (рис. 9), то, разделив его на две равные части, мы можем сказать, что полученные отрезки АС и СВ будут половинами отрезка АВ.

Далее, если отрезок DE (рис. 10) примем за единицу и разделим его на 3 равные части, то каждый из полученных отрезков DF, FH, HE будет равен одной трети отрезка DE, а отрезок DH будет равен двум третям отрезка DE. Точно так же отрезок FE будет равен двум третям отрезка DE.

Возьмём ещё отрезок MN (рис. 11), примем его за единицу и разделим на четыре равные части; тогда каждый из отрезков МР, PQ, QR, RN будет равен одной четверти отрезка MN; каждый из отрезков MQ, PR, QN будет равен двум четвертям его, а каждый из отрезков MR и PN равен трём четвертям MN.

В рассмотренных примерах мы ознакомились с половиной, третью, четвертью, двумя третями, двумя четвертями, тремя четвертями, т. е. либо с одной долей единицы, либо с двумя, либо с тремя равными долями единицы.

Число, составленное из одной или нескольких равных долей единицы, называется дробью .

Мы уже сказали, что вместо слова «доля» можно говорить слово «часть»; поэтому дробью можно назвать число, выражающее одну или несколько одинаковых частей единицы.

Таким образом, названные в этом параграфе числа: половина, или одна вторая, одна треть, одна четверть, две трети и прочие, будут дробями.

Часто приходится рассматривать не только доли предметов, но вместе с ними и целые предметы. Например, два мальчика решили разделить поровну имеющиеся у них пять яблок. Очевидно, каждый из них возьмёт сначала по два яблока, а оставшееся последнее яблоко они разрежут на две равные части. Тогда у каждого будет по два с половиной яблока. Здесь число яблок у каждого мальчика выражается целым числом (два) с некоторой дробью (половина).

Числа, в состав которых входит целое число и дробь, называются смешанными числами.

§ 78. Изображение дробей.

Рассмотрим последний чертёж предыдущего параграфа (рис. 11). Мы говорили, что отрезок MR составляет три четверти отрезка MN. Теперь возникает вопрос, как эту дробь, т. е. три четверти, записать с помощью цифр. Припомним, как возникла дробь три четверти. Мы приняли отрезок MN за единицу, разделили его на 4 равные части и из этих частей взяли 3. Вот этот процесс возникновения дроби и должен быть отражён в её записи, т. е. из этой записи должно быть видно, что единица разделена на 4 равные части и полученных частей взято 3. В силу этого дробь изображают с помощью двух чисел, разделённых горизонтальной чёрточкой. Под чёрточкой пишется число, указывающее, на сколько равных частей разделена единица, от которой берётся дробь, а над чертой пишется другое число, показывающее, сколько долей содержится

в данной дроби. Дробь три четверти будет записана так: 3 / 4 .

Число, стоящее над чертой, называется числителем дроби; это число показывает число долей, содержащихся в данной дроби.

Число, стоящее под чертой, называется знаменателем дроби; оно показывает, на сколько равных частей разделена единица.

3 - числитель,
_
4 - знаменатель.

Чёрточка, отделяющая числитель от знаменателя, называется дробной чертой. Числитель и знаменатель оба вместе называются членами дроби. Напишем в качестве примера дроби:

две трети - 2 / 3 ; пять двенадцатых - 5 / 12 .

Смешанные числа записывают так: сначала пишут целое число и рядом с ним справа приписывают дробь. Например, смешанное число два и четыре пятых нужно записать так: 2 4 / 5 .

§ 79. Возникновение дробей.

Рассмотрим вопрос о том, как и откуда возникают дроби, почему и при каких обстоятельствах они появляются.

Возьмём, например, такой факт. Нужно измерить при помощи метра длину классной доски. Мы берём метровую деревянную линейку и прикладываем её вдоль нижнего края доски, перемещаясь слева направо. Пусть она уложилась два раза, но ещё осталась некоторая часть доски, где линейка в третий раз уже не уложится, потому что длина оставшейся части меньше длины линейки.

Если в оставшейся части доски содержится, например, половина метра, то длина доски равняется двум с половиной (2 1 / 2) метрам.

Будем теперь измерять ширину доски той же самой линейкой. Допустим, что она уложилась один раз, но после этого единственного откладывания осталась небольшая часть доски, длиной меньше метра. Прикладывая метр к этой части доски, положим, удалось обнаружить, что она равна одной четверти (1 / 4) метра.

Значит, вся ширина доски равна 1 1 / 4 м.

Таким образом, при измерении длины и ширины доски мы получили числа 2 1 / 2 м и 1 1 / 4 м (т. е. дробные числа).

Не только длина и ширина предметов, но и очень многие другие величины выражаются часто дробными числами.

Время мы измеряем не только в часах, минутах и секундах, но нередко и в частях часа, в частях минуты и даже в частях секунды.

Очень часто дробными числами выражают вес, например, говорят: 1 / 2 кг, l 1 / 2 кг, 1 / 2 г, 3 / 4 г, 1 / 2 т и т. д.

До сих пор мы говорили о происхождении дробей от измерения, но существует ещё один источник возникновения дробей - это действие деления. Остановимся на этом. Пусть требуется 3 яблока разделить между 4 мальчиками; очевидно, в этом случае каждый мальчик не получит целого яблока, потому что яблок меньше, чем детей. Возьмём сначала 2 яблока и разрежем каждое пополам. Получится 4 половины, а так как мальчиков четыре, то каждому можно дать по половине яблока. Оставшееся третье яблоко разрежем на 4 части и тогда добавим каждому мальчику к тому, что он имеет, ещё по четверти. Тогда все яблоки будут распределены и каждый мальчик получит по одной половине да ещё по одной четверти яблока. Но так как в каждой половине содержится по 2 четверти, то окончательно можно сказать, что каждому мальчику придётся по две четверти и плюс по одной четверти, т. е. всего по три четверти (3 / 4)яблока.

§ 80. Сравнение дробей по величине.

Если мы сравниваем между собой какие-нибудь величины, например два отрезка, то может оказаться, что один из них в точности равен другому, или он больше другого, или меньше другого.

На рисунке 12 отрезок AВ равен отрезку CD; отрезок EF больше отрезка QH; отрезок KL меньше отрезка MN.

Такие же три случая мы встретим и при сравнении дробей. Попробуем сравнить между собой некоторые дроби.

1. Две дроби считаются равными, если величины, соответствующие этим дробям, равны между собой (при одной и той же единице измерения). Возьмём отрезок СК и примем его за единицу.

Разделим отрезок СК пополам точкой D (рис. 13). Тогда часть этого отрезка CD мы обозначим дробью 1 / 2 . Если тот же отрезок СК мы разделим на 4 равные части, то отрезок CD выразится дробью 2 / 4 ; если же мы разделим отрезок СК на 8 равных частей, то отрезку CD будет соответствовать дробь 4 / 8 . Так как мы три раза брали один и тот же отрезок, то дроби 1 / 2 , 2 / 4 и 4 / 8 равны между собой.

2. Возьмём две дроби с равными числителями: 1 / 4 и 1 / 8 , и посмотрим, какие величины им соответствуют. В первом случае некоторая величина разделена на 4 равные части, а во втором случае о н а же разделена на 8 равных частей.

Рисунок 14 показывает, что 1 / 4 больше 1 / 8 . Следовательно, из двух дробей с одинаковыми числителями та дробь больше, у которой знаменатель меньше.

3. Возьмём две дроби с равными знаменателями: 5 / 8 и 3 / 8 . Если мы отметим на предыдущем чертеже каждую из этих дробей, то увидим, что отрезок, соответствующий первой дроби, больше отрезка, соответствующего второй. Значит, из двух дробей с одинаковыми знаменателями та дробь больше, у которой числитель больше.

4. Если даются две дроби с разными числителями и знаменателями, то судить об их величине можно путём сравнения каждой из них с единицей. Например, 2 / 3 меньше 4 / 5 , потому что первая дробь отличается от единицы на 1 / 3 , а вторая на 1 / 5 , т. е. у второй дробименьше недостаёт до единицы, чем у первой.

Однако легче всего сравнивать такие дроби путём приведения их к общему знаменателю, о чём будет сказано ниже.

§ 81. Дроби правильные и неправильные. Смешанные числа.

Возьмём отрезок АВ, равный двум каким-нибудь линейным единицам (рис. 15). Разделим каждую единицу на 10 равных частей, тогда каждая часть будет равна 1 / 10 , т. е.

AD = DE = EF = FH = ... = 1 / 10 AC.

Рассмотрим другие отрезки и подумаем, какими дробями они выражаются. Например, AF - 3 / 10 , АК - 5 / 10 , AM - 7 / 10 ; АО - 9 / 10 , АС - 10 / 10 , АР - 11 / 10 , AR - 13 / 10 . Все взятые отрезки мы выразили дробными числами со знаменателем 10. У первых четырёх дробей (3 / 10 , 5 / 10 , 7 / 10 ; 9 / 10) числители меньше знаменателей, каждая из них меньше 1.

У пятой по порядку дроби (10 / 10) числитель равен знаменателю, а сама дробь равна 1, она соответствует отрезку АС, принятому за единицу.

У двух последних дробей (11 / 10 , 13 / 10) числители больше знаменателей, а каждая дробь больше 1.

Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильной дробью. Как сказано выше, правильная дробь меньше единицы. Значит, первые четыре дроби - правильные и поэтому можно написать: 3 / 10 <1, 5 / 10 <1, 7 / 10 <1, 9 / 10 <1.

Дробь, у которой числитель равен знаменателю или больше его, называется неправильной дробью. Таким образом, неправильная дробь или равна единице, или больше её. Значит, три последние дроби - неправильные и можно написать:

10 / 10 =1 ; 11 / 10 >1 ; 13 / 10 >1 ;

Остановимся на двух последних (неправильных) дробях. Дробь 11 / 10 состоит из одной целой единицы и правильной дроби 1 / 10 , значит, её можно написать так: 1 1 / 10 . Получилось число, представляющее собой соединение целого числа и правильной дроби, т. е. смешанное число. То же самое можно повторить и относительно неправильной дроби 13 / 10 . Её мы можем представить как 1 3 / 10 . Это тоже будет смешанное число.

Необходимо научиться заменять неправильную дробь смешанным числом. Две предыдущие неправильные дроби мы легко заменили смешанными числами. Но если бы нам встретилась дробь,например 545 / 32 , то выделить из нее целую часть сложнее, а без выделения целой части трудно судить о величине этого числа.

С другой стороны, при выполнении различных вычислений иногда удобнее пользоваться не смешанными числами, а неправильными дробями. Значит, нужно уметь в случае надобности делать и обратное преобразование, т. е. заменять смешанное число неправильной дробью.

§ 82. Обращение неправильной дроби в смешанное число и обратное преобразование.

Возьмём неправильную дробь 9 / 4 и попробуем заменить её смешанным числом. Будем рассуждать так: если в одной единице заключено 4 четверти, то в 9 четвертях заключается столько целых единиц, сколько раз 4 четверти содержатся в 9 четвертях. Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно 9 разделить на 4. Полученное частное укажет число целых, а остаток даст число четвертей, не составляющих целой единицы. 4 содержится в 9 два раза с остатком, равным 1. Значит, 9 / 4 = 2 1 / 4 , так как 9: 4 = 2 и 1 в остатке.

Обратим в смешанное число неправильную дробь 545 / 32 , указанную выше.

545 ; 32 = 17 и 1 в остатке, значит, 545 / 32 = 17 1 / 32 .

Чтобы обратить неправильную дробь в смешанное число, нужно числитель дроби разделить на знаменатель и найти остаток; частное покажет число целых единиц, а остаток - число долей единицы.

Так как, обращая неправильную дробь в смешанное число, мы всякий раз выделяем целую часть, то это преобразование принято называть исключением целого числа из неправильной дроби.

Рассмотрим случай, когда неправильная дробь равна целому числу. Пусть требуется исключить целое число из неправильной

дроби 36 / 12 По правилу получаем 36: 12 = 3 и 0 в остатке, т. е. числитель разделился на знаменатель без остатка, значит, 36 / 12 =3 .

Перейдём теперь к обратному преобразованию, т. е. к обращению смешанного числа в неправильную дробь.

Возьмём смешанное число 3 3 / 4 и обратим его в неправильную дробь. Будем рассуждать так: каждая целая единица содержит 4 четверти, а 3 единицы будут содержать в 3 раза больше четвёртых долей, т. е. 4 х 3 = 12 четвёртых долей. Значит, в 3 целых единицах содержится 12 четвертей, да ещё в дробной части смешанного числа имеется 3 четверти, а всего будет 15 четвертей, или 15 / 4 . Следовательно, 3 3 / 4 = 15 / 4 .

Пример. Обратить в неправильную дробь смешанное число 8 4 / 9:

Чтобы обратить смешанное число в неправильную дробь, нужно знаменатель умножить на целое число, к полученному произведению прибавить числитель и сделать эту сумму числителем искомой дроби, а знаменатель оставить прежний.

§ 83. Обращение целого числа в неправильную дробь.

Всякое целое число можно выразить в каких угодно долях единицы. Это иногда бывает полезно при вычислениях. Пусть, например, число 5 требуется выразить в шестых долях единицы.

Будем рассуждать следующим образом: так как в одной единице заключается шесть шестых долей, то в 5 единицах этих долей будет не шесть, а в 5 раз больше, т. е. 6 x 5 = 30 шестых долей. Действие принято располагать так:

Таким же образом мы можем всякое целое число обратить в неправильную дробь с любым знаменателем. Возьмём число 10 и представим его в виде неправильной дроби с различными знаменателями:

знаменатель 2, тогда

знаменатель 3, тогда

знаменатель 5, тогда

Таким образом, чтобы выразить целое число в виде неправильной дроби с данным знаменателем, нужно этот знаменатель умножить на данное число, полученное произведение сделать числителем и подписать данный знаменатель.

Наименьший из возможных знаменателей - единица (1). Поэтому, когда хотят представить целое число в виде дроби, то в качестве знаменателя часто берут единицу (l2 = 12 / 1). Эту мысль иногда выражают так: всякое целое число можно рассматривать как дробь со знаменателем, равным единице (2 = 2 / 1 ; 3 = 3 / 1 ; 4 = 4 / 1 ; 5 = 5 / 1 и т. д.)

§ 84. Изменение величины дроби с изменением её членов.

В этом параграфе мы рассмотрим, как будет изменяться величина дроби при изменении её членов.

1-й вопрос. Что происходит с величиной дроби при увеличении её числителя в несколько раз? Возьмём дробь 1 / 12 и будем постепенно увеличивать её числитель в два, в три, в четыре и т. д. раз. Тогда получатся следующие дроби:

Если мы станем сравнивать эти дроби между собой, то увидим, что они постепенно увеличиваются: вторая дробь в два раза больше первой, потому что в ней вдвое больше долей, третья дробь в три раза больше первой и т. д.

Отсюда можно сделать вывод: если числитель дроби увеличить в несколько раз, то дробь увеличится во столько же раз.

2-й вопрос. Что происходит с величиной дроби при уменьшении её числителя в несколько раз? Возьмём дробь 24 / 25 и будем постепенно уменьшать её числитель в два раза, в три раза, в четыре раза и т. д. Тогда получатся следующие дроби:

Посмотрите одну за другой эти дроби слева направо и вы убедитесь, что вторая дробь (12 / 25) в два раза меньше первой 24 / 25 , потому что у неё вдвое меньше долей, т. е. вдвое меньше числитель; четвертая дробь 6 / 25 вчетверо меньше первой и в два раза меньше второй.

Значит, если числитель дроби уменьшить в несколько раз, то дробь уменьшится во столько же раз.

3-й вопрос. Что произойдёт с величиной дроби при увеличении её знаменателя в несколько раз? На этот вопрос мы можем ответить, взяв какую-нибудь дробь, например 1 / 2 , и увеличив её знаменатель, не изменяя числителя. Увеличим знаменатель в два раза, в три раза и т. д. и посмотрим, что при этом произойдёт с дробью:

Постепенно увеличивая знаменатель, мы довели его, наконец, до 100. Знаменатель стал довольно велик, но зато сильно уменьшилась величина доли, она стала равна одной сотой. Отсюда ясно, что увеличение знаменателя дроби неизбежно приведёт к уменьшению самой дроби.

Значит, если знаменатель дроби увеличить в несколько раз, то дробь уменьшится во столько же раз.

4-й вопрос. Что произойдёт с величиной дроби при уменьшении её знаменателя в несколько раз? Мы возьмём те дроби, которые недавно были написаны, и перепишем их с конца; тогда у нас первая дробь будет самой маленькой, а последняя - самой большой, но зато самый большой знаменатель будет у первой, а самый маленький знаменатель будет у последней дроби:

Нетрудно сделать вывод: если знаменатель дроби уменьшить в несколько раз, то дробь увеличится во столько же раз.

5-й вопрос. Что произойдёт с дробью при одновременном увеличении или уменьшении числителя и знаменателя в одно и то же число раз?

Возьмём дробь 1 / 2 и будем последовательно и одновременно увеличивать её числитель и знаменатель. Рядом с дробью иногда ставят множитель, на который умножаются члены первой дроби:

Мы написали шесть дробей, они различны по своему внешнему виду, но нетрудно сообразить, что все они равны по величине. В самом деле, сравним хотя бы первую дробь со второй. Первая дробь равна 1 / 2 ; если мы увеличим в два раза её числитель, то дробь увеличится вдвое, но если мы тотчас же увеличим вдвое её знаменатель, то она уменьшится вдвое, т. е., иными словами, она останется без изменения. Значит, 1 / 2 = 2 / 4 . То же самое рассуждение можно повторить и относительно других дробей.

В ы в о д: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (увеличить в одинаковое число раз), то величина дроби не изменится.

Это свойство запишем в общем виде. Обозначим дробь через a / b , число, на которое умножается числитель и знаменатель, - буквой т ; тогда указанное свойство примет вид равенства:

Остаётся рассмотреть вопрос об одновременном уменьшении числителя и знаменателя в одинаковое число раз. Напишем в ряд несколько дробей, где на первом месте будетдробь 36 / 48 , а на последнем 3 / 4:

Все они будут равны между собой, что можно обнаружить, сравнив любые две соседние дроби, например, уменьшая числитель первой дроби (36) вдвое, мы уменьшаем дробь в 2 раза, но уменьшая вдвое и её знаменатель (48), мы увеличиваем дробь в 2 раза, т. е. в результате оставляем её без изменения.

Вывод: если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (уменьшить в одинаковое число раз), то величина дроби не изменится:

Сущность двух последних выводов состоит в том, что при одновременном увеличении или уменьшении числителя и знаменателя в одинаковое число раз величина дроби не изменится.

Это замечательное свойство дроби будет иметь большое значение в дальнейшем, поэтому мы будем называть его основным свойством дроби.

§ 85. Сокращение дробей.

Возьмём отрезок АВ (рис. 16) и разделим его на 20 равных частей, тогда каждая из этих частей будет равна 1 / 20 ; Отрезок же АС, который содержит 15 таких частей, будет представлен дробью 15 / 20 .

Теперь попробуем укрупнить доли, например разделим отрезок не на 20 частей, а на 4 равные части. Новые доли оказались крупнее прежних, так как каждая новая доля содержит 5 прежних, что отчётливо видно на чертеже. Теперь подумаем, чему при новом дроблении равен отрезок АС, который при первом дроблении был равен 15 / 20 отрезка АВ. Из чертежа видно, что если отрезок АВ разделить на 4 части, то отрезок АС будет равен 3 / 4 отрезка АВ.

Итак, отрезок АС в зависимости оттого, на сколько частей делится отрезок АВ, может изображаться и дробью 15 / 20 , и дробью 3 / 4 . По величине это одна и та же дробь, потому что она измеряет один и тот же отрезок в одних и тех же единицах измерения. Значит, вместо дроби 15 / 20 мы можем пользоваться дробью 3 / 4 , и обратно.

Возникает вопрос, какой дробью удобнее пользоваться? Удобнее пользоваться второй дробью, потому что у неё числитель и знаменатель выражены меньшими числами, чем у первой, и она в этом смысле является более простой.

В процессе рассуждения оказалось, что одна величина (отрезок АС) выразилась двумя дробями, различными по внешнему виду, но одинаковыми по величине (15 / 20 , 3 / 4) Очевидно, таких дробей может быть не две, а бесчисленное множество. Опираясь на основное свойство дроби, мы можем первую из этих дробей привести к такому виду, что числитель и знаменатель будут наименьшими. В самом деле, если числитель и знаменатель дроби 15 / 20 разделить на 5, то она будет равна 3 / 4 , т. е. 15 / 20 = 3 / 4 .

Вот это преобразование (одновременное уменьшение числителя и знаменателя в одинаковое число раз), позволяющее из дроби с большими числителем и знаменателем получить другую по виду, но равную по величине дробь с меньшими членами, и называется сокращением дробей.

Следовательно, сокращением дроби называется замена её другой, равной ей дробью с меньшими членами, путём деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

Мы сократили дробь 15 / 20 и пришли к дроби 3 / 4 , которую уже нельзя сократить, потому что её члены 3 и 4 не имеют общего делителя (кроме единицы). Такая дробь называется несократимой . Есть два пути, по которым можно следовать при сокращении дробей. Первый путь состоит в том, что дробь сокращают постепенно, а не сразу, т. е. после первого сокращения получают снова сократимую дробь, которую потом опять сокращают, причём этот процесс может быть длительным, если числитель и знаменатель выражаются большими числами и имеют много общих делителей.

Возьмем дробь 60 / 120 и будем сокращать ее последовательно, сначала на 2, получим 60 / 120 = 30 / 60 Новую дробь (30 / 60) тоже можно сократить на 2, получим 30 / 60 = 15 / 30 . Члены новой дроби 15 / 30 имеют общих делителей, поэтому можно сократить эту дробь на 3, получится 15 / 30 = 5 / 10 . Наконец, последнюю дробь можно сократить на 5, т. е. 5 / 10 = 1 / 2 . В этом и состоит последовательное сокращение дробей.

Нетрудно сообразить, что данную дробь (60 / 120)можно было бы сократить сразу на 60, и мы получили бы тот же самый результат. Чем является 60 для чисел 60 и 120? Наибольшим общим делителем. Значит, сокращение дроби на наибольший общий делитель её членов даёт возможность сразу привести её к виду несократимой дроби, минуя промежуточные деления. Это второй путь сокращения дробей.

§ 86. Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю.

Возьмём несколько дробей:

Если мы станем сравнивать первую дробь со второй (1 / 2 и 1 / 3), то почувствуем некоторое затруднение. Конечно, мы понимаем, что половина больше одной трети, так как в первом случае величина разделена на две равные части, а во втором случае - на три равные части; но какая между ними разница, всё-таки ответить трудно. Другое дело вторая дробь и третья (1 / 3 и 2 / 3), их сравнить легко, так как сразу видно, что вторая дробь меньше третьей на одну треть. Нетрудно понять, что в тех случаях, когда мы сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями, затруднений не происходит, в тех же случаях, когда знаменатели у сравниваемых дробей различны, возникают некоторые неудобства. Убедитесь в этом, сравнивая остальные данные дроби.

Поэтому напрашивается вопрос: нельзя ли при сравнении двух дробей добиться того, чтобы знаменатели были одинаковы? Это можно сделать, опираясь на основное свойство дроби, т. е. если мы в несколько раз увеличим знаменатель, то, чтобы не изменилась величина дроби, надо во столько же раз увеличить и её числитель.

Этим путём мы можем дроби с разными знаменателями приводить к общему знаменателю.

Если требуется привести к общему знаменателю какие-нибудь дроби, то сначала нужно найти число, которое делилось бы на знаменатель каждой из данных дробей. Следовательно, первым шагом в процессе приведения дробей к общему знаменателю будет нахождение наименьшего общего кратного для данных знаменателей. После того как наименьшее общее кратное найдено, нужно путём деления его на каждый знаменатель получить для каждой дроби так называемый дополнительный множитель . Это будут числа, указывающие, во сколько раз нужно увеличить числитель и знаменатель каждой дроби, чтобы знаменатели их сравнялись. Рассмотрим примеры.

1. Приведём к общему знаменателю дроби 7 / 30 и 8 / 15 . Найдём для знаменателей 30 и 15 наименьшее общее кратное. В данном случае таковым будет знаменатель первой дроби, т. е. 30. Это и будет наименьший общий знаменатель для дробей 7 / 30 и 8 / 15 . Теперь найдём дополнительные множители: 30: 30 = 1, 30: 15 = 2. Значит, для первой дроби дополнительным множителем будет 1, а для второй 2. Первая дробь останется без изменения. Умножая члены второй дроби на дополнительный множитель, приведём и её к знаменателю 30:

2. Приведём к общему знаменателю три дроби: 7 / 30 , 11 / 60 и 3 / 70 .

Найдём для знаменателей 30, 60 и 70 наименьшее общее кратное:

Наименьшее общее кратное будет 2 2 3 5 7 = 420.

Это и будет наименьший общий знаменатель данных дробей.

Теперь найдём дополнительные множители: 420: 30 = 14; 420: 60 = 7; 420: 70 = 6. Значит, для первой дроби дополнительным множителем будет 14, для второй 7 и для третьей 6. Умножая члены дробей на соответствующие дополнительные множители, получим дроби с равными знаменателями:

3. Приведём к общему знаменателю дроби: 8 / 25 и 5 / 12 . Знаменатели этих дробей (25 и 12) - числа взаимно простые. Поэтому наименьшее общее кратное получится от их перемножения: 25 х 12 = 300. Дополнительным множителем для первой дроби будет 12, а для второй 25. Данные дроби примут вид:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно сначала найти наименьшее общее кратное всех знаменателей и для каждого знаменателя определить дополнительный множитель, а затем оба члена каждой дроби умножить на соответствующий дополнительный множитель.

После того как мы научились приводить дроби к общему знаменателю, сравнение дробей по величине уже не будет представлять никаких затруднений. Мы можем теперь сравнивать по величине любые две дроби, приводя их предварительно к общему знаменателю.

Существуют множество разновидностей чисел, одни из них – это целые числа. Целые числа появились для того, чтобы облегчить счет не только в положительную сторону, но и в отрицательную.

Рассмотрим пример:
Днем на улице была температура 3 градуса. К вечеру температура снизилась на 3 градуса.
3-3=0
На улице стало 0 градусов. А ночью температура снизилась на 4 градуса и стало показывать на термометре -4 градуса.
0-4=-4

Ряд целых чисел.

Натуральными числами мы такую задачу описать мы не сможем, рассмотрим эту задачу на координатной прямой.

У нас получился ряд чисел:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Этот ряд чисел называется рядом целых чисел .

Целые положительные числа. Целые отрицательные числа.

Ряд целых чисел состоит из положительных и отрицательных чисел. Справа от нуля идут натуральные числа или их еще называют целыми положительными числами . А слева от нуля идут целые отрицательные числа.

Нуль не является ни положительным ни отрицательным числом. Он является границей между положительными и отрицательными числами.

– это множество чисел, состоящие из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и нуля.

Ряд целых чисел в положительную и в отрицательную сторону является бесконечным множеством.

Если мы возьмём два любых целых числа, то числа, стоящие между этими целыми числами, будут называться конечным множеством.

Например:
Возьмем целые числа от -2 до 4. Все числа, стоящие между этими числами, входят в конечное множество. Наше конечное множество чисел выглядит так:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Натуральные числа обозначаются латинской буквой N.
Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Все множество натуральных чисел и целых чисел можно изобразить на рисунке.

Неположительные целые числа другими словами – это отрицательные целые числа.
Неотрицательные целые числа – это положительные целые числа.

К целым числам относятся натуральные числа, ноль, а также числа, противоположные натуральным.

Натуральные числа — это положительные целые числа.

К примеру: 1, 3, 7, 19, 23 и т.д. Такие числа мы используем для подсчета (на столе лежит 5 яблок, у машины 4 колеса и др.)

Латинской буквой \mathbb{N} — обозначается множество натуральных чисел .

К натуральным числам нельзя отнести отрицательные (у стула не может быть отрицательное количество ножек) и дробные числа (Иван не мог продать 3,5 велосипеда).

Числами, противоположными натуральным, являются отрицательные целые числа: −8, −148, −981, … .

Арифметические действия с целыми числами

Что можно делать с целыми числами? Их можно перемножать, складывать и вычитать друг из друга. Разберем каждую операцию на конкретном примере.

Сложение целых чисел

Два целых числа с одинаковыми знаками складываются следующим образом: производится сложение модулей этих чисел и перед полученной суммой ставится итоговый знак:

(+11) + (+9) = +20

Вычитание целых чисел

Два целых числа с разными знаками складываются следующим образом: из модуля большего числа вычитается модуль меньшего и перед полученным ответом ставят знак большего по модулю числа:

(-7) + (+8) = +1

Умножение целых чисел

Чтобы умножить одно целое число на другое нужно выполнить перемножение модулей этих чисел и поставить перед полученным ответом знак «+ », если исходные числа были с одинаковыми знаками, и знак «− », если исходные числа были с разными знаками:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Следует запомнить следующее правило перемножения целых чисел :

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Существует правило перемножения нескольких целых чисел. Запомним его:

Знак произведения будет «+ », если количество множителей с отрицательным знаком четное и «− », если количество множителей с отрицательным знаком нечетное.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Деление целых чисел

Деление двух целых чисел производится следующим образом: модуль одного числа делят на модуль другого и если знаки чисел одинаковые, то перед полученным частным ставят знак «+ », а если знаки исходных чисел разные, то ставится знак «− ».

(-25) : (+5) = -5

Свойства сложения и умножения целых чисел

Разберем основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел a , b и c :

a + b = b + a - переместительное свойство сложения;
(a + b) + c = a + (b + c) - сочетательное свойство сложения;
a \cdot b = b \cdot a - переместительное свойство умножения;
(a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c) - сочетательное свойства умножения;
a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c - распределительное свойство умножения.

Начальный уровень

Наибольшее общее кратное и наименьший общий делитель. Признаки делимости и методы группировки (2019)

Чтобы НАМНОГО упростить себе жизнь когда надо что-то вычислить, чтобы выиграть драгоценное время на ОГЭ или ЕГЭ, чтобы сделать меньше глупых ошибок - читай этот раздел!

Вот чему ты научишься:

как быстрее, легче и точнее считать, используя группировку чисел при сложении и вычитании,
как без ошибок, быстро умножать и делить, используя правила умножения и признаки делимости ,
как значительно ускорить расчеты с помощью наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОД).

Владение приемами этого раздела может перевесить чашу весов в ту или иную сторону...поступишь ты в ВУЗ мечты или нет, придется тебе или твоим родителям платить огромные деньги за обучение или ты поступишь на бюджет.

Let"s dive right in... (Поехали!)

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

Множество целых чисел состоит из 3 частей:

натуральные числа (рассмотрим их подробнее чуть ниже);
числа, противоположные натуральным (все станет на свои места, как только ты узнаешь, что такое натуральные числа);
ноль - " " (куда уж без него?)

буквой Z.

Натуральные числа

«Бог создал натуральные числа, всё остальное - дело рук человеческих» (c) Немецкий математик Кронекер.

Натуральные числа - это числа, которые мы употребляем для счета предметов и именно на этом основывается их история возникновения - необходимости считать стрелы, шкуры и т.д.

1, 2, 3, 4... n

буквой N.

Соответственно, в это определение не входит (не можешь же ты посчитать то, чего нет?) и тем более не входят отрицательные значения (разве бывает яблоко?).

Кроме этого, не входят и все дробные числа (мы также не можем сказать « у меня есть ноутбука», или «я продал машины»)

Любое натуральное число можно записать с помощью 10 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Таким образом, 14 - это не цифра. Это число. Из каких цифр оно состоит? Правильно, из цифр и.

Сложение. Группировка при сложении чтобы быстрей считать и меньше ошибаться

Что интересного ты можешь сказать про эту процедуру? Конечно, ты сейчас ответишь «от перестановки слагаемых значение суммы не меняется». Казалось бы, примитивное, знакомое с первого класса правило, однако, при решении больших примеров оно моментально забывается!

Не забывай про него - используй группировку , чтобы облегчить себе процесс подсчета и снизить вероятность ошибок, ведь на ЕГЭ калькулятора у тебя не будет.

Смотри сам, какое выражение легче сложить?

4 + 5 + 3 + 6
4 + 6 + 5 + 3

Конечно же второе! Хотя результат один и тот же. Но! считая вторым способом у тебя меньше шансов ошибиться и ты все сделаешь быстрее!

Итак, ты в уме считаешь вот так:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Вычитание. Группировка при вычитании, чтобы быстрее считать и меньше ошибаться

При вычитании мы также можем группировать вычитаемые числа, например:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

А что, если вычитание чередуется в примере со сложением? Так же можно группировать, ответишь ты, и это правильно. Только прошу, не забывай о знаках перед числами, например: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Помни: неправильно проставленные знаки приведут к ошибочному результату.

Умножение. Как умножать в уме

Очевидно, что от перемены мест множителей значение произведения также не изменится:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Я не буду говорить тебе «используй это при решении примеров» (ты и сам понял намек, правда?), а лучше расскажу, как быстро умножать некоторые числа в уме. Итак, внимательно смотри таблицу:

И еще немного об умножении. Конечно, ты помнишь два особых случая … Догадываешься о чем я? Вот об этом:

Ах да, еще рассмотрим признаки делимости . Всего существует 7 правил по признакам делимости, из которых первые 3 ты точно уже знаешь!

А вот остальные совсем не сложно запомнить.

7 признаков делимости чисел, которые помогут тебе быстро считать в уме!

Первые три правила ты, конечно же, знаешь.
Четвертое и пятое легко запомнить - при делении на и мы смотрим, делится ли на это сумма цифр, составляющих число.
При делении на мы обращаем внимание на две последние цифры числа - делится ли число, которое они составляют на?
При делении на число должно одновременно делиться на и на. Вот и вся премудрость.

Ты сейчас думаешь - «зачем мне все это»?

Во-первых, ЕГЭ проходит без калькулятора и данные правила помогут тебе сориентироваться в примерах.

А во-вторых, ты же слышал задачи про НОД и НОК ? Знакомая аббревиатура? Начнем вспоминать и разбираться.

Наибольший общий делитель (НОД) - нужен для сокращения дробей и быстрых вычислений

Допустим, у тебя есть два числа: и. На какое наибольшее число делятся оба этих числа? Ты, не задумываясь, ответишь, потому что знаешь, что:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Какие цифры в разложении общие? Правильно, 2 * 2 = 4. Вот и твой ответ был. Держа в голове этот простой пример, ты не забудешь алгоритм, как находить НОД . Попробуй «выстроить» его у себя в голове. Получилось?

Чтобы найти НОД необходимо:

Разложить числа на простые множители (на такие числа, которые нельзя разделить ни на что больше, кроме самого себя или на, например, 3, 7, 11, 13 и т.д.).
Перемножить их.

Понимаешь, зачем нам нужны были признаки делимости? Чтобы ты посмотрел на число и мог начать делить без остатка.

Для примера найдем НОД чисел 290 и 485

Первое число - .

Глядя на него, ты сразу можешь сказать, что оно делится на, запишем:

больше разделить ни на что нельзя, а вот можно - и, получаем:

290 = 29 * 5 * 2

Возьмем еще одно число - 485.

По признакам делимости оно должно без остатка делиться на, так как на заканчивается. Делим:

Проанализируем изначальное число.

На оно делиться не может (последняя цифра - нечетная),
- не делится на, значит число тоже не делится на,
на и на также не делится (сумма цифр, входящих в число, не делится на и на)
на тоже не делится, так как не делится на и,
на тоже не делится, так как не делится на и.
нельзя разделить на нацело,

Значит, число можно разложить только на и.

А теперь найдем НОД этих чисел (и). Какое это число? Правильно, .

Потренируемся?

Задача №1. Найти НОД чисел 6240 и 6800

1) Делю сразу на, так как оба числа 100% делятся на:

2) Разделю на оставшиеся большие числа (и), так как и без остатка делятся на (при этом, раскладывать не буду - он и так общий делитель):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Оставлю и в покое и начну рассматривать числа и. Оба числа точно делятся на (заканчиваются на четные цифры (в таком случае представляем как, а можно разделить на)):

4) Работаем с числами и. Есть ли у них общие делители? Так легко, как в предыдущих действиях, и не скажешь, поэтому дальше просто разложим их на простые множители:

5) Как мы видим, мы были правы: у и общих делителей нет, и теперь нам нужно перемножить.
НОД

Задача №2. Найти НОД чисел 345 и 324

Здесь не могу быстро найти хоть один общий делитель, так что просто раскладываю на простые множители (как можно меньше):

Точно, НОД, а я изначально не проверила признак делимости на, и, возможно, не пришлось бы делать столько действий. Но ты-то проверил, верно? Молодец! Как видишь, это совсем несложно.

Наименьшее общее кратное (НОК) - экономит время, помогает решить задачи нестандартно

Допустим, у тебя есть два числа - и. Какое существует самое маленькое число, которое делится и без остатка (то есть нацело)? Сложно представить? Вот тебе визуальная подсказка:

Ты же помнишь, что обозначается буквой? Правильно, как раз целые числа. Так какое наименьшее число подходит на место х? :

В данном случае.

Из этого простого примера вытекает несколько правил.

Правила быстрого нахождения НОК

Правило 1. Если одно из двух натуральных чисел делится на другое число, то большее из этих двух чисел является их наименьшим общим кратным.

Найди у следующих чисел:

НОК (7;21)
НОК (6;12)
НОК (5;15)
НОК (3;33)

Конечно, ты без труда справился с этой задачей и у тебя получились ответы - , и.

Заметь, в правиле мы говорим о ДВУХ числах, если чисел будет больше, то правило не работает.

Например, НОК (7;14;21) не равно 21, так как не делится без остатка на.

Правило 2. Если два (или более двух) числа являются взаимно простыми, то наименьшее общее кратное равно их произведению.

Найди НОК у следующих чисел:

НОК (1;3;7)
НОК (3;7;11)
НОК (2;3;7)
НОК (3;5;2)

Посчитал? Вот ответы - , ; .

Как ты понимаешь, не всегда можно так легко взять и подобрать этот самый х, поэтому для чуть более сложных чисел существует следующий алгоритм:

Потренируемся?

Найдем наименьшее общее кратное - НОК (345; 234)

Раскладываем каждое число:

Почему я сразу написал? Вспомни признаки делимости на: делится на (последняя цифра - четная) и сумма цифр делится на. Соответственно, можем сразу разделить на, записав ее как.

Теперь выписываем в строчку наиболее длинное разложение - второе:

Добавим к нему числа из первого разложения, которых нет в том, что мы выписали:

Заметь: мы выписали все кроме, так как она у нас уже есть.

Теперь нам необходимо все эти числа перемножить!

Найди наименьшее общее кратное (НОК) самостоятельно

Какие ответы у тебя получились?

Вот, что вышло у меня:

Сколько времени ты потратил на нахождение НОК ? Мое время - 2 минуты, правда я знаю одну хитрость , которую предлагаю тебе открыть прямо сейчас!

Если ты очень внимателен, то ты наверное заметил, что по заданным числам мы уже искали НОД и разложение на множители этих чисел ты мог взять из того примера, тем самым упростив себе задачу, но это далеко не все.

Посмотри на картинку, возможно к тебе придут еще какие-нибудь мысли:

Ну что? Сделаю подсказку: попробуй перемножить НОК и НОД между собой и запиши все множители, которые будут при перемножении. Справился? У тебя должна получиться вот такая цепочка:

Присмотрись к ней повнимательней: сравни множители с тем, как раскладываются и.

Какой вывод ты можешь сделать из этого? Правильно! Если мы перемножим значения НОК и НОД между собой, то мы получим произведение этих чисел.

Соответственно, имея числа и значение НОД (или НОК ), мы можем найти НОК (или НОД ) по такой схеме:

1. Находим произведение чисел:

2. Делим получившееся произведение на наш НОД (6240; 6800) = 80:

Вот и все.

Запишем правило в общем виде:

Попробуй найти НОД , если известно, что:

Справился? .

Отрицательные числа - «лжечисла» и их признание человечеством.

Как ты уже понял, это числа, противоположные натуральным, то есть:

Отрицательные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить - все как в натуральных. Казалось бы, что в них такого особенного? А дело в том, что отрицательные числа «отвоевывали» себе законное место в математике аж до XIX века (до этого момента было огромное количество споров, существуют они или нет).

Само отрицательное число возникло из-за такой операции с натуральными числами, как «вычитание». Действительно, из вычесть - вот и получается отрицательное число. Именно поэтому, множество отрицательных чисел часто называют «расширением множества натуральных чисел ».

Отрицательные числа долго не признавались людьми. Так, Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция - светочи своего времени, не признавали отрицательных чисел, а в случае получения отрицательных корней в уравнении (например, как у нас), корни отвергались как невозможные.

Впервые отрицательные числа получили свое право на существование в Китае, а затем в VII веке в Индии. Как ты думаешь, с чем связано это признание? Правильно, отрицательными числами стали обозначать долги (иначе - недостачу). Считалось, что отрицательные числа - это временное значение, которое в результате изменится на положительное (то есть, деньги кредитору все же вернут). Однако, индийский математик Брахмагупта уже тогда рассматривал отрицательные числа наравне с положительными.

В Европе к полезности отрицательных чисел, а также к тому, что они могут обозначать долги, пришли значительно позже, эдак, на тысячелетие. Первое упоминание замечено в 1202 году в «Книге абака» Леонарда Пизанского (сразу говорю - к Пизанской башне автор книги отношения никакого не имеет, а вот числа Фибоначчи - это его рук дело (прозвище Леонардо Пизанского - Фибоначчи)). Далее европейцы пришли к тому, что отрицательные числа могут обозначать не только долги, но и нехватку чего бы то ни было, правда, признавали это не все.

Так, в XVII веке Паскаль считал что. Как думаешь, чем он это обосновывал? Верно, «ничто не может быть меньше НИЧЕГО». Отголоском тех времен остается тот факт, что отрицательное число и операция вычитания обозначается одним и тем же символом - минусом «-». И правда: . Число « » положительное, которое вычитается из, или отрицательное, которое суммируется к?... Что-то из серии «что первое: курица или яйцо?» Вот такая вот, своеобразная эта математическая философия.

Отрицательные числа закрепили свое право на существование с появлением аналитической геометрии, иначе говоря, когда математики ввели такое понятие как числовая ось.

Именно с этого момента наступило равноправие. Однако все равно вопросов было больше чем ответов, например:

пропорция

Данная пропорция носит название «парадокс Арно». Подумай, что в ней сомнительного?

Давай рассуждать вместе « » больше, чем « » верно? Таким образом, согласно логике, левая часть пропорции должна быть больше, чем правая, но они равны… Вот он и парадокс.

В итоге, математики договорились до того, что Карл Гаусс (да, да, это тот самый, который считал сумму (или) чисел) в 1831 году поставил точку - он сказал, что отрицательные числа имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, так как дроби так же не применимы ко многим вещам (не бывает так, что яму роют землекопа, нельзя купить билета в кино и т.д.).

Успокоились математики только в XIX веке, когда Уильямом Гамильтоном и Германом Грассманом была создана теория отрицательных чисел.

Вот такие они спорные, эти отрицательные числа.

Возникновение «пустоты», или биография нуля.

В математике - особенное число. С первого взгляда, это ничто: прибавить, отнять - ничего не изменится, но стоит только приписать его справа к « », и полученное число будет в раз больше изначального. Умножением на ноль мы все превращаем в ничто, а разделить на «ничто», то есть, мы не можем. Одним словом, волшебное число)

История нуля длинная и запутанная. След нуля найден в сочинениях китайцев во 2 тыс. н.э. и ещё раньше у майя. Первое использование символа нуля, каковым он является в наши дни, было замечено у греческих астрономов.

Существует множество версий, почему было выбрано именно такое обозначение «ничего». Некоторые историки склоняются к тому, что это омикрон, т.е. первая буква греческого слова ничто - ouden. Согласно другой версии, жизнь символу ноля дало слово «обол» (монета, почти не имеющая ценности).

Ноль (или нуль) как математический символ впервые появляется у индийцев (заметь, там же стали «развиваться» отрицательные числа). Первые достоверные свидетельства о записи нуля относятся к 876 г., и в них « » - составляющая числа.

В Европу ноль также пришел с запозданием - лишь в 1600г., и также как и отрицательные числа, сталкивался с сопротивлением (что поделаешь, такие они, европейцы).

«Нуль часто ненавидели, издавна боялись, а то и запрещали» — пишет американский математик Чарльз Сейф. Так, турецкий султан Абдул-Хамид II в конце XIXв. приказал своим цензорам вычеркнуть из всех учебников химии формулу воды H2O, принимая букву «О» за нуль и не желая, чтобы его инициалы порочились соседством с презренным нулём».

На просторах интернета можно встретить фразу: «Ноль - самая могущественная сила во Вселенной, он может всё! Ноль создаёт порядок в математике, и он же вносит в неё хаос». Абсолютно верно подмечено:)

Краткое изложение раздела и основные формулы

Множество целых чисел состоит из 3 частей:

натуральные числа (рассмотрим их подробнее чуть ниже);
числа, противоположные натуральным;
ноль - " "

Множество целых чисел обозначается буквой Z.

1. Натуральные числа

Натуральные числа - это числа, которые мы употребляем для счета предметов.

Множество натуральных чисел обозначается буквой N.

В операциях с целыми числами понадобится умение находить НОД и НОК.

Наибольший общий делитель (НОД)

Чтобы найти НОД необходимо:

Разложить числа на простые множители (на такие числа, которые нельзя разделить ни на что больше, кроме самого себя или на, например, и т.д.).
Выписать множители, которые входят в состав обоих чисел.
Перемножить их.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Чтобы найти НОК необходимо:

Разложить числа на простые множители (это ты уже отлично умеешь делать).
Выписать множители входящие в разложение одного из чисел (лучше брать самую длинную цепочку).
Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел.
Найти произведение получившихся множителей.

2. Отрицательные числа

это числа, противоположные натуральным, то есть:

Теперь я хочу слышать тебя...

Надюсь ты оценил супер-полезные "трюки" этого раздела и понял как они помогут тебе на экзамене.

И что более важно - в жизни. Я об этом не говорю, но, поверь, этот так. Умение быстро и без ошибок считать спасает во многих жизненных ситуациях.

Теперь твой ход!

Напиши, будешь ли ты применять методы группировки, признаки делимости, НОД и НОК в расчетах?

Может быть ты применял их ранее? Где и как?

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши в комментариях как тебе статья.

И удачи на экзаменах!

Содержание статьи

Понятие числа в математике может относиться к объектам различной природы: натуральным числам, используемым при счете (положительным целым числам 1, 2, 3 и т.д.), числам, являющимся возможными результатами (идеализированных) измерений (это такие числа, как 2/3, – их называют действительными числами), отрицательным числам, мнимым числам (скажем, к ) и к другим более абстрактным классам чисел, используемым в высших разделах математики (например, к гиперкомплексным и трансфинитным числам). Число необходимо отличать от его символа, или обозначения, которое его представляет. Мы рассмотрим логические отношения между различными классами чисел.

Такие загадки легко разрешаются, если принять во внимание, что различные классы чисел имеют совершенно различный смысл; хотя у них достаточного много общего, чтобы их всех можно было называть числами, не следует думать, что все они будут удовлетворять одним и тем же правилам.

Положительные целые числа.

Хотя мы все усваиваем положительные целые числа (1, 2, 3 и т.д.) в раннем детстве, когда вряд ли приходит в голову задумываться об определениях, тем не менее такие числа могут быть определены по всем правилам формальной логики. Строгое определение числа 1 заняло бы не один десяток страниц, а формула типа 1 + 1 = 2, если записать ее во всех подробностях без каких-либо сокращений, протянулась бы на несколько километров. Однако любая математическая теория вынуждена начинаться с некоторых неопределяемых понятий и аксиом или постулатов относительно них. Так как положительные целые числа хорошо известны и трудно определить их с помощью чего-то более простого, мы примем их за исходные неопределяемые понятия и будем считать, что основные свойства этих чисел известны.

Отрицательные целые числа и нуль.

Отрицательные числа в наши дни вещь обыденная: их используют, например, для того, чтобы представить температуру ниже нуля. Поэтому кажется удивительным, что еще несколько столетий назад какой-либо конкретной интерпретации отрицательных чисел не было, а возникающие по ходу вычислений отрицательные числа назывались «воображаемыми». Несмотря на то, что интуитивная интерпретация отрицательных чисел сама по себе полезна, пытаясь понять такие «правила», как (–4)ґ(–3) = +12, мы должны определить отрицательные числа с помощью положительных. Для этого нам нужно построить множество таких математических объектов, которые будут вести себя в арифметике и алгебре именно так, как можно было бы ожидать от отрицательных чисел. Один из способов построить такое множество состоит в рассмотрении упорядоченных пар положительных чисел (a ,b ). «Упорядоченность» означает, что, например, пара (2,3) отлична от пары (3,2). Такие упорядоченные пары можно рассматривать как новый класс чисел. Теперь мы должны сказать, когда два таких новых числа равны и что означает их сложение и умножение. Наш выбор определений обусловлен желанием, чтобы пара (a ,b ) действовала как разность (a – b ), которая пока что определена, лишь когда a больше b . Так как в алгебре (a – b ) + (c – d ) = (a + c ) – (b + d ), мы приходим к необходимости определить сложение новых чисел как (a ,b ) + (c ,d ) = (a + c , b + d ); т.к. (a – b )ґ(c – d ) = ac + bd – (bc + ad ), мы определяем умножение равенством (a ,b )ґ(c ,d ) = (ac + bd , bc + ad ); а так как (a – b ) = (c – d ), если a + d = b + c , мы определяем равенство новых чисел соотношением (a ,b ) = (c ,d ), если a + d = b + c . Таким образом,

Используя определения равенства пар, можно записать сумму и произведение пар в более простом виде:

Все пары (a ,a ) равны (по определению равенства пар) и действуют так, как по нашим ожиданиям должен действовать нуль . Например, (2,3) + (1,1) = (3,4) = (2,3); (2,3)ґ(1,1) = (2 + 3, 2 + 3) = (5,5) = (1,1). Пары (a ,a ) мы можем обозначить символом 0 (который до сих пор не использовали).

Пары (a ,b ), где b больше a , ведут себя так, как должны были бы действовать отрицательные числа, и мы можем обозначить пару (a ,b ) символом –(b – a ). Например, -4 – это (1,5), а -3 – это (1,4); (–4)ґ(–3) = (21,9), или (13,1). Последнее число хотелось бы обозначить как 12, но это заведомо не то же самое, что положительное целое число 12, поскольку обозначает пару положительных целых чисел, а не одно положительное целое число. Необходимо подчеркнуть, что поскольку пары (a ,b ), где b меньше a , действуют как положительные целые числа (a – b ), мы будем записывать такие числа как (a – b ). При этом надо забыть о положительных целых числах, с которых мы начали, и впредь пользоваться только нашими новыми числами, которые назовем целыми числами . То, что мы намереваемся использовать старые названия для некоторых новых чисел, не должно вводить в заблуждение относительно того, что в действительности новые числа представляют собой объекты иного рода.

Дроби.

Интуитивно мы представляем себе дробь 2/3 как результат разбиения 1 на три равные части и взятия двух из них. Однако математик стремится как можно меньше полагаться на интуицию и определять рациональные числа через более простые объекты – целые числа. Это можно сделать, если 2/3 рассматривать как упорядоченную пару (2,3) целых чисел. Для завершения определения необходимо сформулировать правила равенства дробей, а также сложения и умножения. Разумеется, эти правила должны быть эквивалентны правилам арифметики и, естественно, отличаться от правил для тех упорядоченных пар, которые мы определили как целые числа. Вот эти правила:

Нетрудно видеть, что пары (a ,1) действуют как целые числа a ; продолжая рассуждать так же, как в случае отрицательных чисел, мы обозначим через 2 дробь (2,1), или (4,2), или любую другую дробь, равную (2,1). Забудем теперь о целых числах и сохраним их лишь как средство записи определенных дробей.

Рациональные и иррациональные числа.

Дроби принято также называть рациональными числами, так как они представимы в виде отношений (от лат. ratio – отношение) двух целых чисел. Но если нам потребуется число, квадрат которого равен 2, то мы не сможем обойтись рациональными числами, т.к. не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. То же самое выяснится, если поинтересоваться числом, выражающим отношение длины окружности к ее диаметру. Следовательно, если мы хотим получить квадратные корни из всех положительных чисел, то нам необходимо расширить класс рациональных чисел. Новые числа, называемые иррациональными (т.е. не рациональными), можно определять различными способами. Упорядоченные пары для этого не годятся; один из простейших способов состоит в том, чтобы определить иррациональные числа как бесконечные непериодические десятичные дроби.

Действительные числа.

Рациональные и иррациональные числа вместе называются действительными или вещественными числами. Геометрически их можно представить точками на прямой, при этом дроби оказываются в промежутках между целыми числами, а иррациональные числа – в промежутках между дробями, как показано на рис. 1. Можно показать, что система действительных чисел обладает свойством, известным как «полнота» и означающим, что каждой точке на прямой соответствует некоторое действительное число.

Комплéксные числа.

Так как квадраты положительных и отрицательных действительных чисел положительны, на прямой действительных чисел нет точки, соответствующей числу, квадрат которого был бы равен -1. Но если бы мы попытались решать квадратные уравнения типа x 2 + 1 = 0, то необходимо было бы поступать так, как если бы существовало некоторое число i , квадрат которого был бы равен -1. Но поскольку такого числа нет, нам не остается ничего другого, как воспользоваться «воображаемым», или «мнимым», числом. Соответственно, «число» i и его комбинации с обычными числами (типа 2 + 3i ) стали называться мнимыми. Современные математики предпочитают называть такие числа «комплéксными», поскольку они, как мы увидим, столь же «реальны», как и те, с которыми нам уже доводилось встречаться раньше. Долгое время математики свободно пользовались мнимыми числами и получали полезные результаты, хотя не до конца понимали то, что они делали. И до начала 19 в. никому и в голову не приходило «оживить» мнимые числа с помощью их явного определения. Для этого нужно построить некоторую совокупность математических объектов, которые с точки зрения алгебры вели бы себя как выражения a + bi , если условиться, что i 2 = –1. Такие объекты можно определить следующим образом. Рассмотрим в качестве наших новых чисел упорядоченные пары действительных чисел, сложение и умножение которых определяется формулами:

Назовем такие упорядоченные пары комплéксными числами. Пары частного вида (a ,0) со вторым членом, равным нулю, ведут себя как действительные числа, поэтому мы условимся обозначать их так же: например, 2 означает (2,0). С другой стороны, комплексное число (0,b ) по определению умножения обладает свойством (0,b )ґ(0,b ) = (0 – b 2 , 0 + 0) = (–b 2 ,0) = –b 2 . Например, в случае (0,1)ґ(0,1) мы находим произведение (-1,0); следовательно, (0,1) 2 = (–1,0). Мы уже условились записывать комплексное число (-1,0) как -1, поэтому если число (0,1) обозначить символом i , то мы получим комплексное число i , такое, что i 2 = –1. Кроме того, комплексное число (2,3) теперь можно записать в виде 2 + 3i .

Важное отличие такого подхода к комплексным числам от традиционного состоит в том, что в данном случае число i не содержит ничего загадочного или мнимого: оно представляет собой нечто, хорошо определяемое посредством уже существовавших ранее чисел, хотя, разумеется, и не совпадает ни с одним из них. Точно так же, действительное число 2 не является комплексным, хотя мы и используем символ 2 для обозначения комплексного числа. Так как на самом деле в мнимых числах нет ничего «мнимого», то неудивительно, что они широко используются в реальных ситуациях, например в электротехнике (где вместо буквы i обычно используют букву j , так как в электротехнике i – символ для текущего значения силы тока).

Алгебра комплексных чисел во многом напоминает алгебру действительных чисел, хотя имеются и существенные различия. Например, правило для комплексных чисел не выполняется: , поэтому , в то время как .

Сложение комплексных чисел допускает простую геометрическую интерпретацию. Например, сумма чисел 2 + 3i и 3 – i есть число 5 + 2i , которому соответствует четвертая вершина параллелограмма с тремя вершинами в точках 0, 2 + 3i и 3 – i .

Точку на плоскости можно задавать не только прямоугольными (декартовыми) координатами (x ,y ), но и ее полярными координатами (r ,q ), задающими расстояние от точки до начала координат и угол. Следовательно, комплексное число x + iy может быть записано и в полярных координатах (рис. 2,б ). Длина радиуса-вектора r равна расстоянию от начала координат до точки, соответствующей комплексному числу; величина r называется модулем комплексного числа и определяется по формуле . Часто модуль записывают в виде . Угол q называется «углом», «аргументом» или «фазой» комплексного числа. Такое число имеет бесконечно много углов, отличающихся на величину, кратную 360°; например, i имеет угол 90°, 450°, -270°, ј Так как декартовы и полярные координаты одной и той же точки связаны между собой соотношениями x = r cos q , y = r sin q , справедливо равенство x + iy = r (cos q + i sin q ).

Если z = x + iy , то число x – iy называется комплексно сопряженным с z и обозначается n z = re iq . Логарифм комплексного числа re iq , по определению, равен ln r + iq , где ln означает логарифм по основанию e , а q принимает все возможные значения, измеряемые в радианах. Таким образом, комплексное число имеет бесконечно много логарифмов. Например, ln (–2) = ln 2 + ip + любое целое кратное 2p . В общем виде степени можно теперь определить с помощью соотношения a b = e b ln a . Например, i –2i = e –2 ln i . Так как значения аргумента числа i равны p /2 (90°, выраженное в радианах) плюс целое кратное, то число i –2i имеет значения e p , e 3 p , e -p и т.д., которые все являются действительными.

Гиперкомплексные числа.

Комплексные числа были изобретены, чтобы иметь возможность решать все квадратные уравнения с действительными коэффициентами. Можно показать, что на самом деле комплексные числа позволяют сделать гораздо больше: с их введением становятся разрешимыми алгебраические уравнения любой степени даже с комплексными коэффициентами. Следовательно, если бы нас интересовали только решения алгебраических уравнений, то необходимость во введении новых чисел отпала бы. Однако для других целей необходимы числа, устроенные в чем-то аналогично комплексным, но с бóльшим количеством компонент. Иногда такие числа называют гиперкомплексными. Их примерами могут служить кватернионы и матрицы.